第二講晶體學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章第三章 晶體宏觀對(duì)稱性晶體宏觀對(duì)稱性對(duì)稱性：若一個(gè)物體（或晶體圖形）當(dāng)對(duì)其施行某種規(guī)對(duì)稱性：若一個(gè)物體（或晶體圖形）當(dāng)對(duì)其施行某種規(guī)律的動(dòng)作以后，它仍然能夠恢復(fù)原狀（即其中點(diǎn)、線、律的動(dòng)作以后，它仍然能夠恢復(fù)原狀（即其中點(diǎn)、線、面都與原始的點(diǎn)、線、面完全重合）時(shí)，就把該物體面都與原始的點(diǎn)、線、面完全重合）時(shí)，就把該物體（圖形）所具有的這種特性稱之為（圖形）所具有的這種特性稱之為“對(duì)稱性對(duì)稱性”。對(duì)稱變換對(duì)稱變換（對(duì)稱操作）：借助某種幾何要素，能使物體（對(duì)稱操作）：借助某種幾何要素，能使物體（或?qū)ΨQ圖形）恢復(fù)原狀所施行的某種規(guī)律的動(dòng)作，就（或?qū)ΨQ圖形）恢復(fù)原狀所施行的某種規(guī)律的動(dòng)作，就稱為

2、稱為“對(duì)稱變換對(duì)稱變換”。對(duì)稱要素（對(duì)稱元素）：對(duì)物體（或圖形）進(jìn)行對(duì)稱變對(duì)稱要素（對(duì)稱元素）：對(duì)物體（或圖形）進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)所借以參考的幾何要素，稱為換時(shí)所借以參考的幾何要素，稱為“對(duì)稱要素對(duì)稱要素”。僅僅從僅僅從“有限的晶體圖形有限的晶體圖形”（宏觀晶體）的外觀上的對(duì)（宏觀晶體）的外觀上的對(duì)稱點(diǎn)、線或面，對(duì)其所施行的對(duì)稱變換，即稱稱點(diǎn)、線或面，對(duì)其所施行的對(duì)稱變換，即稱“宏觀對(duì)宏觀對(duì)稱變換稱變換”；這時(shí)所借助參考的幾何要素，即稱；這時(shí)所借助參考的幾何要素，即稱“宏觀對(duì)宏觀對(duì)稱要素稱要素”。從晶體內(nèi)部空間點(diǎn)陣中相應(yīng)從晶體內(nèi)部空間點(diǎn)陣中相應(yīng)“陣點(diǎn)陣點(diǎn)”的對(duì)稱性進(jìn)行考查的對(duì)稱性進(jìn)行考查而施行的對(duì)

3、稱變換，則稱為而施行的對(duì)稱變換，則稱為“微觀對(duì)稱變換微觀對(duì)稱變換”；而借以；而借以動(dòng)作的動(dòng)作的“幾何要素幾何要素”即稱為即稱為“微觀對(duì)稱要素微觀對(duì)稱要素”。總體來說，對(duì)稱操作（包括宏觀和微觀在內(nèi)），經(jīng)研究總體來說，對(duì)稱操作（包括宏觀和微觀在內(nèi)），經(jīng)研究得知，總共只有七種獨(dú)立的形式。得知，總共只有七種獨(dú)立的形式。一，宏觀對(duì)稱要素簡介一，宏觀對(duì)稱要素簡介1）對(duì)稱中心（center of symmetry, 符號(hào)C）：為一假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱變換是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反（反演，反伸）。國際符號(hào)：1 12CF2F12）對(duì)稱面（symmetry plane, 符號(hào)P）：為一假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱變換為對(duì)此

4、平面的反映。國際符號(hào)：m。3）對(duì)稱軸（symmetry axis, 符號(hào)Ln）：為一假想的直線，相應(yīng)的對(duì)稱變換為圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)：每轉(zhuǎn)過一定角度，各個(gè)相同部分就發(fā)生一次重復(fù)，亦即整個(gè)物體復(fù)原需要的最小轉(zhuǎn)角則稱為基轉(zhuǎn)角（用a表示）。由于任一物體旋轉(zhuǎn)一周后必然復(fù)原，因此，軸次n必為正整數(shù)，而基轉(zhuǎn)角a必須要能整除360，n=360 / a，n為軸次。而且有： 晶體對(duì)稱定律（law of crystal symmetry）在晶體中，只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對(duì)稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。國際符號(hào)：1，2，3，4，6對(duì)稱定律證明：ABCDa aa aEFAC=BD=AB

