電子測(cè)量第二章2-2

1、第二章 測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理隨機(jī)誤差指對(duì)同一量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)均以不可預(yù)測(cè)的方式無(wú)規(guī)則變化的誤差。2.4 隨機(jī)誤差分析一、定義R反映了實(shí)際測(cè)量的精密度即測(cè)量值的分散程度。P P( (x x) ) x x0 0二、隨機(jī)誤差性質(zhì)對(duì)稱性對(duì)稱性絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性單峰性絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多；大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性有界性絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限；機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限； 抵償性抵償性當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大，當(dāng)測(cè)量次

2、數(shù)趨于無(wú)窮大，隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。 服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布，具有以下，具有以下4 4個(gè)特性個(gè)特性： nxxxx,321由于隨機(jī)誤差的存在，這些測(cè)得值也是隨機(jī)變量。定義n個(gè)測(cè)得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值算術(shù)平均值為niixnx11n)1(lim1niinxxnEAxxiii式中 分別表示絕對(duì)誤差和隨機(jī)誤差。iix、AxnAnxnAxnnniininiiniinii11111111)(11n)(nAEx 由于隨機(jī)誤差的抵償性：0)1(lim1niinn 綜合以上所述：AEx即測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量實(shí)際值A(chǔ). 110niixnxEA2211( )()niixxx

3、n 方差方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的是用來(lái)描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的分散的特征值。分散的特征值。 2211( )()niixxxn數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式： 對(duì)于正態(tài)分布的xi ，其概率密度函數(shù)為：222)(21)(xExex22221)(ei 圖 的正態(tài)分布曲線 ixi 圖 的正態(tài)分布曲線x x ( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 2零示法零示法 當(dāng)檢流計(jì)當(dāng)檢流計(jì)GG中中 I=0I=0 212RRREUUx待測(cè)待測(cè)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)U U U Ux xE Ex xR R1 1R2R2G G圖圖 零示法測(cè)電壓零示法測(cè)電壓 GG只要示零精度高只要示零精度高 sxxssxxxsx由

4、于 ，所以 ，又由于 ，所以sssxssxx條件條件：當(dāng)待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量接近時(shí)：當(dāng)待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量接近時(shí) BX BABX BA 被測(cè)電池電壓被測(cè)電池電壓 x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V測(cè)量誤差由下式可求得：測(cè)量誤差由下式可求得： BAAABBxx=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2% 可見(jiàn)，可見(jiàn)，采用微差法測(cè)量，測(cè)量誤差主要決定于采用微差法測(cè)量，測(cè)量誤差主要決定于標(biāo)準(zhǔn)量的誤差，標(biāo)準(zhǔn)量的誤差， 而測(cè)試儀表誤差的影響被大大削弱。而測(cè)試儀表誤差的影響被大大削弱。待測(cè)待測(cè)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)（

5、固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V圖圖 微差法測(cè)量微差法測(cè)量本例說(shuō)明本例說(shuō)明，用誤差為用誤差為5的電壓表進(jìn)行測(cè)量，可得的電壓表進(jìn)行測(cè)量，可得0.2%的測(cè)量精確度。的測(cè)量精確度。替代法（置換法）替代法（置換法） 直流電橋平衡條件直流電橋平衡條件當(dāng)當(dāng) R RX XR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 將將 R RS SR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 則則 R RX X=R=RS S 步驟：步驟：1.1.調(diào)調(diào)R R3 3，使，使G=0G=0，R R3 3不動(dòng)；不動(dòng)； 2.2.調(diào)調(diào)R RS S，使，使G=0G=0，R RX X=R=

6、RS SR RS S為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)電阻箱電阻箱可調(diào)可讀可調(diào)可讀R Rx xGGR RS SR R3 3R R1 1R R2 2E E 圖圖 替代法測(cè)電阻替代法測(cè)電阻 標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)可讀電阻可讀電阻231/RRRRx 由于 都有誤差，若利用它們的標(biāo)稱值來(lái)計(jì)算Rx，則Rx也帶有誤差，即321RRR、)/()(223311RRRRRRRRxx223311RRRRRRRRxx 為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻s代替R，并在保持 不變的情形下通過(guò)調(diào)節(jié)使電橋重新平衡，因而得到 321RRR、)/()(223311RRRRRRRRssssxxRRRR 可見(jiàn)測(cè)量誤差可見(jiàn)測(cè)量誤差R ，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差，

