拉格朗日中值定理1

1、一 拉格朗日中值定理1定理內(nèi)容拉格朗日中值定理，又被稱為有限增量定理，是微積分中的一個基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實就是泰勒公式的一階展開式的形式。在現(xiàn)實應(yīng)用當中，拉格朗日中值定有著很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理當中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發(fā)展過程都顯示出了數(shù)學(xué)當中的一個定理的發(fā)展是一個推翻陳舊，出現(xiàn)創(chuàng)新的一個進程。發(fā)現(xiàn)一些新的簡單的定理去替代舊的復(fù)雜的定理，就是由初級走向高級。用現(xiàn)代的語言來描述，在一個自變量x從x變?yōu)閤+1的過程中，如果函數(shù)f(x)本身就是一個極限值，那么函數(shù)f(x+1)的值也應(yīng)該是一個極限值，其值就應(yīng)該和f(x)的值近似相等，

2、即f(x+1)-f(x)10這就是非常著名的費馬定律，當一個函數(shù)f(x)在x=a處可以取得極值，并且函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，則f'x=0。著名學(xué)者費馬再給出上述定理時，此時的微積分研究理論正處于初始階段，并沒有很成熟的概念，沒有對函數(shù)是否連續(xù)或者可導(dǎo)作出限制，因此在現(xiàn)代微積分理論成熟階段這種說法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和現(xiàn)在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的，最初的定理是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)任取兩點x0和x1，并且函數(shù)fx在此閉區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，f'(x)的最大值為A，f'x最小值為B，則f(x1)-f

3、(x0)x1-x0的值必須是A和B之間的一個值。下述就是拉格朗日中值定理:如果存在一個函數(shù)滿足下面兩個條件，（1）函數(shù)f 在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；（2）函數(shù)f 在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么這個函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)至少存在著一點，使得f'=f(b)-f(a)b-a.2.定理意義 拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)的微積分屬于重要的定理，是微分中值定理中應(yīng)用最為廣泛的定理，在發(fā)展過程中推算出了其他的微分中值定理，在實際應(yīng)用中，具有重要的使用價值。其中，拉格朗日中值定理在幾何運算中所具有的意義是：若一個連續(xù)函數(shù)y=f(x)在兩點Aa,fa、B(b,f(b)之間不存在垂直于x軸的切線，那么在這兩點之間至少存在

4、這一點Cc,fc，這一點的切線平行于直線AB。在運動學(xué)中所具有的意義是，在任意的一個曲線運動過程中至少存在著一個時間點的速度等于這個曲線運動的平均速度。二 拉格朗日中值定理的應(yīng)用在前人對微分中值定理的研究當中，統(tǒng)計經(jīng)歷了幾百年的時間，由費馬提出費馬定理開始，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從特殊情況到一般情況，從簡單的概念到復(fù)雜的概念這樣的發(fā)展階段。在微積分當中，拉格朗日中值定理是一個非常重要的基礎(chǔ)知識。拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)的一個延伸概念，在導(dǎo)數(shù)運算中是的很基本概念。拉格朗日中值定理在屬于微積分當中的微分中值定理中有著承前啟后的作用，在研究理論上拉格朗日中值定理即是羅爾定理的延伸又銜接了柯西定理，因此，

5、不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函數(shù)的進程中有著非常重要的作用。在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用當中，拉格朗日中值定理是對函數(shù)研究的一個重要工具，并且有著十分廣泛的應(yīng)用。這些作用主要表現(xiàn)在以下幾種情況，比如在求導(dǎo)極限定理、求函數(shù)極限、證明不等式、說明函數(shù)單調(diào)性、討論方程的根是否存在的情況和對導(dǎo)數(shù)估值等，它在解決數(shù)學(xué)問題時通常將問題從難化簡，對解決難題起到很好的作用。本文著重講解的是拉格朗日中值定理各種的應(yīng)用。1. 求極限例1. 求解limxaxa-axa-x。分析：我們先將此式子的分子加上一個aa，然后再減去一個aa。如，xa-axa-x=xa-ax-aa+aaa-x=aa-axa-x=aa-axa-x-aa

