概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案（章節(jié)課程）

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題湘潭大學(xué)編教材1向陽書屋u第一章 隨機(jī)事件及概率2向陽書屋uP23習(xí)題1.3 試證證明：由概率的加法公式得任意的兩個(gè)事件A,B有故有3向陽書屋uP23習(xí)題1.7 在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率。解：用x,y分別表示從(0,1)中取出的2個(gè)數(shù)，則樣本空間為正方形：如圖所示，K為區(qū)域：K所以由幾何概率得:x+y=6/54向陽書屋u解：設(shè)A=第一次取得紅球，B=第二次取得紅球P23習(xí)題1.9 袋中有10個(gè)球，其中8個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩次，每次一球，作不放回抽樣，求下列事件的概率： (1) 兩次都取紅球； (2) 兩次中一次取得紅球

2、，另一次取得白球； (3) 至少一次取得白球； (4) 第二次取得白球。5向陽書屋u解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A)6向陽書屋u解：設(shè)A=甲譯出密碼,B =乙譯出密碼,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4則A,B,C相互獨(dú)立，且C=丙譯出密碼.則此密碼被譯出的概率為P23習(xí)題1.10 甲、乙、丙三人獨(dú)立地翻譯一個(gè)密碼，他們譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4，試求此密碼被譯出的概率。7向陽書屋uP23習(xí)題1.11 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客

3、隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則購買下該箱玻璃杯,否則退回，求：(1) 顧客買下該箱的概率； (2) 在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率。8向陽書屋u解 (1)設(shè)Ai一箱玻璃杯中含有i個(gè)殘次品,i=0,1,2;B=從一箱玻璃杯中任取4只無殘次品,由題設(shè)可知P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.根據(jù)全概率公式得9向陽書屋uP23習(xí)題1.12 設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)試射校正， 5支已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8，而用未校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3，現(xiàn)假定從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶，求所用的槍是已校正過的概率。10向陽書屋u解 設(shè)A

4、經(jīng)過校正的槍,C=射擊中靶,由題設(shè)可知P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.根據(jù)全概率公式得B未經(jīng)校正的槍, 11向陽書屋uP23習(xí)題1.13 對(duì)飛機(jī)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊, 第1次射擊的命中率為0.4、第2次為0.5、第3次為0.7. 飛機(jī)被擊中1次而墜落的概率為0.2,被擊中2次而墜落的概率為0.6, 若被擊中3次飛機(jī)必墜落,求射擊3次使飛機(jī)墜落的概率.設(shè)B=飛機(jī)墜落，Ai=飛機(jī)被擊中i次, i=1,2,3由全概率公式 則 B=A1B+A2B+A3B,解:依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 P(B)=P(

5、A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)12向陽書屋u可求得: 為求P(Ai ) , 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:設(shè) Hi=飛機(jī)被第i次射擊擊中, i=1,2,3 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.13向陽書屋u于是=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)墜落的概率為0.458.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)14向陽書屋uP24習(xí)題1.14 某人每次射擊的命中率為0.6，獨(dú)立射擊5次，求：（1）擊中3次的概率；（2）至少有1次未擊中的概率.解

6、:（1)(2) 考慮至少有1次未擊中的對(duì)立事件，即每次都擊中，其概率為： 故至少有1次未擊中的概率為15向陽書屋uP24習(xí)題1.15 某車間有12臺(tái)車床，由于工藝上的原因，時(shí)常發(fā)生故障，設(shè)每臺(tái)車床在任一時(shí)刻出故障的概率為0.3，且各臺(tái)車床的工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算在任一指定時(shí)刻有3臺(tái)以上車床發(fā)生故障的概率.解：設(shè)A=任一指定時(shí)刻有3臺(tái)以上車床發(fā)生故障,又因?yàn)閯tA=在任一指定時(shí)刻有少于3臺(tái)車床發(fā)生故障16向陽書屋u有0臺(tái)車床發(fā)生故障的概率為有1臺(tái)車床發(fā)生故障的概率為有2臺(tái)車床發(fā)生故障的概率為故17向陽書屋uP24習(xí)題1.16 若1人負(fù)責(zé)維修同類型的設(shè)備20臺(tái)，設(shè)各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，在一天內(nèi)

7、發(fā)生故障的概率都是0.01，維修用不了多長時(shí)間，求設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理的概率，若3人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)呢？18向陽書屋u解: (1) 設(shè)A=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,則A=在任一時(shí)刻至多有1臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障故19向陽書屋u解: (2) 設(shè)A=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,則A=在任一時(shí)刻至多有3臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障故20向陽書屋u第二章 隨機(jī)變量及其分布21向陽書屋uP43習(xí)題2.3 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的概率為1/2。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)，求X的概率分布與E1/(

