多自由度動力學基礎

1、115-4 15-4 兩個自由度體系的自由振動兩個自由度體系的自由振動一、剛度法一、剛度法 （1 1）兩個自由度體系）兩個自由度體系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 兩自由度體系自由振動微分方程兩自由度體系自由振動微分方程20)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 設解為設解

2、為)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty= =常數(shù)常數(shù)0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk當然當然 Y1=Y2=0 為其解，為了求得不全為零的解，令為其解，為了求得不全為零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程頻率方程頻率方程0)(211222221211kkmkmk1 1）在振動過程中，兩個質點具有相同的頻率和相同的相位角；）在振動過程中，兩個質點具有相同的頻率和相同的相位角；2 2）在振動過程中，兩個質點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，）在振動過程中，兩個質點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但其

3、比值始終保持不變。但其比值始終保持不變。振動過程中，結構位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。振動過程中，結構位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。30)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2 2）按主振型振動的條件：）按主振型振動的條件： 初位移或初速度與此振型相對應；初位移或初速度與此振型相對應；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圓頻率稱為

4、第一最小圓頻率稱為第一(基本基本)圓頻率：圓頻率：12第二圓頻率第二圓頻率由此可見：由此可見： 多自由度體系如果按某個主振型自由振動多自由度體系如果按某個主振型自由振動，其振動形式保持，其振動形式保持不變，此時，多自由度體系實際上是像不變，此時，多自由度體系實際上是像一個單自由度體系在振動一個單自由度體系在振動。實際上，多自由度體系在零時刻的實際上，多自由度體系在零時刻的y0或或vo通常不能完全與某一振型相對應。通常不能完全與某一振型相對應。4例例7：設圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側移剛度分別為：設圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側移剛度分別為k1和和 k2 ，試求剛架水平振動時的自振動頻率和

5、主振型。，試求剛架水平振動時的自振動頻率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1 1）求頻率方程中的剛度系數(shù)）求頻率方程中的剛度系數(shù)1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3 3）一般振動）一般振動)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty兩自由度體系自由振動是兩種頻率及其主振型的組合振動兩自由度體系自由振動是兩種頻率及其主振型的組合振動多自由度體多自由度體系自由振動系自由振動的振型分解的振型分解5mkmk61803. 238197. 02221mkm

6、k61803. 161803. 021（3 3）求主振型）求主振型618. 1138197. 02:121111221111kkkmkkYY618. 0161803. 22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2 2）求頻率）求頻率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm2121622222114)12(21mknnn（3 3）求主振型）求主振型221221211211:mkkYY（2 2）求頻率）求頻率0)(222221221

7、kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(22222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若若 n=90 則第一振型和第二振型分別為：則第一振型和第二振型分別為：11019可見當頂端質點的質量和剛度很小時，頂端水平側移很大。可見當頂端質點的質量和剛度很小時，頂端水平側移很大。 建筑結構抗震設計中，將這種因頂端質點質量和剛度突變，而導致頂端巨建筑結構抗震設計中，將這種因頂端質點質量和剛度突變，而導致頂端巨大反應的現(xiàn)象，稱為大反應的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應鞭梢效應。如：屋頂消防水池、上人屋面設計的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。如：屋頂消防水池、上人屋面

8、設計的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。7二、二、 柔度法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 設解為設解為)sin()()sin()(2211tYtytYty此時慣性力此時慣性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振動過程中任意時刻在自由振動過程中任意時刻t，質量，質量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)應當?shù)扔隗w系在當時應當

9、等于體系在當時慣性力作用下的靜力位移。慣性力作用下的靜力位移。主振型的位移幅值等于主主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。生的靜力位移。8m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 當然解當然解 Y1=Y2=0，為了求得不全為了求得不全為零的解，令為零的解，令01122221212122111mmmmD令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221

10、221111212211111mmYYmmYY12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY90.5a例例9. 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。已知。12aaamm解：（解：（1 1）計算頻率）計算頻率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203. 3967. 0maEImaEI（2 2）振型）振型61. 31277. 0122122111YYYY10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型10三、主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym11221YmY11Y2112