6、-xaa-x此時，容易看出應(yīng)該構(gòu)建的函數(shù)的形式，令ft=at，gt=ta，假設(shè)這兩個函數(shù)都在閉區(qū)間a,t或者t,a上連續(xù)并且在相同開區(qū)間上面可導(dǎo)的，并且這兩個函數(shù)的兩個端點值都分別相等，就是滿足拉格朗日中值定理的條件，這是就分別存在著兩個點，在x和a之間，當xa時，有a，a 得limxaxa-axa-x=limxaaa-axa-x-aa-xaa-x =limaalna-limaaa-1 =aa(lna-1)例2. 存在函數(shù)f''(x)是連續(xù)的并且有f''(a)0,滿足下列式子fb+x=fb+xf'b+x (0<<1)，求x0 時的極限。解：運

7、用拉格朗日中值定理可以由式子可以計算出函數(shù)f'(x)在閉區(qū)間b,b+x或者b+x,b的拉格朗日中值定理的形式fb+x-f(b)x=f'b+x,繼上式可以推得f'b+x=f'b+xf''b+1x(0<1<1)。將這個結(jié)果帶入式子可以計算得出fb+x=fb+xf''b+x2f''b+x 運用泰勒展開公式把函數(shù)fb+x展開得以得到fb+x=fb+xf'b+12x2f''b+2x 由式子可以綜合計算得到，f''b+1x=12f''b+2x然后求極限，所以x

8、0lim=f''b+2xf''b+1x=f''(b)2f''(b)=12。例3：求出函數(shù)極限limxx2Inarctanx+1-Inarctanx。解：首先，我們先建立一個輔助函數(shù)fx=Inarctanx，然后再求解。令fx=Inarctanx，此函數(shù)在閉區(qū)間x,x+1上面明顯是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，因此存在一點在此閉區(qū)間上面。根據(jù)拉格朗日中值定理可以得出，Inarctanx+1-Inarctanx=1arctan11+2因為點是在閉區(qū)間x,x+1內(nèi)的一點，所以x<<x+1，可以得到x21+x2>x2

9、1+2>x21+(1+x)2那么在x時，則limxx21+x2=1，limxx21+(1+x)2=limxx21+x2=1，通過夾逼定理就可以知道limxx21+2=1所以，根據(jù)上面的計算，原函數(shù)=limxx2arctan11+2=limx1arctanlimxx21+2=2。在運用拉格朗日中值定理求解極限的過程中，最主要的步驟就是找到函數(shù)fx和其定義域的取值范圍此時假設(shè)為閉區(qū)間a,b，這個時候的拉格朗日中值定理公式就可以列為fb-fab-a=f'，這個式子的左邊是這個函數(shù)在這個閉區(qū)間上面兩個端點值的差與閉區(qū)間長度的比值。因此公式在變成這種形式之后，就可以得出相應(yīng)的函數(shù)與區(qū)間。當

10、極限形式為00的未定式，就可以想到需要構(gòu)建一個中間函數(shù)，此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后對函數(shù)采用拉格朗日中值定理的方法去解決問題。在解決這種類型的題目要采用羅爾定理的原因，在現(xiàn)目前大多數(shù)微積分的相關(guān)教材中，在解決類型問題時多采用構(gòu)建中間函數(shù)運用羅爾定理解決問題。在面對一些題目時，這些函數(shù)有可能并不滿足拉格朗日中值定理的條件，需要去構(gòu)建一個中間函數(shù)，去滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后將構(gòu)建的這一函數(shù)與原函數(shù)緊密聯(lián)系起來，再將構(gòu)建的函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)，從而運用拉格朗日中值定理去解決問題。當遇到典型的極限形式為0型，在此我們應(yīng)該先應(yīng)用洛必達法則去求解。但是在計算過程中會發(fā)現(xiàn)，如果采用洛

11、必達法則反而更加麻煩的時候，應(yīng)該多觀察題目是否可以運用拉格朗日中值定理來求解題目，簡化題目，因此我們可以觀察給出的式子中，然后構(gòu)建出拉格朗日中值定理的基本形式，運用拉格朗日中值定理去求解這道題目。2證明等式例4.假設(shè)函數(shù)fx=0xln1-ttdt在區(qū)間（-1,1）有意義，證明：fx+f-x=12fx2。證明：令gx=fx+f-x-12fx2=0，求得這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'x=f'x-f'-x-xf'x2=0我們可以根據(jù)題意求得f'x=ln1-xx，因此，g'x=ln1-xx+ln1+xx-ln1-x2x2=0根據(jù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可以得出gx=0，因此

