數(shù)值計算：緒論

1、任課教師：任課教師：柴振華柴振華Email：數(shù)值分析數(shù)值分析(Numerical Analysis)數(shù)值分析數(shù)值分析(Numerical Analysis)考試方式：考試方式：閉卷閉卷考試成績：考試成績：數(shù)值實驗報告占數(shù)值實驗報告占 20%，考試占，考試占 80%有關(guān)數(shù)值實驗報告的幾點說明：有關(guān)數(shù)值實驗報告的幾點說明：1) 題目范圍：教材每章后面的數(shù)值實驗題（題目范圍：教材每章后面的數(shù)值實驗題（自選三題自選三題）2) 提交時間：第提交時間：第11周周 周一上午（周一上午（C12-S201）3) 要求：要求：u利用所學知識，并嚴格按照題目要求完成所選題目利用所學知識，并嚴格按照題目要求完成所選題

2、目u報告中必須包含詳細的算法代碼（報告中必須包含詳細的算法代碼（C/C+、Matlab等）、數(shù)值結(jié)果等）、數(shù)值結(jié)果（圖形、表格）以及必要的結(jié)果描述與分析（圖形、表格）以及必要的結(jié)果描述與分析uA4紙雙面打印、首頁（單面）須包含姓名、院系、學號等基本信息紙雙面打印、首頁（單面）須包含姓名、院系、學號等基本信息注：作業(yè)必須獨立完成，若出現(xiàn)雷同，將視情況酌情扣分注：作業(yè)必須獨立完成，若出現(xiàn)雷同，將視情況酌情扣分& 參考書目參考書目 (Reference) 數(shù)值分析數(shù)值分析 李慶揚、王能超、易大義李慶揚、王能超、易大義編著編著 （清華大學出版社）（清華大學出版社） Numerical Analysis

3、 (Seventh Edition) 數(shù)值分析數(shù)值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）（高等教育出版社） Introduction to Numerical Analysis (Second Edition) 數(shù)值分析導(dǎo)論數(shù)值分析導(dǎo)論 （第二版（第二版 影印版）影印版） J. Stoer & R. Bulirsch （世界圖書出版公司）（世界圖書出版公司） 數(shù)值分析學習輔導(dǎo)數(shù)值分析學習輔導(dǎo) 李紅、徐長發(fā)李紅、徐長發(fā)編著編著 （華工出版社）（華工出版社）&教材教材 (Text Book) 數(shù)值分析

4、數(shù)值分析（第二版）（第二版）李李 紅紅 編著編著 （華中科技大學出版社）（華中科技大學出版社）緒緒 論論 數(shù)值分析數(shù)值分析概括為用計算機求解數(shù)學問題的數(shù)值方數(shù)值方法和理論法和理論。 在工程計算和科學實驗中會遇到諸如線性方程組的求解、微分、積分、微分方程的求解等常見的數(shù)學問題。 求解數(shù)學問題思維方式： （1）利用數(shù)學方法求出（或推導(dǎo)出）結(jié)果的解析表達式（又稱解析解） （2）若實際中結(jié)果的解析表達式難以給出，例如滿足某個微分方程的函數(shù)不易求得，采用數(shù)學理論與計算機相結(jié)合，尋求(設(shè)計)合適的算法以期得到問題的近似數(shù)值解數(shù)值分析數(shù)值分析研究的主要問題。 下面是兩種思維過程的對比：實際問題實際問題數(shù)學模

5、型數(shù)學模型解析表達式解析表達式結(jié)果結(jié)果實際問題實際問題數(shù)學模型數(shù)學模型算法設(shè)計算法設(shè)計編程計算結(jié)果編程計算結(jié)果 眾所周知，電子計算機實質(zhì)上只會做加眾所周知，電子計算機實質(zhì)上只會做加減乘除等基本運算，研究怎樣通過計算機所減乘除等基本運算，研究怎樣通過計算機所能執(zhí)行的基本運算，求得各類數(shù)學問題的數(shù)能執(zhí)行的基本運算，求得各類數(shù)學問題的數(shù)值解或近似解就是數(shù)值計算的值解或近似解就是數(shù)值計算的根本課題根本課題。由。由基本運算及運算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的基本運算及運算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的解題步驟，稱為解題步驟，稱為算法算法。數(shù)值。數(shù)值計算計算的的根本任務(wù)根本任務(wù)就是就是研究算法研究算法。通過編制程序我

