1713直線（向量等）與圓錐曲線

1、內部資料，不得翻??！高中數學專題教學研習講稿第 PAGE 6 頁 共 NUMPAGES 7 頁第 PAGE 7 頁 共 NUMPAGES 7 頁高中數學專題教學研習本資源由專人彭劍平整理，未經允許不得復制影印，資源僅供教師研習，歡迎批評指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（?？家?guī)律總結），Level C為競賽（拓展的課外知識）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 基本知識點（Level A）【1】直線與圓錐曲線的位置關系

2、曲線：與：的交點坐標方程組的解1直線與圓錐曲線交于不同的兩點直線與二次曲線聯(lián)立，當二次項系數不為時，；或直線（反設法）與二次曲線聯(lián)立，2直線與圓錐曲線相切直線與二次曲線聯(lián)立， 3直線與二次曲線有一個公共點：二次項系數為，二次項系數為，表示平行于漸近線的兩條直線；二次項系數為，表示平行于對稱軸的一條直線；二次曲線不為，4相交與橢圓：直線與橢圓相交；與雙曲線：直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；與拋物線：直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，

3、直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件5相離直線與二次曲線聯(lián)立， 總結：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點；（2）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線_ 經典案例 有疑問隨時mail例：（1）若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則的取值范圍是 答案：（2）直線與橢圓恒有公共點，則的取值范圍是 答案：（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于、

4、兩點，若，則這樣的直線有 條答案：（4）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有 條答案：（5）過點與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為 答案：（6）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有 條答案：（7）對于拋物線：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線的位置關系是 答案：相離（8）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，若線段與的長分別是、，則 答案：（9）設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和右準線分別于，則和的大小關系為 （填大于、小于或等于）答案：等于（10）求橢圓上的點到直線的最短距離答案

5、：（11）直線與雙曲線交于、兩點 當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？ 當為何值時，以為直徑的圓過坐標原點？答案：；【2】直線與圓錐曲線問題解法1直接法（通法）聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解運算規(guī)律：直線與圓錐曲線位置關系運算程式已知曲線與直線方程聯(lián)立得： 注意：當曲線為雙曲線時，要對與進行比較由根與系數關系知：，后話：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解時，注意以下問題： 聯(lián)立的關于“”還是關于“”的一元二次方程？直線斜率不存在時考慮了嗎？ 二次項系數系數為的情況討論了嗎？判別式驗證了嗎？在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數是否為零？的限制（

6、求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在下進行）2設而不求（代點相減法即點差法）處理弦中點與直線斜率問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解步驟如下：已知曲線，Step 1：設點、中點為，Step 2：點入方程作差得在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率3直線與圓錐曲線相交的弦長公式直線：與圓錐曲線：相交的弦長公式消去得（務必注意），設，則：；注：（1）弦端點、，由方程 消去得到，為直線的傾斜角，為直線的斜率， （2）特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉

7、化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗_ 經典案例 有疑問隨時mail例：（1）如果橢圓弦被點平分，那么這條弦所在的直線方程是 答案：（2）已知直線與橢圓相交于、兩點，且線段的中點在直線：上，則此橢圓的離心率為 答案：（3）試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱答案：（4）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，若，那么等于 答案：（5）過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，已知，為坐標原點，則重心的橫坐標為 答案： 拓展知識點（Level B）【1】圓錐曲線解題細節(jié)盤點（1）用直線和圓錐

8、曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達定理、弦長公式；注意對參數分類討論和數形結合、設而不求思想的運用；注意焦點弦可用焦半徑公式，其它用弦長公式（2）在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，常與“弦”相關，“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度(弦長)”問題關鍵是長度(弦長)公式或“小小直角三角形”（3）在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，涉及到“交點”時，轉化為函數有解問題；先驗證因所設直線斜率存在，造成交點漏解情況，接著聯(lián)立方程組，然后考慮消元建立關于的方程還是的方程，接著討論方程二次項系數為零的情況，再對二次方程判別式進行分

9、析，即時，直線與曲線相切，（4）求解直線與圓錐曲線的“弦長”、“交點”問題時，必要條件（注意判別式失控情況）是他們構成的方程組有實數解，當出現一元二次方程時，務必先有“” 求解直線與圓錐曲線的其它問題時，如涉及到二次方程問題，必須優(yōu)先考慮“二次項系數”與“判別式”問題（5）解決直線與圓的關系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)（6）韋達定理在解幾中的應用：求弦長； 判定曲線交點的個數； 求弦中點坐標；求曲線的方程【2】圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是：（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是：特

10、別地，曲線關于原點成中心對稱的曲線是：曲線關于直線軸對稱的曲線是：曲線關于直線軸對稱的曲線是：曲線關于直線軸對稱的曲線是：曲線關于直線軸對稱的曲線是：【3】解析幾何中設點方法（參數方程）【理科選學，文科了解】（1）設參數方程圓的參數方程：（為參數）橢圓的參數方程是：（為參數）雙曲線的參數方程為（為參數）拋物線的參數方程為（為參數）（2）拋物線上的動點可設為或或，其中，以簡化計算【4】解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容（1）給出直線的方向向量或（2）給出與相交，等于已知過的中點在中，給出，則是中邊的中線（3）給出，等于已知是的中點（4）給出，等于已知，與的中點三點共線（5）給出以下情形之一：

11、 ； 存在實數，使； 若存在實數，且，使等于已知，三點共線（6）給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7）給出，等于已知，即是直角給出，等于已知是鈍角給出，等于已知是銳角（8）給出，等于已知是的平分線（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形（11）設，（12）為內一點，則（13）在中，給出，則通過的內心（14）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（15） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（16）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交

12、點）；（17）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）； 深化知識點（Level C）【1】拋物線的切線方程 拋物線上一點處的切線方程是 過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是 拋物線與直線相切的條件是【2】常見曲線的參數方程的一般形式（只要能在特定情況下，想起能用就行）經過點，傾斜角為的直線的參數方程為（為參數）稱為直線的標準參數方程設是直線上的任意一點，則表示有向線段的數量，經過點，以為方向向量的直線的參數方程為（為參數）稱為直線的一般參數方程此式中的利用直線的參數方程，研究直線與圓錐曲線的位置關系以及弦長計算，有時比較方便方法是：把：代入圓錐曲線：即可消去、