12、證明了原式成立。例5：假設(shè)函數(shù)fx=arccosx+arcsinx在閉區(qū)間0,1上面是連續(xù)的，并且在開區(qū)間(0,1)上面是可導(dǎo)函數(shù)，證明：fx=arccosx+arcsinx=2。證明：由于該函數(shù)fx閉區(qū)間0,1上面是連續(xù)的，并且在開區(qū)間(0,1)上是可導(dǎo)函數(shù)，那么在該去間內(nèi)存在著一點b，使得f'b=f1-f(0)1-0又arccosx'=-11-x2，arcsinx'=11-x2因此，arccosx'+arcsinx'=0，得到f'x=0，則fx是一個常數(shù)函數(shù)。在零點有，f0=arccos0+arcsin0=2所以，fx=arccosx+arc

13、sinx=2。根據(jù)拉格朗日中值定理可以推導(dǎo)出一個結(jié)論，如下所示。假設(shè)函數(shù)fx在一個固定區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，設(shè)這個可導(dǎo)區(qū)間為A，則在點x處于區(qū)間A中，就存在著fx的導(dǎo)函數(shù)等于0，那么就證明fx在區(qū)間A中是一個常數(shù)。利用拉格朗日中值定理去證明等式這是該定理十分重要的一項運用，在證明等式的過程中，用題目中給出的證明等式的式子去構(gòu)建出類似于拉格朗日中值定理形式的式子。在證明恒等式時，可以先假設(shè)這個恒等式兩邊的式子相減為0，構(gòu)建出一個新的函數(shù)，然后根據(jù)常熟的導(dǎo)數(shù)為0來證明這個恒等式成立。2. 證明不等式例6.證明：x1-x2<arcsinx<x，x>0。證明：先假設(shè)fx=arcsinx，在區(qū)間

14、0,x上運用拉格朗日中值定理可以得到arcsinxx=11-2arcsinx=x1-2又因為是存在于閉區(qū)間0,x內(nèi)的，所以<x。x1-2>x1-x2那么，x1-x2<arcsinx<x。例7.證明x1-x<ln1+x<x(x>0).證明：令fa=ln(1+a)，由題意可知0<a<x，則函數(shù)fa在0<a<x這個區(qū)域內(nèi)是連續(xù)并且可導(dǎo)的函數(shù)，根據(jù)拉格朗日中值定理運算可以得到fx-f0=f'x(0<<x),則，可以得到ln(1+a)=x1-由于0<<x，則11+x<11+<1所以就可以得到x1

15、-x<ln1+x<x(x>0)。在求解不等式的時候，把異于其他式子的函數(shù)用拉格朗日中值定理表示出來，推算出相似的式子進行比較，然后證明原式的大小。求解不等式的基本思想是，在拉格朗日中值定理中的公式形式為，存在一點在開區(qū)間a,b內(nèi)，不管點在該區(qū)間的哪一點，都可以根據(jù)拉格朗日中值定理計算出f'(x)的值域的取值范圍，還可以利用導(dǎo)數(shù)f'x的兩端點值，運用拉格朗日中值定理得出的f'()就可以得到所需的不等式，此時f'a+c=fa+c-fac(0<<1)此時，c=b-a，然后根據(jù)題意適當調(diào)節(jié)數(shù)值的大小，得到適當?shù)氖阶泳湍茏C明不等式。4.判斷級

16、數(shù)斂散性例8：證明函數(shù)Sn=n=11n發(fā)散。證明：令fa=lna，這個函數(shù)在區(qū)間（n,n+1）這個區(qū)域內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此在這個區(qū)間之內(nèi)至少存在著一點，使得fn+1-fn=f'=1因為點在這個區(qū)間之內(nèi)，因此1>1n可以推導(dǎo)出，ln2-ln1<1，ln3-ln2<12，ln4-ln3<13，ln(n+1)-lnn<1n，將上述所有的不等式相加可以得到lnn+1<1+12+13+1n=Sn。limnSn=limnln(1+12+13+1n)=+因此，函數(shù)Sn=n=11n發(fā)散。例9：證明函數(shù)Sn=n=1ln（1+1n）發(fā)散。證明：因為函數(shù)