5、CD=KAB CD=CE+EF+FD=AC cos(180-a)+AB+BD cos(180-a) =AB(1-2cos a)K= 1-2cos a, cos a=(1-K)/2基轉(zhuǎn)角a的可能值和對(duì)稱軸的可能軸次K33210-1-1COS=(1-K)/21無相當(dāng)值180120 90 60 0360 無相當(dāng)值名 稱符 號(hào)基 轉(zhuǎn) 角（） 軸 次（n）作圖符號(hào)一次對(duì)稱二次對(duì)稱三次對(duì)稱四次對(duì)稱六次對(duì)稱L1L2L3L4L6360 180 120 90 60 12346 對(duì)稱軸的種類對(duì)稱軸所構(gòu)成的對(duì)稱配置投影圖：4）倒轉(zhuǎn)軸（rotoinversion axis, 符號(hào)Lni）：亦稱旋轉(zhuǎn)反伸軸，又稱反軸或反

6、演軸（inversion axis）等。是一種復(fù)合的對(duì)稱要素。它的輔助幾何要素有兩個(gè)：一根假想的直線和此直線上的一個(gè)定點(diǎn)。相應(yīng)的對(duì)稱變換就是圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度及對(duì)于此定點(diǎn)的倒反（反伸）。 倒轉(zhuǎn)軸的軸次n及基轉(zhuǎn)角a都與其所包含的旋轉(zhuǎn)軸相同（即n=360 / a ， a = 360 / n）。國際符號(hào)：N（N=n）。(x, y, z)(-x, -y, -z)Li1=CLi2=PP Li2Li3= L3+C L3/ Li3Li4Li6 = L3+PL3/ Li6, P L3反軸構(gòu)成的對(duì)稱配置投影圖反軸構(gòu)成的對(duì)稱配置投影圖宏觀晶體對(duì)稱要素宏觀晶體對(duì)稱要素在結(jié)晶多面體中，可以有一個(gè)要素單獨(dú)存在，在

7、結(jié)晶多面體中，可以有一個(gè)要素單獨(dú)存在，也可以有若干對(duì)稱要素組合在一起共存。也可以有若干對(duì)稱要素組合在一起共存。對(duì)稱要素的組合服從以下規(guī)律。對(duì)稱要素的組合服從以下規(guī)律。 二，對(duì)稱要素組合定理二，對(duì)稱要素組合定理歐拉定理：通過兩旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)必能找到第三根歐拉定理：通過兩旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)必能找到第三根旋轉(zhuǎn)軸，新軸的作用等于原兩旋轉(zhuǎn)軸的作用之積。旋轉(zhuǎn)軸，新軸的作用等于原兩旋轉(zhuǎn)軸的作用之積。新軸之軸次，以及新軸與兩原始旋轉(zhuǎn)軸之夾角取新軸之軸次，以及新軸與兩原始旋轉(zhuǎn)軸之夾角取決于兩原始軸的基轉(zhuǎn)角及其夾角。決于兩原始軸的基轉(zhuǎn)角及其夾角。OA,OB為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，基轉(zhuǎn)角依次為a,，它們之間的交角為。如果把上述關(guān)系進(jìn)

8、一步應(yīng)用球面三角原理進(jìn)行如果把上述關(guān)系進(jìn)一步應(yīng)用球面三角原理進(jìn)行分析計(jì)算，就可以得出如下一系列定量關(guān)系：分析計(jì)算，就可以得出如下一系列定量關(guān)系：a，分別為OA,OB的基轉(zhuǎn)角為OA,OB的交角OC的基轉(zhuǎn)角為OC與OA,OB之間交角為和u推導(dǎo)過程見愈文海編的晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱群附錄D歐拉定理適用范圍：歐拉定理適用范圍：兩正軸組合產(chǎn)生正軸兩正軸組合產(chǎn)生正軸兩反軸組合產(chǎn)生正軸兩反軸組合產(chǎn)生正軸一個(gè)正軸與一個(gè)反軸組合產(chǎn)生反軸一個(gè)正軸與一個(gè)反軸組合產(chǎn)生反軸定理二：通過兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)并與它們垂定理二：通過兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)并與它們垂直的直線恒為一旋轉(zhuǎn)軸，后者之基轉(zhuǎn)角為該兩個(gè)直的直線恒為一旋轉(zhuǎn)軸，后者之基

