微課精彩案例

1、北京航空航天大學北京航空航天大學微課精彩案例微課精彩案例李尚志李尚志北京航空航天大學北京航空航天大學北京航空航天大學北京航空航天大學務虛務虛微課應出彩微課應出彩.課程最小單位課程最小單位. 有來有往有來有往. 錄像與剪輯錄像與剪輯北京航空航天大學北京航空航天大學切線方程與斜率切線方程與斜率 微積分微積分北京航空航天大學北京航空航天大學字母運算字母運算: :一勞永逸一勞永逸設設c x0 ,則則 u =x0- -c 0. 將將 x0= c+u 代入代入f(x0)=0 得得 f(c+u) = (c+u)3- -3(c+u)+1= f(c) +(3c2- -3)u+o(u)= 0 (1) o(u)是高

2、次項之和是高次項之和. u0 = o(u)/u 0. o(u)是是無窮小量無窮小量u的無窮小倍的無窮小倍, 稱為稱為高階無窮小高階無窮小. 常數(shù)項常數(shù)項 f(c)=c3- -3c+1. 記記 f (c)=3c2- -3 (一一次項系數(shù)次項系數(shù)) .式式(1)舍去舍去o(u) 得得 f(c)+f (c)u 0 =u=x0- -c - -f(c)/f (c). 公式公式: : x0 c1=c- -f(c)/f (c) . c1比比c更接近更接近x0 . c =0 = c1=1/3 = c2=0.3472 = c3=0.3473. 北京航空航天大學北京航空航天大學如法炮制如法炮制例例2. 求方程求方

3、程 x3+x- -3= 0 的實根的近似值的實根的近似值. 解解. . f(1)=- -10f(2)=7 0 u=x0- -1 - -1+4u 0 = u1/4 = x01.25. 仿照例仿照例1, 對每個對每個c x0 設設u = x0- -c 得得 x0=c+u, f(c+u)=(c+u)3+(c+u)- -3=f(c)+(3c2+1)u +o(u) =0 = f(c)+(3c2+1)(x0- -c)0 = x0 c- -f(c)/(3c2+1). c=1 = c1=1.25 = c2=1.2143 = c3=1.21341. 北京航空航天大學北京航空航天大學方程方程x3- -3x+1=0

4、求根求根 曲線曲線 y=x3- -3x+1與與x軸交點橫坐標軸交點橫坐標. 變成一次方程變成一次方程 - -3x+1=0換成換成直線直線 y=- -3x+1 求交點求交點.畫圖畫圖: 運行運行Mathematica語句語句觀察發(fā)現(xiàn)觀察發(fā)現(xiàn): 直線與曲線在點直線與曲線在點(0,1)相切相切. 換成過換成過(1/3, f(1/3)=(1/3,1/27)的直線的直線 y=1/27- -(8/3)u即即 y=1/27- -(8/3)(x- -1/3).也與曲線相切也與曲線相切. 牛頓切線法牛頓切線法:用切線代替曲線求交點用切線代替曲線求交點. 代數(shù)解法的幾何版本代數(shù)解法的幾何版本 北京航空航天大學北京

5、航空航天大學過曲線過曲線 y=f(x)=x3- -3x+1 上一點上一點C(c, f(c) 的的切線切線. 幾何幾何: 直線直線 y=h(x)=f(c)+k(x- -c),在在C 附近與曲線附近與曲線最吻合最吻合者者.代數(shù)代數(shù):當當 x- -c0時時誤差誤差 E(x)=|f(x)- -h(x)|最小最小. 實現(xiàn)實現(xiàn): f(x)改寫成改寫成 u=x- -c的多項式的多項式 f(c+u)=(c+u)3- -3(c+u)+1= f(c)+f (c)u+o(u)=f(c)+(3c2- -3)(x- -c)+o(x- -c), (泰勒展開式泰勒展開式)當當u0, E(x) = |(f (c)- -k)u

