《計(jì)算物理(本科)》[第3章]

1、第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院第三章第三章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值法插值法應(yīng)用：插值法應(yīng)用：物理實(shí)驗(yàn)中常用數(shù)據(jù)處理方法。如電物理實(shí)驗(yàn)中常用數(shù)據(jù)處理方法。如電表校正曲線(xiàn)、物理常數(shù)表相鄰間的數(shù)據(jù)的獲得等。表校正曲線(xiàn)、物理常數(shù)表相鄰間的數(shù)據(jù)的獲得等。在一系列觀測(cè)點(diǎn)上，函數(shù)值與理論曲線(xiàn)相一致。即在一系列觀測(cè)點(diǎn)上，函數(shù)值與理論曲線(xiàn)相一致。即 yi=f(xi)nnyyyxxx.1010插值法原則：插值法原則：若兩個(gè)物理量若兩個(gè)物理量x,y之間存在理論上的之間存在理論上的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系y=f(x)，而具體形式并不知道。但通過(guò)實(shí)，而具體形式并不知道。但

2、通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以測(cè)得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)可以測(cè)得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(離散離散)：第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院y(x) 經(jīng)常取經(jīng)常取x的多項(xiàng)式，作為代數(shù)插值。的多項(xiàng)式，作為代數(shù)插值。構(gòu)造出的代數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)造出的代數(shù)多項(xiàng)式y(tǒng)(x)，必須滿(mǎn)足下列條件，必須滿(mǎn)足下列條件：（1）y(x)是一個(gè)不超過(guò)是一個(gè)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式。這樣有次的多項(xiàng)式。這樣有n +1個(gè)個(gè)待定系數(shù)，對(duì)應(yīng)待定系數(shù)，對(duì)應(yīng)n +1個(gè)測(cè)量點(diǎn)。個(gè)測(cè)量點(diǎn)。（2）在插值點(diǎn)）在插值點(diǎn)xi (i =0,1,2,n)上，上， 確保確保f(x)的插值函的插值函數(shù)數(shù)y(x)與與f(x)相等，即相等，即 yi=y(xi) i

3、=0,1,2,n插值法就是依據(jù)這些關(guān)系，尋找插值法就是依據(jù)這些關(guān)系，尋找f(x)的近似表達(dá)的近似表達(dá)式式y(tǒng)(x)： y=y(x)注意注意：yi 測(cè)量點(diǎn)函數(shù)值；測(cè)量點(diǎn)函數(shù)值； y(x) ，y(xi)插值函數(shù)及其插值函數(shù)及其值；值；f(x) ， f(xi) ：理論上的函數(shù)及其值。：理論上的函數(shù)及其值。第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院3.1 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)插值法插值法一、一、 Lagrange線(xiàn)性插值（兩點(diǎn)）線(xiàn)性插值（兩點(diǎn)） 線(xiàn)性插值就是兩點(diǎn)插值。設(shè)已知兩節(jié)點(diǎn)。線(xiàn)性插值就是兩點(diǎn)插值。設(shè)已知兩節(jié)點(diǎn)。)()(110010 xfyxfy

4、xx構(gòu)造線(xiàn)性插值函數(shù)構(gòu)造線(xiàn)性插值函數(shù) y(x)= a0+a1x將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入得方程組并求得將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入得方程組并求得010110101100)( , )()()()(xxxxxAxxxxxAyxAyxAxy其中第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院二、二、 Lagrange拋物線(xiàn)插值（三點(diǎn)）拋物線(xiàn)插值（三點(diǎn)）利用三個(gè)節(jié)點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)。利用三個(gè)節(jié)點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)。設(shè)三個(gè)設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)為構(gòu)造拋物線(xiàn)（二次）插值函數(shù)構(gòu)造拋物線(xiàn)（二次）插值函數(shù) y(x)= a0+a1x+a2x2 221010 yxyyxx)()()( , )()()(

5、, )()()()()()()(120210221012012010210221100 xxxxxxxxxAxxxxxxxxxAxxxxxxxxxAyxAyxAyxAxy其中將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入，可得方程組，并求得將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入，可得方程組，并求得第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院三、三、 Lagrange n次多項(xiàng)式插值次多項(xiàng)式插值推廣到推廣到n次多項(xiàng)式插值。次多項(xiàng)式插值。設(shè)設(shè)n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)nnyxyyxx 1010構(gòu)造構(gòu)造n次多項(xiàng)式插值函數(shù)次多項(xiàng)式插值函數(shù) y(x)=a0+a1x+a2x2 +anxn將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入，可得方程組，并求得將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)代

6、入，可得方程組，并求得 )()(.)()()(nji0i1100ijijnnxxxxxAyxAyxAyxAxy其中第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院MATLAB中實(shí)現(xiàn)中實(shí)現(xiàn)Lagrange n次多項(xiàng)式插值次多項(xiàng)式插值：% lagrange.m% lagrange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m%求插值點(diǎn)的值求插值點(diǎn)的值 z=x(i);s=0.0; for k=1:n%對(duì)對(duì)Ai的下標(biāo)的下標(biāo)i循環(huán)循環(huán) p=1.0; for j=1:n%對(duì)對(duì)Ai公式求