11、122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，則存在：，則存在：)51.15(02221212111YYmYYm兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。11由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式

12、分別乘以上式分別乘以12、22，則得：，則得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會轉移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；不會轉移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；各個主振型能單獨存在，而不相互干擾。各個主振型能單獨存

13、在，而不相互干擾。120)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYYm1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為第一最小圓頻率稱為第一(基本基本)圓頻率：圓頻率：12第二圓頻率第二圓頻率0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程頻率方程頻率方程15-4 15-4 兩自由度體系的自由振動兩自由度體系的自由振動一、剛度法一、剛度法1301122221212122111mmmmD令21212112221

14、1222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY二、柔度法二、柔度法0)()(2121122122112221112mmmmmm14三、主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym21221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，則存在：，則存在：)51.15(02

15、221212111YYmYYm兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型15由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分別乘以上式分別乘以12、22，則得：，則得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于

16、零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會轉移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；不會轉移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；各個主振型能單獨存在，而不相互干擾。各個主振型能單獨存在，而不相互干擾。1615-5 15-5 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平穩(wěn)階段，各質點也作簡諧振動：在平穩(wěn)階段

17、，各質點也作簡諧振動：tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk0222221121211mkkkmkDY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD如果荷載頻率如果荷載頻率與任一個自振頻率與任一個自振頻率1、 2重合，則重合，則D0=0, 當當D1、D2不全為零時，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象不全為零時，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象121121122PkmkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtP172222211212110mkkkmkD21222

18、2211PkmkPD121121122PkmkPDm2m1k2k1例：質量集中在樓層上例：質量集中在樓層上m1、m2 ，層間側移剛度為，層間側移剛度為k1、k2解：荷載幅值：解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2當當m1=m2=m，k1=k2=ktPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD021222221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP01211211

19、2022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122kPY18121)1)(1 (1222212kmkPY22)1)(1 (1222212kPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk兩個質點的位移動力

20、系數(shù)不同。當當2121,618. 1618. 0YYmkmk和時和 趨于無窮大。趨于無窮大?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況也有例外情況19l/3l/3l/3mmPsintPsint如圖示對稱結構在對稱荷載作用下。如圖示對稱結構在對稱荷載作用下。21122211,kkkk與與2 2相應的振型是相應的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk當當=2 ，D0=0 ，也有：，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211Pkmk

21、P022011,DDYDDY不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個。共振區(qū)只有一個。 對稱體系在對稱荷載作用下時，對稱體系在對稱荷載作用下時， 只有當荷載頻率與對稱主振型的自只有當荷載頻率與對稱主振型的自 振頻率相等時才發(fā)生共振；當荷載振頻率相等時才發(fā)生共振；當荷載 頻率與反對稱主振型的自振頻率相頻率與反對稱主振型的自振頻率相 等時不會發(fā)生共振。同理可知：對等時不會發(fā)生共振。同理可知：對 稱體系在反對稱荷載作用下時，只稱體系在反對稱荷載作用下時，只 有當荷載頻率與反對稱主振型的自有當荷載頻率與反對稱主振型的自 振頻率相等時才發(fā)生共振。振頻率相等時才發(fā)生共振。 2

22、0kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內力荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內力yst1= yst2=P/k層間剪力層間剪力: : Qst1= P 動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內力幅值動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內力幅值2mY22mY1)(1 ()(2122121kmPYYmPQ121)1)(1 (1222212kmkPY22)1)(1 (1222212kPY)(12121kmQ由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力層間動剪力: :21例例15-9：m2m1k2k1質量集中在樓層上質量集中在樓層上m1、m2 ，層間側移剛度

23、為層間側移剛度為k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 , k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkDYmk當m1k1tPsinm2k2這說明在右圖結構上，這說明在右圖結構上， 適當加以適當加以m2、k2系統(tǒng)系統(tǒng)可以消除可以消除m1的振動（的振動（動力吸振器動力吸振器原理）。原理）。 吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設置。吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設置。設計吸振器時，先根據(jù)設計吸振器時，先根據(jù)m2的許可振幅的許可振幅Y2