6、們就可以計通過編制程序我們就可以計算算sinx的的近似值。事實上，近似值。事實上，計算機語言常用的數(shù)學運算的標準函數(shù)也可用這種方法計算機語言常用的數(shù)學運算的標準函數(shù)也可用這種方法寫成。寫成。)()!12()1(!7! 5! 3sin1212753xRnxxxxxxnnn )!12()1(!7! 5! 3sin12753 nxxxxxxnn 例：例：計算任意角的三角函數(shù)，如計算任意角的三角函數(shù)，如sinx。不調(diào)用庫函數(shù)，。不調(diào)用庫函數(shù)，計算機是不能直接計算計算機是不能直接計算sinx的。根據(jù)微分學的的。根據(jù)微分學的Taylor公式，公式，我們有：我們有：等式的右端就只是乘法與加法的循環(huán)運算。取等

7、式的右端就只是乘法與加法的循環(huán)運算。取 算法算法1 1：按原形計算：按原形計算： 需做需做 次乘法、次乘法、 次加法次加法1296. 2912. 1215. 1425. 00625. 0234 xxxx例：例：計算多項式計算多項式的值。的值。十十四四 算法算法2 2；上述多項式化為；上述多項式化為1296. 2)912. 1)215. 1)425. 00625. 0( xxxx則需做則需做 次乘法、次乘法、 次加法。次加法。四四四四 算法算法3 3；上述多項式化為；上述多項式化為xxx22(0.5 +0.6) +0.5 +0.7(0.5 +0.6) +0.8+0.9則需做則需做 次乘法、次乘法

8、、 次加法。次加法。三三五五秦九韶秦九韶（公元12021261）中國剩余定理中國剩余定理數(shù)書九章（1247）秦九韶算法（秦九韶算法（1247）Hernor算法（算法（1819）nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa .22112222212111212111例：例：解線性方程組解線性方程組按按Cramer法則求解，即法則求解，即nkDDxkk,.2,1, 其中其中, nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211 kD 是把是把D中第中第k列列 Tnkkkaaa.21 Tnbbb.21換為換為這要計算這要計算 個行列式，做個行列式，做 次除法。次除法。n+1

9、n而每個行列式包含而每個行列式包含 個乘積，每個乘積個乘積，每個乘積n!n-1需做需做次乘法次乘法. .這樣共需做這樣共需做nnnAn )1()!1(次乘除法。次乘除法。 當當n=20時，時，2020107 . 9 A這意味這意味著在每秒做一億次乘除法的計算機上，要做著在每秒做一億次乘除法的計算機上，要做多萬年！多萬年！30因此，在構(gòu)造算法時，還應(yīng)考慮如何因此，在構(gòu)造算法時，還應(yīng)考慮如何計算計算, , 才能才能既快又省。既快又省。 提問：提問：數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值數(shù)值分析分析輸入復(fù)雜問題或運算輸入復(fù)雜問題或運算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxba

10、x 計算機計算機近似解近似解第一章第一章 誤差誤差 /* Error */1 誤差的背景介紹誤差的背景介紹 /* Introduction */1. 來源與分類來源與分類 /* Source & Classification */ 從實際問題中抽象出數(shù)學模型從實際問題中抽象出數(shù)學模型 模型誤差模型誤差 /* Modeling Error */ 通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差 /* Measurement Error */ 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差 /* Truncation Error */ ) 機器字長有限機器字長有限 舍

11、入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */誤差：誤差：一個物理量的真實值與計算值之間的差異一個物理量的真實值與計算值之間的差異 1 Introduction: Source & Classificationdxex 102 近近似似計計算算: :例例大家一起猜？大家一起猜？ dxe2x1011 / e解法之一解法之一：將將 作作Taylor展開后再積分展開后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4 /* Remainder */,104 Sdxe2x取取則則 111!5191!414R稱為稱為截斷誤差截斷誤