8、1+X)。22向陽書屋u解: X的取值為0,1, 2, 3PX=0=1/2X的概率分布為X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8(2) E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8=67/96PX=1=1/21/2=1/4PX=2=1/21/21/2=1/8PX=3=1/21/21/2=1/823向陽書屋uP44習(xí)題2.8 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度f(x)解:(1)F(x)在x=1點(diǎn)連續(xù),由右連續(xù)性得:即:所以,A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=

9、0.4PX=1=F(1)F(10)= 1A =024向陽書屋u0， x02x， 0 x3,則P(A)=PX3=2/3設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A出現(xiàn)的次數(shù),則YB(3,2/3)26向陽書屋u所求為PY=2+PY=3=20/27設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A出現(xiàn)的次數(shù),則YB(3,2/3)PY2=27向陽書屋u內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比.P44習(xí)題2.17 設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1 ；在事件-1X1出現(xiàn)的條件下， X在(-1,1)試求:(2) X取負(fù)值的概率P (1)X的分布函數(shù)F(x) 解 (1)(2)28向陽書屋uF(x)的三性質(zhì)都不滿足單調(diào)減右不連續(xù)未定義29向陽書屋u分

10、布函數(shù)F(x)三性質(zhì)F(x)的單調(diào)不減右連續(xù)30向陽書屋u解由題設(shè)知設(shè)于是(1) 當(dāng)當(dāng)當(dāng)上式中令 得還可另法求 k推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作.31向陽書屋u又于是當(dāng) 時(shí)，32向陽書屋u(2)33向陽書屋u由題設(shè) 得附 k 的另一求法34向陽書屋uP45習(xí)題2.18 設(shè)XB(2,0.3),求下列隨機(jī)變量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2-2X 3、Y3=3X-X2解：X的概率分布為PX=k= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：X012X2014X2-2X0-103X-X2022概率0.490.420.0935向陽書屋uY1 0 1 4P0.49 0.42 0.09Y2 -1 0

11、P0.42 0.58Y3 0 2P0.49 0.51則有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分別為36向陽書屋uP45習(xí)題2.19 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度函數(shù)。解：先求Y的分布函數(shù)FY(y)=PY y=PX2 y當(dāng)y0時(shí),46向陽書屋uP73習(xí)題3.10 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求隨機(jī)變量X的密度函數(shù)； 求概率PX+Y1.解:(2)y=xx+y=11/247向陽書屋uP73習(xí)題3.13 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求Z=X2+Y2的概率密度。48向陽書屋u解49向陽書屋uP73習(xí)題3.16 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求： (1) P(X0的指數(shù)分布，當(dāng)

12、三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布。解：三個(gè)元件都無故障工作時(shí)間分別為X,Y,Z,則 T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都為60向陽書屋u則 故T服從參數(shù)為30的指數(shù)分布,即概率密度為61向陽書屋u第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征62向陽書屋u解：P89習(xí)題4.1 甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則比賽結(jié)束。假定甲隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。(場(chǎng))63向陽書屋u求解P90習(xí)題4.6 已知X的密度函數(shù)為則64向陽書屋uP91習(xí)題4.12 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且解：求 65向陽書屋uP91習(xí)

13、題4.14 設(shè)在國際市場(chǎng)上每年對(duì)我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(噸)，它在2000,4000上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。 66向陽書屋u下面求EZ，并求使EZ達(dá)到最大的y值，解：設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量可只介于2000與4000之間，用Z表示國家的收益（萬元）67向陽書屋u即組織3500噸此種商品是最佳的決策。 68向陽書屋u補(bǔ)充習(xí)題 設(shè)工廠生產(chǎn)的設(shè)備的壽命X（單位：年）的概率密度為 按規(guī)定，已出售設(shè)備在一年內(nèi)損壞可以包換.若工廠售出一臺(tái)設(shè)備盈利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元. 求一臺(tái)設(shè)備的平均壽命 求廠方售出一臺(tái)設(shè)備凈贏利的期望值.69向陽書屋u解: 一臺(tái)設(shè)備的平均壽命為EX=4年, 廠方售出一臺(tái)設(shè)備凈贏利為隨機(jī)變量Y，則故p+q=170向陽書屋u例(08) 設(shè)隨機(jī)變量且考查：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：存在a,b,使以及正態(tài)