24、，選定，選定22YPk ，再確定，再確定222km 22例：如圖示梁中點放一電動機。重例：如圖示梁中點放一電動機。重2500N，電動機使梁中點產(chǎn)生，電動機使梁中點產(chǎn)生的靜位移為的靜位移為1cm，轉速為，轉速為300r/min，產(chǎn)生的動荷載幅值，產(chǎn)生的動荷載幅值P=1kN，問：問：1）應加動力吸振器嗎？）應加動力吸振器嗎？2）設計吸振器。）設計吸振器。(許可位移為許可位移為1cm)Psint解：解：1 1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602頻率比在共振區(qū)之內應設置吸振器。頻率比在共振區(qū)之內應設置吸振器。2 2）由）由k2m222YPk 彈簧剛度系數(shù)為：彈簧

25、剛度系數(shù)為：5210101. 01000kN/m252224 .31101km=102 kg23lldxxYxmtdxvxmT022202)()()(cos21)(2115-9 15-9 近似法求自振頻率近似法求自振頻率1 1、能量法求第一頻率、能量法求第一頻率Rayleigh法法 根據(jù)能量守恒定律，當不考慮阻尼自由振動時，振動體系在任何時刻的動根據(jù)能量守恒定律，當不考慮阻尼自由振動時，振動體系在任何時刻的動能能T 和應變能和應變能U 之和應等于常數(shù)。之和應等于常數(shù)。 根據(jù)簡諧振動的特點可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動根據(jù)簡諧振動的特點可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最

26、大（動能具有最大值），動位移為零（應變能為零）；當體系達到最大振幅的瞬間能具有最大值），動位移為零（應變能為零）；當體系達到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個特定時刻，根據(jù)能量守恒（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個特定時刻，根據(jù)能量守恒定律得：定律得： Umax=Tmax 求求Umax ，Tmax lldxxYEItdxxyEIU0220222)()(sin2121求頻率求頻率 如梁上還有集中質量如梁上還有集中質量mi，位移幅值位移幅值)cos()()sin()(),(txYyvtxYtxy設：.ldxxYxmT022max)()(21 ldxxYEIU0

27、2max)(21 liilYmdxxYmdxxYEI022022)()(Yi為集中質量為集中質量mi處的位移幅值。處的位移幅值。24假設位移幅值函數(shù)假設位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點：必須注意以下幾點：1、必須滿足運動邊界條件：、必須滿足運動邊界條件： （鉸支端：（鉸支端：Y=0；固定端：；固定端：Y=0，Y =0） 盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計。盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計。2、所設位移幅值函數(shù)應與實際振型形狀大致接近；如正好與第、所設位移幅值函數(shù)應與實際振型形狀大致接近；如正好與第 n 主振主振型相似，則可求的型相似，則可求的n的準確解

28、。但主振型通常是未知的，只能假定一近的準確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計算似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計算高頻率誤差較大。故高頻率誤差較大。故 Rayleigh法主要用于求法主要用于求1的近似解。的近似解。3、相應于第一頻率所設的振型曲線，應當是結構比較容易出現(xiàn)的變形形、相應于第一頻率所設的振型曲線，應當是結構比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點少。式。曲率小，拐點少。4、通常可取結構在某個靜荷載、通常可取結構在某個靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x

29、）的近似表達式。此時應變能可用相應荷載）的近似表達式。此時應變能可用相應荷載q（x）所作的功來代替，）所作的功來代替，即即ldxxYxqU0)()(2120202)()()(iillYmdxxYmdxxYxq25 lldxxYmdxxYEI02022)()(2）假設均布荷載）假設均布荷載q作用下的撓度曲線作為作用下的撓度曲線作為Y(x)2(24)(323xlxlxEIqxY963031224520202120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqllmEIl287. 9例例12 試求等截面簡支梁的第一頻率。試求等截面簡支梁的第一頻率。 1）假設位移形狀函數(shù)為拋物線）假設位移形狀函數(shù)為拋