7、積循環(huán)公式求積循環(huán) if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s;%最終插值公式最終插值公式 end y(i)=s;end 【實(shí)例【實(shí)例jswlx_3_2_1.m 】給出】給出f(x)=lnx的函數(shù)表如下。用的函數(shù)表如下。用Lagrange插值法插值法計(jì)算計(jì)算ln(0.54)近似值。近似值。 x 0.4 0.5 0.6 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 0.7 0.8 -0.357765 -0.223144在在MATLAB命令窗口中輸入命令窗口中輸入x=0.4 0.5 0.6 0.7 0.8y=-0

8、.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144lagrange(x,y,0.54)ans= -0.616143說(shuō)明：同精確解說(shuō)明：同精確解ln(0.54)=-0.616186誤誤差不大，特別是在工程應(yīng)用中。差不大，特別是在工程應(yīng)用中。第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院3.2 分段線(xiàn)性插值分段線(xiàn)性插值一、高次多項(xiàng)式插值的龍格一、高次多項(xiàng)式插值的龍格(Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象對(duì)于多項(xiàng)式插值對(duì)于多項(xiàng)式插值, 次數(shù)隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而升高，次數(shù)隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而升高，但次數(shù)越高，則逼近但次數(shù)越高，則逼近f(x)的精度

9、卻不一定越好。的精度卻不一定越好。211)(xxf 在在 -5，5區(qū)間各階導(dǎo)數(shù)存在，但在此區(qū)間上取區(qū)間各階導(dǎo)數(shù)存在，但在此區(qū)間上取n個(gè)個(gè)等分節(jié)點(diǎn)所構(gòu)造的等分節(jié)點(diǎn)所構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式并非收斂，插值多項(xiàng)式并非收斂，在兩端會(huì)發(fā)生激烈振蕩，這就是在兩端會(huì)發(fā)生激烈振蕩，這就是Runge現(xiàn)象現(xiàn)象。19世紀(jì)世紀(jì)Runge就給出了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式不就給出了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式不收斂的例子，此函數(shù)為收斂的例子，此函數(shù)為第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院注意注意：Runge現(xiàn)象說(shuō)明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，現(xiàn)象說(shuō)明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效

10、果往往是不理想的。逼近的效果往往是不理想的。%jswlx_3_2_2.m自編程序自編程序x=-5:1:5;%-5,5中中x的的11個(gè)取個(gè)取點(diǎn)點(diǎn)y=1./(1+x.2); %-5,5中的中的11個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)yx0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);%插值后插值后的函數(shù)值的函數(shù)值y1=1./(1+x0.2);plot(x0,y0,-r)%繪制插值曲線(xiàn)繪制插值曲線(xiàn)hold on%圖窗口保留上次曲線(xiàn)圖窗口保留上次曲線(xiàn)plot(x0,y1,-b) %繪制原曲線(xiàn)繪制原曲線(xiàn)211)(xxf【實(shí)例【實(shí)例】取】取n=10,用用Lagrange插值進(jìn)行計(jì)算插值進(jìn)行計(jì)算第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)

11、數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院二、分段插值的概念二、分段插值的概念若運(yùn)用低次插值法，則往往能避免若運(yùn)用低次插值法，則往往能避免Runge現(xiàn)象?，F(xiàn)象。分段插值：分段插值：將研究區(qū)間將研究區(qū)間a,b分成若干子區(qū)間分成若干子區(qū)間xi,xi+1，在每個(gè)子區(qū)間構(gòu)造低次的插值多項(xiàng)式函，在每個(gè)子區(qū)間構(gòu)造低次的插值多項(xiàng)式函數(shù)，然后將其進(jìn)行拼接。這種選取分段多項(xiàng)式作數(shù)，然后將其進(jìn)行拼接。這種選取分段多項(xiàng)式作為插值函數(shù)的方法稱(chēng)為為插值函數(shù)的方法稱(chēng)為分段插值法分段插值法。三、分段線(xiàn)性插值三、分段線(xiàn)性插值分段線(xiàn)性插值：分段線(xiàn)性插值：通過(guò)插值節(jié)點(diǎn)用折線(xiàn)段連接起來(lái)逼通過(guò)插值節(jié)點(diǎn)用折線(xiàn)段連接起來(lái)逼

12、近原曲線(xiàn)的方法。近原曲線(xiàn)的方法。計(jì)算機(jī)繪圖的基本原理就是分段線(xiàn)性插值得到的。計(jì)算機(jī)繪圖的基本原理就是分段線(xiàn)性插值得到的。第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院四、分段三次插值四、分段三次插值分段線(xiàn)性插值分段線(xiàn)性插值的算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，但精度不的算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，但精度不高，插值曲線(xiàn)不光滑。高，插值曲線(xiàn)不光滑。分段三次插值：分段三次插值：選擇四個(gè)節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)三次多項(xiàng)式選擇四個(gè)節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)三次多項(xiàng)式插值函數(shù)的計(jì)算。插值函數(shù)的計(jì)算。三次條樣插值三次條樣插值：更為常用的一種插值方法。：更為常用的一種插值方法。第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大

