函數項級數和泰勒展開PPT學習教案

1、會計學1函數項級數和泰勒展開函數項級數和泰勒展開2) 對非標準型冪級數對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式缺項或通項為復合式)直接用比值法得直接用比值法得收斂半徑收斂半徑,(也可通過換元化為標準型再求也可通過換元化為標準型再求) .20(0),nnnna xa00() (0)nnnnaxxa210(0)nnnna xa再討論端點再討論端點xR 的收斂性的收斂性,得得收斂域收斂域 .第1頁/共22頁3，冪級數運算冪級數運算001 )nnnnnna xb x120()( )( )nnnnab xs xs x 21,minRRR 0( )xs x dx.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變

2、,但收斂域有可能改變但收斂域有可能改變)( )s x.11 nnnxna02)( )nnna xs X(, )xR R (, )xR R 第2頁/共22頁4，求冪級數求冪級數和函數和函數的方法的方法：-收斂區(qū)間內通過逐項求導或求逐項積分收斂區(qū)間內通過逐項求導或求逐項積分5*，求數項級數和的方法：求數項級數和的方法：1）直接求直接求2）借助于函數項級數的和函數求借助于函數項級數的和函數求1111212212 （ ）第3頁/共22頁例例解解設冪級數設冪級數0nnna x的收斂半徑的收斂半徑為為3,求冪級數求冪級數的收斂半徑的收斂半徑10(1 )nnnnax11lim3nnnaa111 ( 24)3

3、xx 1(1 )1lim(1 )13nnnnaxxna時收斂時收斂,3R典型例題典型例題第4頁/共22頁例例解解若若1(1 )nnnax在在1x 處收斂處收斂,則此級數在則此級數在2x處處1) 條件收斂條件收斂 2)絕對收斂絕對收斂 3)發(fā)散發(fā)散 4)收斂性不定收斂性不定1( 2)nnna收斂收斂,12,( 13)xx 時時,1(1 )nnnax絕對收絕對收斂斂,所以選所以選2)第5頁/共22頁例例的收斂半徑、收斂區(qū)域的收斂半徑、收斂區(qū)域及和函數及和函數解解求冪級數求冪級數1211( 1 )nnnxn11( 1 )3nnnn并求并求之和之和2121121( 1 )limlim,1( 1 )(1

4、 )nnnnnnnnuxnxRuxn1211( 1 )1 ,( 1 )nnnXn 11( 1 )1 ,nnXn收斂收斂所以收斂所以收斂區(qū)域：區(qū)域： 1 ,1 收斂收斂第6頁/共22頁設設( )s x1211( 1 ),nnnxn21ln(1),0( )0,0 xxs xxx210, ( )ln(1),0, (0)0 xs xxxsx12121( )2( 1 )21nnnxxs xxx121( 1 )( )nnnxs xxn2( )ln(1)xs xx第7頁/共22頁11( 1 )3nnnn12121( 1 )1ln(1),0nnnxxxnx1221( 1 )( )ln(1)nnnxs xxxn

5、1221( 1 )114()ln(1 () )ln333nnnn第8頁/共22頁泰勒展開小結)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )nRx)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn 1,f (x) 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 2,f (x) 的的泰勒級數泰勒級數 第9頁/共22頁3. 函數的冪級數展開法函數的冪級數展開法(1) 直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法間接展開法 利用冪級數的性質及已知展利用冪級數的性質及已知展開開4. 常用函數的冪級數

6、展開式常用函數的冪級數展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x011!nnnxxnn221x331x441x110( 1 )( 1 )11nnnnnxxnn式的函數式的函數 .第10頁/共22頁! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x2( 1 )(2 )!nnxn 2111nxxxx ),(x),(x) 1, 1(x20( 1 )(2 )!nnnxn210( 1 )(21 )!nnnxn0nnx第11頁/共22頁)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn 將在x = 0處展為冪級數.

7、)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311例*典型例題典型例題第12頁/共22頁例例將將222xxx展開展開為為x的冪級數的冪級數解解222xxx( 11 )x 210111 ( 1 )32nnnnx 220011()322nnnnxx211()3 12(1)2xxx211()3 12xxX21(1)(2)xxx第13頁/共22頁例例將將2176xx分別展開為分別展

8、開為,4x x的冪級數的冪級數解解21111()76516xxxx1011(1)( 1 )56nnnnx0011()6() 56nnnnxx111()5 16(1)6xx( 11 )x ( 11 )( 11 )6xx 第14頁/共22頁21111()76516xxxx1!111( 1 )(4)532nnnnx 001 141()() 534232nnnnxx1 1111(4)(4)5321132xx111()53 (4)2(4)xx 111()53442xx( 62)x 4x(4)113(4)112xx 第15頁/共22頁例例將將(1)ln(1)xx展開展開為為x的冪級數的冪級數解解ln(1)

9、x10( 1 )1nnnxnln(1)x1100()( 1 )11nnnnnxxnn (1)ln(1)ln(1)ln(1)xxxxx1121(1 )nnnxxn n 1111()1nnxxnn 11111nnnnxxxnn 11011nnnnxxnn 120011nnnnxxnn ( 11 )x ()11x 第16頁/共22頁例例. 將將xy2sin展開為展開為x的冪級數的冪級數 ?解解:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(第17頁/共22頁例例 將函數將函數2)2(1x展開成展開成 x 的冪級數的冪級數.解解:

10、22(211)xx21121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x第18頁/共22頁例例將將21( )f xx展開為展開為1x的冪級數的冪級數解解01( ) ,1nnxx211( )( )f xxx 011(1 )1 (1 )nnxxx 120011( )( )(1 ) )(1 )nnnnf xxn xxx 11120 xx 2,0 xx 級數發(fā)散級數發(fā)散,( 2,0)x 第19頁/共22頁例例1()xdedxx展開展開為為x的冪級數的冪級數解解將將并求級數并求級數1(1 )!nnn之和之和212!nxxxexn 22()(!)11nxnnnedxxdx11112!nnnxxxnn 1xex()x 1