9、轉(zhuǎn)角為該兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸交角之兩倍。二次旋轉(zhuǎn)軸交角之兩倍。證明：a=180 cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+) =360 +2 =2 cosu=cos=0 u= =90 定理三：兩對(duì)稱面之交線恒為一旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)定理三：兩對(duì)稱面之交線恒為一旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)角為該兩對(duì)稱面交角之兩倍。角為該兩對(duì)稱面交角之兩倍。證明：對(duì)稱面等效于二次反軸，所以O(shè)A,OB都為Li2,OC為旋轉(zhuǎn)軸（正軸） a=180 cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+) =2 cosu=cos=0 u= =90 OC垂直兩二次反軸，即OC垂直兩對(duì)稱面的法線OC平行于兩對(duì)稱面，OC是兩對(duì)稱面

10、的交線定理四：通過二次旋轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱面之交點(diǎn)并垂直定理四：通過二次旋轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱面之交點(diǎn)并垂直于該二次旋轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱面上的直線恒為一倒轉(zhuǎn)軸，于該二次旋轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱面上的直線恒為一倒轉(zhuǎn)軸，后者之基轉(zhuǎn)角等于該二次旋轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱面交角之后者之基轉(zhuǎn)角等于該二次旋轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱面交角之余角的兩倍。余角的兩倍。證明：二次軸與對(duì)稱面之交角可看作二次軸與二次反軸交角之余角 a=180 =2 （L2與Li2的交角） =90 - =2(90 - ) cosu=cos=0 u= =90 OC垂直兩二次反軸OC平行于對(duì)稱面定理五：如有一個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸與垂直它的對(duì)稱面定理五：如有一個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸與垂直它的對(duì)稱面共同存在時(shí)，則二者之交點(diǎn)恒

11、為對(duì)稱中心。共同存在時(shí)，則二者之交點(diǎn)恒為對(duì)稱中心。證明：L2P L2/ Li2 =0 a=180 cos(/2)=-1 =360 正軸和反軸相交，產(chǎn)生反軸 所以產(chǎn)生一個(gè)Li1（C）推理一：偶次旋轉(zhuǎn)軸和垂直它的對(duì)稱面以及對(duì)稱推理一：偶次旋轉(zhuǎn)軸和垂直它的對(duì)稱面以及對(duì)稱中心，三者之中任意二者之組合必產(chǎn)生第三者。中心，三者之中任意二者之組合必產(chǎn)生第三者。推理二：當(dāng)有對(duì)稱中心存在時(shí)，偶次旋轉(zhuǎn)軸的個(gè)推理二：當(dāng)有對(duì)稱中心存在時(shí)，偶次旋轉(zhuǎn)軸的個(gè)數(shù)之和必等于對(duì)稱面的個(gè)數(shù)之和，且每一個(gè)偶次數(shù)之和必等于對(duì)稱面的個(gè)數(shù)之和，且每一個(gè)偶次旋轉(zhuǎn)軸，各自垂直于一個(gè)對(duì)稱面。旋轉(zhuǎn)軸，各自垂直于一個(gè)對(duì)稱面。三，結(jié)晶多面體中對(duì)稱要素

12、組合的所有可能的情況三，結(jié)晶多面體中對(duì)稱要素組合的所有可能的情況兩性質(zhì)相同的兩性質(zhì)相同的n n次軸組合時(shí)的軸間夾角次軸組合時(shí)的軸間夾角OABCDOABCD都是陣點(diǎn)，都是陣點(diǎn)，ABCABC三點(diǎn)的夾角三點(diǎn)的夾角 受晶體對(duì)稱定律中的夾受晶體對(duì)稱定律中的夾角約束，只有幾個(gè)定值，角約束，只有幾個(gè)定值， a an n是基轉(zhuǎn)角，只有是基轉(zhuǎn)角，只有1,2,3,4,61,2,3,4,6次軸次軸sin(/2)=cos(n/2) sin(an/2)OAOA和和OBOB為相為相交于交于O O點(diǎn)的兩點(diǎn)的兩個(gè)基轉(zhuǎn)角為個(gè)基轉(zhuǎn)角為a an n的的n n次軸次軸OA=OB任意兩軸組合時(shí)之軸間夾角任意兩軸組合時(shí)之軸間夾角sin(