13、學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院MATLAB實(shí)現(xiàn)：實(shí)現(xiàn)：分段線(xiàn)性插值在分段線(xiàn)性插值在MATLAB中不需中不需要自編程序，自身提供了一個(gè)一維分段插值函數(shù)：要自編程序，自身提供了一個(gè)一維分段插值函數(shù)： interp1(x,y,xi,method) 其中其中 (x,y)：一組節(jié)點(diǎn)；：一組節(jié)點(diǎn)；xi：插值點(diǎn)；：插值點(diǎn)； method：插值方：插值方法法可選可選nearest：線(xiàn)性最近項(xiàng)插值；：線(xiàn)性最近項(xiàng)插值；linear：線(xiàn)性：線(xiàn)性插值（默認(rèn)）；插值（默認(rèn)）；spline：三次條樣插值；：三次條樣插值；cubic：三：三次插值次插值。第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)

14、院3.3 二元函數(shù)的二元函數(shù)的Lagrange多點(diǎn)插值法多點(diǎn)插值法物理學(xué)中有很多用二元函數(shù)描述的物理量。物理學(xué)中有很多用二元函數(shù)描述的物理量。二元函數(shù)插值方法：如果已知二元函數(shù)插值方法：如果已知(xi,yj)點(diǎn)上的函數(shù)值點(diǎn)上的函數(shù)值 fij =f (xi,yj)，要求出某點(diǎn)，要求出某點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x,y)，則，則可以采用與之相鄰的九個(gè)節(jié)點(diǎn)可以采用與之相鄰的九個(gè)節(jié)點(diǎn)(xi,yi)的的fij數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算。這就是二元三點(diǎn)算。這就是二元三點(diǎn)Lagrange插值法。插值法。),( , )( , )()()( ),( 11111111,srr,sjsljllslsirkikkr

15、kriirjjssrsryxfZyyyyyAxxxxxAzyAxAyxz 其中構(gòu)造二元插值函數(shù)，則其構(gòu)造二元插值函數(shù)，則其Lagrange多點(diǎn)插值公式多點(diǎn)插值公式第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)二 Matlab環(huán)境和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值環(huán)境和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊弧?shí)驗(yàn)?zāi)康?進(jìn)一步熟悉進(jìn)一步熟悉Matlab程序設(shè)計(jì)環(huán)境；程序設(shè)計(jì)環(huán)境；2拉格朗日插值和牛頓插值方法；拉格朗日插值和牛頓插值方法；3Hermite插值和三次樣條插值方法。插值和三次樣條插值方法。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 繪圖命令，主要有繪圖命令，主要有plot()、figur

16、e()、grid on/off、hold on/off、axis()、text()、等。、等。2. 程序文件和函數(shù)文件的編寫(xiě)；變量運(yùn)用；輯運(yùn)算程序文件和函數(shù)文件的編寫(xiě)；變量運(yùn)用；輯運(yùn)算符運(yùn)用；條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句運(yùn)用。符運(yùn)用；條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句運(yùn)用。3. 矩陣的操作，提取矩陣元素或子塊矩陣的操作，提取矩陣元素或子塊A(m,n)、A(:,n)、A(m,:)、A(m1:m2,n1:n2)第第三三章章實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院三、練習(xí)題三、練習(xí)題1、簡(jiǎn)述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)插值法的基本原則、簡(jiǎn)述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)插值法的基本原則。2、什么是高次多項(xiàng)式插值的龍格、什么是高次多項(xiàng)式插值的龍格(Runge)現(xiàn)象？簡(jiǎn)述現(xiàn)象？簡(jiǎn)述分段線(xiàn)性插值法。解釋分段線(xiàn)性插值法。解釋Matlab 實(shí)現(xiàn)分段三次插值函實(shí)現(xiàn)分段三次插值函數(shù)程序的用法？數(shù)程序的用法？3、編寫(xiě)、編寫(xiě)Lagrange n次多項(xiàng)式插值函數(shù)程序，用計(jì)算次多項(xiàng)式插值函數(shù)程序，用計(jì)算器求器求30個(gè)個(gè)x=0.523.5之間的之間的y=lnx數(shù)值（保留三位有效數(shù)值（保留三位有效數(shù)字），再用此數(shù)列進(jìn)行插值求數(shù)字），再用此數(shù)列進(jìn)行插值求x=0.523.5之間的值之間的值進(jìn)行驗(yàn)證，并繪圖比較（三條曲線(xiàn)）。進(jìn)行驗(yàn)證，并繪圖比較（三條曲線(xiàn)）。4. 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) Lagr