7、僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差Rs，而與而與 的誤差無(wú)關(guān)。的誤差無(wú)關(guān)。 321RRR、總結(jié)：總結(jié)： 只要零示器的只要零示器的靈敏度靈敏度足夠高，測(cè)量的準(zhǔn)足夠高，測(cè)量的準(zhǔn)確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器的準(zhǔn)確度無(wú)關(guān)，從而的準(zhǔn)確度無(wú)關(guān)，從而可消除由于測(cè)量?jī)x器刻度可消除由于測(cè)量?jī)x器刻度不準(zhǔn)所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。不準(zhǔn)所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。 2智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除 在智能儀器中，可利用微處理器的計(jì)算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。 直流零位校準(zhǔn) 首先測(cè)量輸入端短路時(shí)的輸入端直流短路時(shí)的輸出電壓，將測(cè)得的數(shù)據(jù)存貯到校準(zhǔn)數(shù)據(jù)存貯器中，而后進(jìn)行實(shí)

8、際測(cè)量，并將測(cè)得值與調(diào)出的直流零電壓數(shù)值相減，從而得到測(cè)量結(jié)果。這種方法在數(shù)字這種方法在數(shù)字電壓表中得到廣泛應(yīng)用。電壓表中得到廣泛應(yīng)用。xUsU圖5 運(yùn)放的自動(dòng)校準(zhǔn)原理( )ixxGx3 ( )ixxxixxa( )akx在有限次測(cè)量的情況下：在有限次測(cè)量的情況下： 1、全部測(cè)量值的算術(shù)平均值是最可靠的測(cè)量結(jié)果。、全部測(cè)量值的算術(shù)平均值是最可靠的測(cè)量結(jié)果。 2、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差 3、平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：、平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： 4、數(shù)據(jù)的表述：、數(shù)據(jù)的表述：211()1niixxn( )/xn3 ( )xxxn系統(tǒng)誤差分析1、求平均值無(wú)法消除系統(tǒng)誤差2、系統(tǒng)誤差判斷的方法3、消除系統(tǒng)誤差的方法校準(zhǔn)、比對(duì)的

9、方法校準(zhǔn)、比對(duì)的方法剩余誤差觀察的方法剩余誤差觀察的方法公式判斷的方法公式判斷的方法從產(chǎn)生的根源上消除從產(chǎn)生的根源上消除典型技術(shù)典型技術(shù)智能儀器自校準(zhǔn)智能儀器自校準(zhǔn)零示法零示法微差法微差法替代法替代法ixinixnx11xxii01nii 列出列出 ，按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差(實(shí)際實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)偏差上是標(biāo)準(zhǔn)偏差 的最佳估計(jì)值的最佳估計(jì)值 )：2ivniin12113i3i( )/xn3 ( )Axx表1Vx30.205i4434. 01112niin3302. 13i335. 1i65.206ix21.205 x重新計(jì)算各殘差重新計(jì)算各殘差 列于表中。列于表中。重新計(jì)算

10、標(biāo)準(zhǔn)差重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差i27. 014112nii81. 03ii( )/ 150.27/ 150.07xVxxx2 . 02 .2053圖6 的變化情況i1 1 有效數(shù)字有效數(shù)字 定義：有效數(shù)字，是指在測(cè)量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字起到含有定義：有效數(shù)字，是指在測(cè)量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字起到含有誤差的那位誤差的那位存疑數(shù)存疑數(shù)為止的所有各位數(shù)字。為止的所有各位數(shù)字。 例例1 1 用用10v10v指針式電壓表測(cè)得指針式電壓表測(cè)得 U= 5. 6 U= 5. 6 4 4 V V 三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字 例例2 0.0039K=3.9 2 0.0039K=3.9 兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字6