6、+3cu2+u3|0, 無法區(qū)別無法區(qū)別不同的不同的k ;E(x)/|u| =|(f (c)- -k)+3cu+u2|f (c)- -k|,最小值最小值0 (當當k=f (c) .切線方程切線方程 : y= f(c)+f (c)(x- -c) （泰勒展開式舍棄高次項）（泰勒展開式舍棄高次項） 切線的代數(shù)刻畫切線的代數(shù)刻畫北京航空航天大學北京航空航天大學三角函數(shù)三角函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)北京航空航天大學北京航空航天大學劉徽割圓劉徽割圓例例1. 計算計算sin1o的近似值的近似值.分析分析. 設單位圓弧設單位圓弧AB長度長度= x = 角角AOB的弧度數(shù)的弧度數(shù). 則則:弧長弧長BB =2x, 弦長弦長

7、BB =2sinx. 按照劉徽割圓原理按照劉徽割圓原理, 當角當角AOB很小很小, 弧長弧長2x弦長弦長2sinx. x0 = 相對誤差相對誤差重要極限重要極限: 誤差誤差 E(x) = x- -sinx =o(x) sinx=x+o(x)x解解. sin1o =sin(p p/180) p p/180 3.1416/180 0.01745 點評點評. 記記 f(x)=sin x. 則則 sinx=x+o(x). 由由 f (0)可求出可求出 f (x).北京航空航天大學北京航空航天大學曲率半徑曲率半徑例例2. .某工件內(nèi)表面截線為拋物線某工件內(nèi)表面截線為拋物線 y=0.4x2.用砂輪削其內(nèi)表

8、面用砂輪削其內(nèi)表面, ,求砂輪直徑求砂輪直徑. .曲率半徑曲率半徑. 過過曲線曲線 y=f(x) 上一點上一點A(x,y)附近與曲線最吻合的圓弧半徑附近與曲線最吻合的圓弧半徑R. 過過A附近曲線段附近曲線段AP端點端點A,P分別作曲線切線分別作曲線切線AB,PT的垂線交于的垂線交于 E. 則則 R=|EA|=(弧長弧長AP)/(角角E)|AP|/(q q- -a a). 設設P的坐標為的坐標為(x+dx,f(x+dx)= (x+dx,y+D Dy). 則則 曲率曲率 =例例2解解. . y=0.4x2, y=0.8x, y=0.8. R=(1+0.64x2)3/2/0.8 1/0.8=1.25

9、.北京航空航天大學北京航空航天大學證明重要極限證明重要極限求證求證. 證法證法1. SD DAOB S扇形扇形AOB SD DAOT 質疑質疑. 面積公式面積公式 S扇形扇形AOB =|OA|(弧弧AB長長)/2從何而來？從何而來？定義定義: 弧長弧長AB =折線折線AA1An-1B長度的極限長度的極限(|Ak-1Ak|0) .證法證法2. 設弧設弧Ak- -1Ak長長xk . 則則sinx= sin(x1+xn) sinx1+sinxn 2sin(x1/2)+2sin(xn/2)=S S1kn|Ak-1Ak| tanx 令最大令最大 xk0 取極限得取極限得 sinxx xD D=D D1

10、=(a1,a2) (b2,- -b1)=a1b2- -a2b1D D=|OA|OB|cos AOB=|OA|OB|cos( AOB- -p p/2) = |OA|OB|sin AOB=SOAPB= 北京航空航天大學北京航空航天大學有向面積有向面積 =|OA|OB| sin AOB |D D|=|SOAPB |. D D0 0 ( det(a1+a,b)=det(a1,b)+det(a,b) = a1b2- -a2b1北京航空航天大學北京航空航天大學 三階行列式三階行列式 = a1b2c3- -a1b3c2 - -a2b1c3 + a2b3c1+ a3b1c2- -a3b2c1 d d(ijk)=det(ei,ej,ek)=(- -1)s, (ijk)經(jīng)過經(jīng)過s次對換變成次對換變成(123).例例. (231) (213) (123), s=2(逆