30、物線)()(xlxxYlmEIyx滿足邊界條件且與滿足邊界條件且與第一振型相近第一振型相近60/252lmEIl42120lmEImEIl295.103）假設）假設lxaxYsin)(442222324lmEIlamlEIa第一振型的精確解。第一振型的精確解。精精確確解解mEIl28696. 926xh0l例例13 求楔形懸臂梁的自振頻率。求楔形懸臂梁的自振頻率。 設梁截面寬度為設梁截面寬度為 1，高度為，高度為 h=h0 x/l。解：解：單位長度的質量：單位長度的質量：設位移形狀函數(shù)：設位移形狀函數(shù)：2)1 ()(lxaxY滿足邊界條件：滿足邊界條件：0)(, 0)(lYlY lldxxYm

31、dxxYEI02022)()(ElhlEh204202581. 1,25 Rayleigh 法所得法所得頻率的近似解總是比精確解偏高頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設了一振型其原因是假設了一振型曲線代替實際振型曲線，迫使梁按照這種假設的形狀振動，相當于給梁加上了曲線代替實際振型曲線，迫使梁按照這種假設的形狀振動，相當于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當所設振型越接近于真實，則相當所設振型越接近于真實，則相當于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實，即偏高量越小。當于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實，即偏高量越小

32、。30121lxhIlxhm0截面慣性矩：截面慣性矩：相比誤差為相比誤差為3%與精確解與精確解Elh20534. 127 1、假設多個近似振型、假設多個近似振型n 21,都滿足前述兩個條件。都滿足前述兩個條件。2、將它們進行線性組合、將它們進行線性組合（a1、a2、an是待定常數(shù)）是待定常數(shù)）nnaaaxY2211)( 3、確定待定常數(shù)的準則是：、確定待定常數(shù)的準則是：獲得最佳的線性組合獲得最佳的線性組合，這樣的，這樣的Y（x）代入頻）代入頻率計算公式中得到的率計算公式中得到的2 的值雖仍比精確解偏高，但對所有的的值雖仍比精確解偏高，但對所有的a1，a2，an的的可能組合，確實獲得了最小的可能

33、組合，確實獲得了最小的2值。值。所選的所選的a1，a2，an使使2 獲得最小值的條件是獲得最小值的條件是), 2 , 1(, 02niai 這是以這是以a1，a2，an為未知量的為未知量的n個奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式個奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低 n 階頻率來。階次越低往往階頻率來。階次越低往往越準。越準。 為了使假設的振型盡可能的接近真實振型，盡可能減小假設振型對體系所附為了使假設的振型盡可能的接近真實振型，盡可能減小假設振型對體系所附加的約束，加的約束， Ritz 提出了改進方法：提出了改進方法：

34、28 lldxxYmdxxYEI02022)()( niiinnaaaaxY12211)( niiiaxY1)(, 02ia0)()()()(02020202 lilllidxxYmadxxYmdxxYEIdxxYEIa20)()()()(02020202 lilllidxxYmadxxYEIdxxYmdxxYEIa00112011 ljininjjiiljininjjiidxmaaadxEIaaa.,00)(), 2 , 1(0)(222212221njijijnjmkamkniamk 可求出特征方程：或寫成矩陣形式：22220)(022lidxxYma011211ijninjjiiijni

35、njjiimaaakaaa0121ijnjjijnjjmaka29例例14 用用RayleighRitz 法求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。法求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。xlEIm解：懸臂梁的位移邊界條件為：解：懸臂梁的位移邊界條件為：（在左端）（在左端）Y=0Y=032212211xaxaaaY設：f只取第一項只取第一項2121 x代入：代入： ljiijljiijdxmmdxEIk00,5,451111lmmEIlk代入頻代入頻率方程：率方程：02mkmEIllmEIlmEIl2142521472. 4,20054其精確解：其精確解：mEIl21516. 3與精確解相比，誤差為與精確解相比，誤差為27%。30例例14 用用RayleighRitz法求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。法求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。xlEIm解：解：32212211xaxaaaYf取兩