11、 6 5 5例例3 0.026m 3 0.026m 兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字 0.0260m 0.0260m 三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字存疑數(shù)還有一種含義，存疑數(shù)還有一種含義，它可能發(fā)生末位的半個(gè)單位它可能發(fā)生末位的半個(gè)單位( (0.50.5個(gè)單位個(gè)單位) )變化。變化。例如例如: : 5.645.640.005 0.005 5.6455.645 5.635 5.635 絕對(duì)誤差不超過(guò)末位單位數(shù)字的一半 有效數(shù)字具有以下特點(diǎn)：有效數(shù)字具有以下特點(diǎn)： （1）位于數(shù)字中間和末位的）位于數(shù)字中間和末位的0都是有效數(shù)字，而位于第一都是有效數(shù)字，而位于第一非零數(shù)字前面的非零數(shù)字前面的0，都不是有效數(shù)字。，

12、都不是有效數(shù)字。 （2）有效數(shù)字的末位數(shù)字是）有效數(shù)字的末位數(shù)字是0時(shí)，不能隨意刪除，上例中時(shí)，不能隨意刪除，上例中的的1.80 mA和和1.8 mA中的有效數(shù)字是不一樣的，前者是三位，中的有效數(shù)字是不一樣的，前者是三位，后者是兩位，絕對(duì)誤差相差后者是兩位，絕對(duì)誤差相差10倍。倍。 （3）有效數(shù)字不能因使用的單位變化而改變，上例中）有效數(shù)字不能因使用的單位變化而改變，上例中3.02 V和和3020 mV兩個(gè)數(shù)值，前者是三位有效數(shù)字，后者是兩個(gè)數(shù)值，前者是三位有效數(shù)字，后者是四位有效數(shù)字。因此要保持有效數(shù)字不變，后者必須寫成四位有效數(shù)字。因此要保持有效數(shù)字不變，后者必須寫成3.02103 mV，

13、這時(shí)它的有效數(shù)字是三位。，這時(shí)它的有效數(shù)字是三位。 【注意】：需要注意的是，在測(cè)量結(jié)果中，最末一位有效【注意】：需要注意的是，在測(cè)量結(jié)果中，最末一位有效數(shù)字取到哪一位，是由測(cè)量精度來(lái)決定的，即最末一位有效數(shù)數(shù)字取到哪一位，是由測(cè)量精度來(lái)決定的，即最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測(cè)量精度是同一量級(jí)的。字應(yīng)與測(cè)量精度是同一量級(jí)的。 2 2 數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則未使尾數(shù)為偶數(shù)，不便于除盡未使尾數(shù)為偶數(shù)，不便于除盡 經(jīng)典的經(jīng)典的“四舍五入四舍五入”的缺點(diǎn)：的缺點(diǎn)： 規(guī)則規(guī)則 小于小于5 5舍舍 大于大于5 5入入 等于等于5 5取偶取偶 5 5后有數(shù)，舍后有數(shù)，舍5 5入入1 1 5 5后

14、無(wú)數(shù)或?yàn)榱銜r(shí)后無(wú)數(shù)或?yàn)榱銜r(shí)5 5前是奇數(shù)，舍前是奇數(shù)，舍5 5入入1 1 5 5前是偶數(shù)，舍前是偶數(shù)，舍5 5不進(jìn)不進(jìn) 17.99518.0017.99518.00 14.985014.9814.985014.983.624563.62456測(cè)量中用：測(cè)量中用：四舍六入五湊偶法則四舍六入五湊偶法則取取4 4位有效數(shù)字位有效數(shù)字3.6253.62512.4363.740.6925.3217.70123.122.6 測(cè)量誤差的合成與分配iniiyxxf1ln（誤差傳遞公式誤差傳遞公式）2.6.1、測(cè)量誤差的合成、測(cè)量誤差的合成總合誤差分項(xiàng)誤差的傳遞系數(shù)局部誤差2.6 測(cè)量誤差的合成與分配1njjj