13、n /2)=cos(90-) sin(am/2)sin= sin(n /2)/ sin(am/2)OAOA和和OBOB為相交于為相交于OO點(diǎn)的任點(diǎn)的任意兩個(gè)軸，它們的交角為意兩個(gè)軸，它們的交角為， OAOA是基轉(zhuǎn)角為是基轉(zhuǎn)角為a am m的的m m次軸，它作用于次軸，它作用于OBOB產(chǎn)生產(chǎn)生OCOC， OBOB和和OCOC為相同軸，為相同軸， BOCBOC與前面討論與前面討論的的 相同相同ABAO表中有幾處違反晶體對(duì)稱定律的結(jié)果需要除去：表中有幾處違反晶體對(duì)稱定律的結(jié)果需要除去：4 4次軸與次軸與3 3次軸或次軸或6 6次軸以次軸以0 0 相交將產(chǎn)生相交將產(chǎn)生1212次軸次軸兩個(gè)兩個(gè)3 3次軸

14、以次軸以4141 4837”4837”相交將產(chǎn)生相交將產(chǎn)生5 5次軸次軸總結(jié)：對(duì)稱型對(duì)稱型（class of symmetryclass of symmetry）：結(jié)晶多面體中所有宏觀對(duì)稱）：結(jié)晶多面體中所有宏觀對(duì)稱要素的集合。對(duì)稱型也稱為要素的集合。對(duì)稱型也稱為點(diǎn)群點(diǎn)群（point grouppoint group） 注意：包括原始和合成的所有宏觀對(duì)稱要素是如何配置的，注意：包括原始和合成的所有宏觀對(duì)稱要素是如何配置的，對(duì)稱要素安裝具有方向性。對(duì)稱要素安裝具有方向性。四，對(duì)稱型（點(diǎn)群）的概念四，對(duì)稱型（點(diǎn)群）的概念晶體中宏觀對(duì)稱要素組合受以下三個(gè)條件的限制：晶體中宏觀對(duì)稱要素組合受以下三個(gè)條

15、件的限制：1 1，遵守晶體對(duì)稱定律，遵守晶體對(duì)稱定律2 2，各要素共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)），各要素共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）3 3，滿足對(duì)稱要素組合定理，滿足對(duì)稱要素組合定理3232種對(duì)稱型種對(duì)稱型3232種點(diǎn)群種點(diǎn)群宏觀晶體對(duì)稱要素宏觀晶體對(duì)稱要素只包含旋轉(zhuǎn)軸的只包含旋轉(zhuǎn)軸的1111種點(diǎn)群：種點(diǎn)群：1 1，循環(huán)群（，循環(huán)群（5 5個(gè)）：個(gè)）：1 1，2 2，3 3，4 4，6 62 2，兩個(gè)，兩個(gè)L L2 2分別以分別以9090，60 60 ，45 45 和和30 30 相交時(shí)相交時(shí)產(chǎn)生的點(diǎn)群（產(chǎn)生的點(diǎn)群（4 4個(gè)）個(gè)） 兩個(gè)兩個(gè)L L2 2 以以9090相交相交222222 兩個(gè)兩個(gè)L L2 2 以以6

16、060相交相交322322 兩個(gè)兩個(gè)L L2 2 以以4545相交相交422422 兩個(gè)兩個(gè)L L2 2 以以3030相交相交622622五，五，3232種點(diǎn)群推導(dǎo)簡介種點(diǎn)群推導(dǎo)簡介定理二：通過兩個(gè)二定理二：通過兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)并與次旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)并與它們垂直的直線恒為它們垂直的直線恒為一旋轉(zhuǎn)軸，后者之基一旋轉(zhuǎn)軸，后者之基轉(zhuǎn)角為該兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)角為該兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸交角之兩倍。轉(zhuǎn)軸交角之兩倍。 3L2L33L2L44L2L66L23 3，八面體群（，八面體群（1 1個(gè)）個(gè)）L L3 3與與L L4 4以以54 54 4444 08 08 相交相交4324324 4，四面體群（，四面體群（1 1個(gè)