17、lnx在閉區(qū)間1,+上滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此閉區(qū)間n,n+1上存在著一點使得，lnn+1n=lnn+1-lnn=1又1n+1<lnn+1n<1n上一個例題已經(jīng)證明了級數(shù)1n是發(fā)散的，所以此函數(shù)也是發(fā)散的。5.研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)例10.證明：若存在一個函數(shù)fx在區(qū)間（a,b）（該區(qū)間是無窮或有窮區(qū)間）內(nèi)存在這一個有界的導(dǎo)函數(shù)f'x，那么這個函數(shù)在fx在區(qū)間(a,b)是一致連續(xù)的。證明：假設(shè)在a<x<b時，存在f'xM，那么存在著屬于區(qū)間(a,b)的兩點m、n，在這兩點之間運用拉格朗日中值定理存在著fm-fnm-n=f'(n<

18、<m)那么，f'xM，存在一點>0，使=M，由于m、n這兩點在區(qū)間(a,b)內(nèi)，則有m-n，運用拉格朗日中值定理可以得到fm-fn=m-nf'm-nM根據(jù)一致連續(xù)定理可以知道，函數(shù)在fx在區(qū)間(a,b)是一致連續(xù)的。例11：函數(shù)fx=2x2-8，即f'x=4x。當x在開區(qū)間0,+時，有f'x>0，fx在開區(qū)間0,+單調(diào)遞增；當x在開區(qū)間-,0時，有f'x<0，f(x)在開區(qū)間-,0單調(diào)遞減。在x=0，有f'(0)=0，f0=-8。由上述例子說明，想要確定一個函數(shù)的單調(diào)性可以通過求得這個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來求得判斷單調(diào)區(qū)間。當一

19、個函數(shù)在某個確定的區(qū)間內(nèi)，存在著f'x>0，fx在這個確定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；f'x<0，函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。在f'(0)=0時，那么這一點就是這個函數(shù)的極值點。在例1中，當1<x<3，f3-f(1)3-2=8=f'(2)，這就是拉格朗日中值定理最簡單的形式。拉格朗日中值定理將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)運算連接在了一起，因此我們可以借用拉格朗日中值定理的導(dǎo)數(shù)形式去了解在函數(shù)在區(qū)間上面的性質(zhì)。函數(shù)在區(qū)間上面的性質(zhì)包括了函數(shù)的單調(diào)性、連續(xù)性等。例10是拉格朗日中值定理對連續(xù)性的證明，例11是利用拉格朗日中值定理對區(qū)間單調(diào)性的證明。在拉格朗日中值定理中

20、，有兩個要求條件，一個是在一個閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，一個是在相同期間開區(qū)間可導(dǎo)，不滿足這兩個條件，拉格朗日中值定理在此種情況下是沒有意義的。6.估值問題在解決估值問題的時候，我們通常采用的泰勒公式來解決。但是在有些特殊的情況下，可以采用拉格朗日中值定理更加簡便。例12.假設(shè)導(dǎo)函數(shù)f'x在閉區(qū)間m,n上是連續(xù)函數(shù)，并且fm=fn=0。證明：nm|f'x|dx4n-mmaxmxn|fx|。證明：若函數(shù)fx是恒等于0的，那么這個不等式顯然是正確的。那么接下來考慮函數(shù)fx不恒等于0的情況。在區(qū)間m,n上存在著一點c，使得，maxmxn|fx|=fc然后，將閉區(qū)間m,n分為兩個閉區(qū)間m,c、c,

21、n，運用拉格朗日中值定理得到，fcc-m=f'()、-fcn-c=f'，那么nm|f'x|dx|f'x|dxf'xdx=f'-f'=|fc(n-m)1n-c(c-m)|然后再把式子n-cc-m<(n-m)24帶入上面的式子，就可以證明nm|f'x|dx4n-mmaxmxn|fx|。7.證明方程根的存在性例13.函數(shù)fx在閉區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，并且此函數(shù)的值域在開區(qū)間(0,1)內(nèi)，在開區(qū)間（0,1），不存在函數(shù)等于-1的情況，證明：方程fx+x-1=0在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在唯一的實根。證明：令gx=fx+x-1，則gx在開區(qū)間

22、(0,1)內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，又0<f(x)<1，那么g0=f0-1<0，g1=f1>0。根據(jù)零點定理可以得到，gx在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在著一個實根，即fx+x-1=0。 在證明此方程是否在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在唯一實根，采用反證法來證明。方程fx+x-1=0在開區(qū)間(0,1)存在著兩點a,b（0<a<b<1），那么將這兩點代入方程中可以得到，fa=1-a，fb=1-b，此時，運用拉格朗日中值定理對這兩點進行運算可以得到f'=fb-fab-aa<<b=1-b-(1-a)b-a=-1此時，已經(jīng)與題目中函數(shù)不等于-1的情況相沖突了，因此