15、fyxx 絕對(duì)誤差傳遞公式絕對(duì)誤差傳遞公式1nyjjjylnfxyx 相對(duì)誤差傳遞公式相對(duì)誤差傳遞公式12(,.)nyf x xxy y與與x x是和、差關(guān)系，則先求絕對(duì)誤差是和、差關(guān)系，則先求絕對(duì)誤差y y與與x x是積、商、乘方、開方關(guān)系，則先求相對(duì)誤差是積、商、乘方、開方關(guān)系，則先求相對(duì)誤差1niiifyxx 【例【例2-8】 用間接測(cè)量法測(cè)電阻消耗的功率。若電阻、電用間接測(cè)量法測(cè)電阻消耗的功率。若電阻、電壓和電流測(cè)量的相對(duì)誤差分別為壓和電流測(cè)量的相對(duì)誤差分別為R/R、U/U、I/I，試求功率的相對(duì)誤差為多少？，試求功率的相對(duì)誤差為多少？ 解法解法1： 求功率求功率P的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差

16、再求再求P的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差 解法解法2：UIIUUUPIIPPUIPUIUIUIIUPPUUUIIIUIxxfPPiniiP)ln(ln)ln(lnln1UIUUII 【例【例2-9】 已知函數(shù)已知函數(shù) 求求y的誤差。的誤差。 解：解：由于由于故故，03321xxxxy iiiyxxfyy31ln321321lnlnlnlnlnxxxxxxf333222111lnlnlnxxxxxxxxxy332211xxxxxx321考慮最大影響，取各項(xiàng)的絕度值計(jì)算，則考慮最大影響，取各項(xiàng)的絕度值計(jì)算，則y的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差為)(321y 2誤差的合成誤差的合成 （1）確定性系統(tǒng)誤差的合成）確定性系

17、統(tǒng)誤差的合成 對(duì)于誤差的大小及符號(hào)均已確定的系統(tǒng)誤差，可以直接對(duì)于誤差的大小及符號(hào)均已確定的系統(tǒng)誤差，可以直接由誤差傳遞公式進(jìn)行合成。由于由誤差傳遞公式進(jìn)行合成。由于 ，當(dāng)隨機(jī)誤差，當(dāng)隨機(jī)誤差 不計(jì)時(shí)，不計(jì)時(shí)， 。則。則iniinnxxfxxfxxfxxfy12211iiixiiixnnxfxfxfy2211jmjjyxf1jmjjyyxfy1ln 【例【例2-10】 有有5個(gè)個(gè)800 的電阻串聯(lián)，若各電阻的系統(tǒng)誤差的電阻串聯(lián)，若各電阻的系統(tǒng)誤差分別為分別為1 = -4 ，2 = 5 ，3 = -3 ，4 = 6 ，2 = 4 ，求總電阻的相對(duì)誤差，求總電阻的相對(duì)誤差R。 解：解：543211

18、jmjjRRRR846354總電阻總電阻總電阻的相對(duì)誤差總電阻的相對(duì)誤差R為為400054321RRRRRR%2 . 0%10040008%100RRR （2）系統(tǒng)不確定度的合成）系統(tǒng)不確定度的合成 系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用y m表示；相對(duì)系統(tǒng)不確定度用表示；相對(duì)系統(tǒng)不確定度用y m表示。例如測(cè)量?jī)x器的基本表示。例如測(cè)量?jī)x器的基本誤差、工作誤差等都屬此類。誤差、工作誤差等都屬此類。不確定度愈小，測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量愈高，愈接近真值，可信程度不確定度愈小，測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量愈高，愈接近真值，可信程度愈高。愈高。系統(tǒng)不確定度可用下面兩種方法計(jì)算。系統(tǒng)不確定度可用下面兩種方法計(jì)算。 絕對(duì)值合成法（代數(shù)合成法）絕對(duì)值合成法（代數(shù)合成法）njjjyxf1mmnjjjyxf1mmln一般情況下（積函數(shù)）一般情況下（積函數(shù)）)21mny （ 【例【例2-11】 用用 和和 的電阻串聯(lián)，的電阻串聯(lián)，求總電阻的誤差范圍（系統(tǒng)不確定度）。求總電阻的誤差范圍（系統(tǒng)不確定度）。 解：解： %101001R%54002R10%)10100(m120%)5400(m2得：得：30)(m2m1mmRy 【例【例2-11】 用用HFJ8型超高頻晶體管毫伏表型超高頻晶體管毫伏表3 V量程測(cè)量程測(cè)一個(gè)一個(gè)20 MHz的的1.5