17、）個(gè)）L L2 2與與L L3 3以以54 54 4444 08 08 相交相交2323歐拉定理：通過兩旋轉(zhuǎn)歐拉定理：通過兩旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)必能找到第三軸的交點(diǎn)必能找到第三根旋轉(zhuǎn)軸，新軸的作用根旋轉(zhuǎn)軸，新軸的作用等于原兩旋轉(zhuǎn)軸的作用等于原兩旋轉(zhuǎn)軸的作用之積。新軸之軸次，以之積。新軸之軸次，以及新軸與兩原始旋轉(zhuǎn)軸及新軸與兩原始旋轉(zhuǎn)軸之夾角取決于兩原始軸之夾角取決于兩原始軸的基轉(zhuǎn)角及其夾角。的基轉(zhuǎn)角及其夾角。3L44L36L23L24L3其它點(diǎn)群：其它點(diǎn)群：LmLn=組合的結(jié)果，與LmiLni=， LmiLn=， LmLni=組合的結(jié)果在形式上是完全相似的，即：組合結(jié)果所含軸的軸次相同，同軸次的軸數(shù)相

18、同，同軸次的軸取向相同；所不同的僅僅是軸的種類不同。1，以倒轉(zhuǎn)軸置換點(diǎn)群1，2，3，4，6和23的旋轉(zhuǎn)軸得到以下點(diǎn)群（6個(gè)） 1，2，3，4，6，m3定理五：如有一個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸與垂直它的對(duì)稱面共同存在時(shí)，則二者之交定理五：如有一個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸與垂直它的對(duì)稱面共同存在時(shí)，則二者之交點(diǎn)恒為對(duì)稱中心。點(diǎn)恒為對(duì)稱中心。推理二：當(dāng)有對(duì)稱中心存在時(shí)，偶次旋轉(zhuǎn)軸的個(gè)數(shù)之和必等于對(duì)稱面的個(gè)推理二：當(dāng)有對(duì)稱中心存在時(shí)，偶次旋轉(zhuǎn)軸的個(gè)數(shù)之和必等于對(duì)稱面的個(gè)數(shù)之和，且每一個(gè)偶次旋轉(zhuǎn)軸，各自垂直于一個(gè)對(duì)稱面。數(shù)之和，且每一個(gè)偶次旋轉(zhuǎn)軸，各自垂直于一個(gè)對(duì)稱面。2，以Li2置換點(diǎn)群222，322，422，622和432中的

19、L2（對(duì)于222只置換其中兩個(gè)）得以下點(diǎn)群（5個(gè)）： mm L22p 3m L33p 4m L44p 6m L66p m3m 3L44L36L29pc3，以全部及部分反軸置換點(diǎn)群322，422，622中的正軸，得以下點(diǎn)群（3個(gè)）： 3m L33L23pc 42m Li42L22p 6m2 Li63L23p4，以Li4，Li2置換432得點(diǎn)群43m（1個(gè)）定理四推理：如有一個(gè)對(duì)稱面包含一定理四推理：如有一個(gè)對(duì)稱面包含一個(gè)個(gè)n次倒轉(zhuǎn)軸，則當(dāng)次倒轉(zhuǎn)軸，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)則恒有為偶數(shù)時(shí)則恒有n/2個(gè)共點(diǎn)的二次旋轉(zhuǎn)軸垂直于此個(gè)共點(diǎn)的二次旋轉(zhuǎn)軸垂直于此n次倒轉(zhuǎn)軸，同時(shí)次倒轉(zhuǎn)軸，同時(shí)n/2個(gè)共線的對(duì)稱面?zhèn)€共線的