23、這個方程在此區(qū)間內(nèi)只有唯一的實根。例14：證明方程x3+x-1=0只存在一個根。證明：先令fx=x3+x-1f0=-1，f1=1因此，在閉區(qū)間0,1內(nèi)，存在這一點a使得fa=0，所以點a就是這個函數(shù)的一個正根。假設(shè)這個函數(shù)還存在著一個正根b>a，那么在閉區(qū)間a,b內(nèi)，這個函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，有fa=fb，則在此區(qū)間內(nèi)存在一點c使得f'c=0，則f'c=3x2+1=0這是矛盾的，所以這個方程就只有一個根。在證明方程根的存在性的過程中，可以依據(jù)所給出的根的取值范圍例如是閉區(qū)間a,b，把函數(shù)假設(shè)為fx，然后利用拉格朗日中值定理對方程根的存在性進行證明，在證明的過

24、程中，一般是證明函數(shù)是存在的用推導(dǎo)的方法，在證明根的存在性的時候，一般采用的是反證法。8.拉格朗日中值定理使用誤區(qū) 在拉格朗日中值定理的實際運用當中，往往會出現(xiàn)一些錯誤的應(yīng)用。這種誤區(qū)通常在：在用拉格朗日中值定理證明的過程中，可以推導(dǎo)出limx0cos1x=0我們都知道cos1x在x0的極限值是不存在的。因此，這就證明了該定理是錯誤的。下面舉例說明：（誤區(qū)一）例15.證明：假設(shè)函數(shù)fx=x2sin1x(x0)0(x=0)，那么函數(shù)fx在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū)間0,x上可導(dǎo)。并且存在著一點a在開區(qū)間(0,x)內(nèi)，使得fx-f0=fax 那么根據(jù)題意，可以得到xsin1x=2asin1a-co

25、s1a cos1a=2asin1a-xsin1x在x0，a0，可以得出cos1a0，從而可以推到出limx0cos1x=0。但是limx0cos1x這個極限值是不存在的，說明拉格朗日中值定理出錯了，但是經(jīng)歷了這么多年發(fā)展的拉格朗日中值定理真的存在錯誤嗎？其實并不是，拉格朗日中值定理是已經(jīng)發(fā)展的很完善的定理，不存在錯誤。在上述證明過程中，我們在證明到事實上以上證明得出limx0cos1x0這個結(jié)論是正確的。錯誤的地方在得出這個結(jié)論之后，我們不能因此就得到limx0cos1x=0，因為在x趨近于0的過程中，a并沒有一直連續(xù)的趨近于0，a的取值只是x取值的一部分，因此并不連續(xù)，所以得到的極限能夠存在

26、并不能推導(dǎo)出原極限也是存在的，所以并不能推出limx0cos1x=0。（誤區(qū)二）例16：假設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b內(nèi)是連續(xù)的，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，那么這個函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)存在著一點，并且在這個閉區(qū)間a,b內(nèi)存在著兩個點m、n，使得可以得到式子fm-fn=f'(m-n)，這個式子的形式與拉格朗日中值定理的形式無異，從上述步驟來看，結(jié)論應(yīng)該是正確的。但是這個結(jié)論違背了拉格朗日中值定理的需求條件，是錯誤的結(jié)論。在拉格朗日中值定理中，一般都是先假定存在著兩點m、n，然后在這個基礎(chǔ)上面去提出一點，但是在這個證明過程中是先提出的存在一點，然后提出這兩點m、n，提出先后順序是相反的，就不一定能得出前者所推導(dǎo)出來的結(jié)論。舉例說明：假設(shè)存在函數(shù)fx=x3，這個函數(shù)在閉區(qū)間-1,1內(nèi)是連續(xù)的，在開區(qū)間（-1,1）內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，這個函數(shù)是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，那么在開區(qū)間（-1,1）內(nèi)存在這一點，這一點剛好是零點，則=0，使得fx=3x2，可以得到f=0，那么在此區(qū)間內(nèi)存在兩點m、n，使得fm-fn= fm-n=0，由于函數(shù)fx=x3在此區(qū)間上面的單調(diào)的，所以在這個區(qū)間上面不存在m、n這樣的兩點