12、差 /* Truncation Error */005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S 0010200050. | 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */ |006000100050102.dxe-x 的的總總體體誤誤差差計計算算= 0.747 由截去部分由截去部分/* excluded terms */引起引起由留下部分由留下部分/* included terms */引起引起1 Introduction: Spread & Accumulation2. 傳播與積累傳播與積累 /* Spread & Accumulatio

13、n */例例：蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng) 紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！就刮起臺風來了？！NYBJ以上是一個以上是一個病態(tài)問題病態(tài)問題 /* ill-posed problem*/關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學家去頭痛吧！關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學家去頭痛吧！1 Introduction: Spread & Accumulation.210110,n,dxexeIxnn 例例：計算：計算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精確精確成立成立632120560111100.edxeeIx 記為記為*0I80

14、001050 .IIE則初始誤差則初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !What happened?!1 Introduction: Spread & Accumulation考察第考察第n步的誤差步的誤差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !0

15、1En|Enn 我們有責任改變。我們有責任改變。 造成這種情況的是造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 /* unstable algorithm */迅速積累，誤差呈遞增走勢。迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動可見初始的小擾動801050| .E)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式與公式一注意此公式與公式一在理論上在理論上等價等價。方法：先估計一個方法：先估計一個IN , ,再反推要求的再反推要求的In ( n N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可取可取0* NNNIIEN, ,時時當當1 Introduction: Sp

16、read & Accumulation632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取 We just got lucky?1 Introduction: Spread & Accumulation考察反推一步的誤差：考察反推一步的誤差：|1)1 (1)1 (

17、1|*1NNNNENININE 以此類推，對以此類推，對 n 6 log6，即，即 n 6，應(yīng)取，應(yīng)取 * = 3.14159。3 函數(shù)的誤差估計函數(shù)的誤差估計 /*Error Estimation for Functions*/問題問題：對于：對于 A = f (x)，若用，若用 x* 取代取代 x，將對，將對A 產(chǎn)生什么影響？產(chǎn)生什么影響？分析分析：e*(A) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem= f ( )(x* x)x* 與與 x 非常接近時，可認為非常接近時，可認為 f ( ) f (x*) ，則有：，則有：|e*(A)| |

18、f (x*)|e*(x)|即：即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大作用后被放大/縮小了縮小了| f (x*)|倍。故稱倍。故稱| f (x*)|為為放大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 絕對條件數(shù)絕對條件數(shù) /* absolute condition number */.3 Error Estimation for Functions* ()|() |(*)reAe *Afx *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相對誤差條件數(shù)相對誤差條件數(shù) /* relative

19、 condition number*/ f 的條件數(shù)在某一點是的條件數(shù)在某一點是小小大大，則稱，則稱 f 在該點是在該點是好條件的好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的壞條件的 /* ill-conditioned */。注：注：關(guān)于多元函數(shù)關(guān)于多元函數(shù) 的討論，請參閱教的討論，請參閱教材第材第7頁。頁。).,(21nx,x,xfA 3 Error Estimation for Functions例：例：計算計算 y = ln x。若。若 x 20，則取，則取 x 的幾位有效數(shù)字可保的幾位有效數(shù)字可保證證 y 的相對誤差的相對誤差 0.1% ?*ln| )(*| )(

20、*|*)(*)(*| )(|xxexexyxyxy*errr 解解：設(shè)截?。涸O(shè)截取 n 位有效數(shù)字后得位有效數(shù)字后得 x* x，則，則估計估計 x 和和 y 的相對誤差上限滿足近似關(guān)系的相對誤差上限滿足近似關(guān)系)(*ln)(*yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么辦?。坎恢涝趺崔k??？x 可能是可能是20 ，也可能，也可能是是19，取最壞情況，取最壞情況，即即a1 = 1。 n 4例例：計算：計算 ，取，取 4 位有效數(shù)字，即位有效數(shù)字，即 , 則相對誤差則相對誤差8ln 209 )8920ln(. %.1010029820ln9820ln8920ln5 4 幾點注意事項幾點注意事項 /* Remarks */1. 避免相近二數(shù)相減避免相近二數(shù)相減例例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 幾種經(jīng)驗性避免方法：幾種經(jīng)驗性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當當 | x | 1 時：時：;2sin2cos12xx .6121112xxxex4 Remarks2. 避免小分母避免小分母 : 分母小會造成浮點溢出分母小會造