20、對(duì)稱面包含此包含此n次倒轉(zhuǎn)軸。次倒轉(zhuǎn)軸。3Li44L36p5，因?yàn)橐淮屋S可以任意角度與任意軸相交，所以，可含c（=Li1）與任意軸相交，在點(diǎn)群2，4，6，222，422，622中加對(duì)稱中心，得以下點(diǎn)群（6個(gè)）： 2/m L2pc 4/m L4pc 6/m L6pc mmm 3L23pc 4/mmm L44L25pc 6/mmm L66L27pc推理一：偶次旋轉(zhuǎn)軸和垂直它的對(duì)稱推理一：偶次旋轉(zhuǎn)軸和垂直它的對(duì)稱面以及對(duì)稱中心，三者之中任意二者面以及對(duì)稱中心，三者之中任意二者之組合必產(chǎn)生第三者。之組合必產(chǎn)生第三者。推理二：當(dāng)有對(duì)稱中心存在時(shí)，偶次推理二：當(dāng)有對(duì)稱中心存在時(shí)，偶次旋轉(zhuǎn)軸的個(gè)數(shù)之和必等于

21、對(duì)稱面的個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的個(gè)數(shù)之和必等于對(duì)稱面的個(gè)數(shù)之和，且每一個(gè)偶次旋轉(zhuǎn)軸，各自數(shù)之和，且每一個(gè)偶次旋轉(zhuǎn)軸，各自垂直于一個(gè)對(duì)稱面。垂直于一個(gè)對(duì)稱面。六、晶體分類六、晶體分類根據(jù)是否有高次軸以及有一個(gè)或多個(gè)高次軸，根據(jù)是否有高次軸以及有一個(gè)或多個(gè)高次軸，將晶體分為低、中、高級(jí)三個(gè)將晶體分為低、中、高級(jí)三個(gè)晶族晶族。低級(jí)晶族低級(jí)晶族-無高次軸無高次軸中級(jí)晶族中級(jí)晶族-只有一根高次軸只有一根高次軸高級(jí)晶族高級(jí)晶族-必有四根必有四根3 3次軸次軸七，晶體定向在晶體中選一個(gè)坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸叫晶軸。晶軸上的結(jié)點(diǎn)間距叫軸單位。用晶軸和軸單位描繪坐標(biāo)系。用晶軸間夾角和軸單位描繪坐標(biāo)系。晶軸正半軸間夾角用a, , ，三

22、個(gè)晶軸：a軸 b軸 c軸，軸單位用a,b,c表示。晶軸選擇原則：要盡量體現(xiàn)晶體的對(duì)稱性 （1），首先選宏觀對(duì)稱要素做晶軸 （2），其次選擇特征行列做晶軸1，立方系對(duì)稱特點(diǎn)：必有4個(gè)3次軸，3個(gè)相互垂直的二次軸或四次軸選3個(gè)相互垂直的二次軸或四次軸為晶軸，C軸直立，a軸前后水平放置，b軸左右水平放置。2，正方系對(duì)稱特點(diǎn)：有一根4次軸選4次軸為C軸直立，有二次軸選互相垂直的兩個(gè)二次軸為a ，b軸，無二次軸時(shí)，在與c軸垂直的面網(wǎng)上選兩個(gè)相互垂直的行列為a ，b軸。3，正交系對(duì)稱特點(diǎn)：有3個(gè)相互正交的2次軸選3個(gè)相互垂直的二次軸為晶軸。4，單斜系對(duì)稱特點(diǎn)：只在一個(gè)方向上有二次軸選唯一的一個(gè)二次軸為b軸

23、左右水平放置，在垂直b軸的面網(wǎng)上選相交兩行列，作為a、 c軸。5，三斜系對(duì)稱特點(diǎn)：只有一次軸選不共面的三行列為a 、b 、 c 軸， C軸直立。6，三方和六方系對(duì)稱特點(diǎn)：有一根3次軸或6次軸選3次軸或6次軸為C軸直立，有二次軸選兩個(gè)二次軸為a ，b軸，無二次軸時(shí)，在與c軸垂直的面網(wǎng)上選兩個(gè)行列為a ，b軸。八，點(diǎn)群的國際符號(hào)八，點(diǎn)群的國際符號(hào) 習(xí)慣符號(hào)習(xí)慣符號(hào)點(diǎn)群的符號(hào)點(diǎn)群的符號(hào) 國際符號(hào)國際符號(hào) 熊氏符號(hào)熊氏符號(hào)習(xí)慣符號(hào)：習(xí)慣符號(hào)：優(yōu)點(diǎn)：可一目了然地看到該點(diǎn)群中共包括哪幾種對(duì)稱要素，每種對(duì)稱要素各有幾個(gè)。優(yōu)點(diǎn)：可一目了然地看到該點(diǎn)群中共包括哪幾種對(duì)稱要素，每種對(duì)稱要素各有幾個(gè)。缺點(diǎn)：不能反映

24、出各對(duì)稱要素間的相對(duì)組合關(guān)系，書寫較復(fù)雜。缺點(diǎn)：不能反映出各對(duì)稱要素間的相對(duì)組合關(guān)系，書寫較復(fù)雜。主要用于在分析對(duì)稱型時(shí)以及在其它符號(hào)對(duì)照時(shí)配合使用。主要用于在分析對(duì)稱型時(shí)以及在其它符號(hào)對(duì)照時(shí)配合使用。Ln Lin P C書寫方法書寫方法： （1）依點(diǎn)群實(shí)際對(duì)稱性的高低依點(diǎn)群實(shí)際對(duì)稱性的高低 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱素旋轉(zhuǎn)對(duì)稱素 反映對(duì)稱素反映對(duì)稱素 對(duì)稱中心對(duì)稱中心 （2）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱素按軸次高低依次排列）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱素按軸次高低依次排列 （3）在各對(duì)稱符號(hào)之前，以數(shù)字標(biāo)明該對(duì)稱素在點(diǎn)群中共有幾個(gè)）在各對(duì)稱符號(hào)之前，以數(shù)字標(biāo)明該對(duì)稱素在點(diǎn)群中共有幾個(gè) 舉例：舉例： L2PC L4i2L22P國際符號(hào)：完整符號(hào)：只列

25、出某幾個(gè)特定的軸向完整符號(hào)：只列出某幾個(gè)特定的軸向( (一般是三個(gè)一般是三個(gè)主軸方向上主軸方向上) )的的“原始對(duì)稱要素原始對(duì)稱要素”，而省略了所有的，而省略了所有的“等同對(duì)稱要素等同對(duì)稱要素”的對(duì)稱中心的對(duì)稱中心( (當(dāng)然只有一個(gè)對(duì)稱中當(dāng)然只有一個(gè)對(duì)稱中心的點(diǎn)群除外心的點(diǎn)群除外) )簡化符號(hào)：去掉完整符號(hào)中仍然被列出的某些簡化符號(hào)：去掉完整符號(hào)中仍然被列出的某些“派派生對(duì)稱要素生對(duì)稱要素”，同時(shí)把，同時(shí)把 ，改寫成，改寫成 ( (通常應(yīng)用較多通常應(yīng)用較多) ) 一般均用一般均用“三位三位”符號(hào)表示外，對(duì)一些比較簡單或?qū)Ψ?hào)表示外，對(duì)一些比較簡單或?qū)ΨQ性較低的點(diǎn)群也有稱性較低的點(diǎn)群也有“兩位兩

26、位”或或“一位一位”符號(hào)表示的符號(hào)表示的 NmN m ：表在規(guī)定（主軸）方向上的表在規(guī)定（主軸）方向上的“主對(duì)稱素主對(duì)稱素”是一個(gè)是一個(gè)n次（次（n=1,2,3,4,6）旋轉(zhuǎn)軸）旋轉(zhuǎn)軸N：表在規(guī)定表在規(guī)定 （主軸）方向上的（主軸）方向上的“主對(duì)稱素主對(duì)稱素”是一個(gè)是一個(gè)n次（次（n=1,2,3,4,6）反軸）反軸N(N m)m：表在相應(yīng)晶軸方向上的主對(duì)稱素為：表在相應(yīng)晶軸方向上的主對(duì)稱素為 并且還有與它垂直的并且還有與它垂直的對(duì)稱面對(duì)稱面P存在存在 nLN22 N2N：表示在規(guī)定方向（第一主軸方向）上的主對(duì)稱元素：表示在規(guī)定方向（第一主軸方向）上的主對(duì)稱元素 并有與并有與 垂直的垂直的 處在第處在第2，3主