新高一2022年暑假講義第2講 集合的表示（解析版）

1、第2講：集合的表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1初步掌握集合的兩種表示方法列舉法、描述法，感受集合語(yǔ)言的意義和作用;2會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合【基礎(chǔ)知識(shí)】一、集合的表示（1）列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法（2）描述法一般地，設(shè)是一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法（3）Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：用列舉法表示集合例1用列舉法表示下列給定的集合：(1)不大于的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)小于的質(zhì)數(shù)組成的集合；(3)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；(4)方程組

2、的解集.解：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10，所以A0,2,4,6,8,10(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，所以B2,3,5,7(3)方程x22x30的實(shí)數(shù)根為1,3，所以C1,3(4)方程組eq blcrc (avs4alco1(xy4，,xy2)的解為eq blcrc (avs4alco1(x3，,y1.)所以方程組的解集D(3,1)變式訓(xùn)練1：用列舉法表示下列集合：(1)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(2)直線與軸的交點(diǎn)所組成的集合；(3)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合解：(1)方程x22x的解是x0或x2，所以方程的解組成的集合為0,2(2)將x0代入y2x1，得y1，即

3、交點(diǎn)是(0,1)，故交點(diǎn)組成的集合是(0,1)(3)正整數(shù)有1,2,3，所求集合為1,2,3，考點(diǎn)二：用描述法表示集合文字描述；式子描述例2用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合.解：(1)不等式2x31的解組成的集合為A，則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x，則x滿足2x31，則Ax|2x31，即Ax|x2(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x3n2，nZ.但元素為正整數(shù)，故x3n2，nN.所以被3除余2的正整數(shù)的集合Bx|x3n2，nN(3)設(shè)偶數(shù)為x，則x2n，nZ.但元素是2,4,6,8,10，所以

4、x2n，n5，nN*.所以Cx|x2n，n5，nN*(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x0，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為D(x，y)|x0變式訓(xùn)練1：用描述法表示下列集合：(1)比大又比小的實(shí)數(shù)組成的集合；(2)不等式的所有解；(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的集合解：(1)可以表示成xR|1x10(2)可以表示成x|3x42x，即x|x4(3)可以表示成(x，y)|xy0考點(diǎn)三：集合的表示綜合例3下列命題中正確的（ ）與表示同一個(gè)集合；由組成的集合可表示為或；方程的所有解的集合可表示為；集合可以用列舉法表示A只有和B只有和C只有D以上語(yǔ)句都不對(duì)C【詳解】0表示元素為0的

5、集合，而0只表示一個(gè)元素，故錯(cuò)誤；符合集合中元素的無(wú)序性，正確；不符合集合中元素的互異性，錯(cuò)誤；中元素有無(wú)窮多個(gè)，不能一一列舉，故不能用列舉法表示故選：C.變式訓(xùn)練1：方程組的解集是（ ）ABCDD【詳解】，兩式相加可得，所以，將代入可得，所以，所以方程組的解集是，故選：D變式訓(xùn)練2：下列集合恰有個(gè)元素的集合是（ ）ABCDC【詳解】不是集合；,所以選C.變式訓(xùn)練3：已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為_.或【詳解】因?yàn)?，則或或，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，或（舍）當(dāng)時(shí)，符合題意；綜上所述：或，故或考點(diǎn)四：元素個(gè)數(shù)相同元素根據(jù)互異性，只能計(jì)算一次（主要考查互異性）例4設(shè)集

6、合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A3B4C5D6B【詳解】時(shí)，的值依次為，有4個(gè)不同值，即，因此中有4個(gè)元素故選：B變式訓(xùn)練1：已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)C【詳解】因?yàn)榧希约?，故選：C變式訓(xùn)練2：設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A3B4C5D6C【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由可得：；當(dāng)時(shí)，由可得：；當(dāng)時(shí)，由可得：，當(dāng)，時(shí)，由可知：不存在整數(shù)使該不等式成立，所以,因此中元素的個(gè)數(shù)為5.故選：C變式訓(xùn)練3：集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)C【詳解】由已知得，又，所以中元素的個(gè)數(shù)為個(gè)故選：C.考點(diǎn)五：元素個(gè)數(shù)（求參）相同元素根據(jù)互異性，只能計(jì)算一個(gè)（

7、主要考查互異性）例5已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（ ）ABCDD【詳解】解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)滿足條件；當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)元素的話，解得，綜上，的取值集合為，故選：D變式訓(xùn)練1：已知集合中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值集合是（ ）ABCDA【詳解】當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若集合中有且只有一個(gè)元素，則，解得；所以實(shí)數(shù)的取值集合是.故選：A變式訓(xùn)練2：式子的所有可能取值組成的集合為_.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以式子的所有可能取值組成的集合為，故變式訓(xùn)練3：已知集合.（1）若是空集，求的取值范圍；（2）若中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍（1）；（2）當(dāng)時(shí)

8、，；當(dāng)時(shí)，；（3）.【詳解】（1）若A是空集，則方程無(wú)解此時(shí)9-8a0即a所以的取值范圍為（2）若A中只有一個(gè)元素則方程有且只有一個(gè)實(shí)根當(dāng)a0時(shí)方程為一元一次方程，滿足條件當(dāng)a0，此時(shí)98a0，解得：a0或a當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（3）若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是.考點(diǎn)六：集合新定義例6給定集合，若對(duì)于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：集合為閉集合；集合為閉集合；若集合、為閉集合，則為閉集合其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）ABCDB【詳解】對(duì)于命題，取，則，則集合不是閉集合，錯(cuò)誤；對(duì)于命題，任取、，則存在、，使得，且，所以

9、，所以，集合為閉集合，正確；對(duì)于命題，若集合、為閉集合，取，則或，取，則，所以，集合不是閉集合，錯(cuò)誤.因此，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為.故選：B.變式訓(xùn)練1：已知集合中的元素均為整數(shù)，對(duì)于，如果且，那么稱是的一個(gè)“孤立元”給定集合，由中的個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_個(gè)答案：6解析：依題意可知，所謂不含“孤立元”的集合就是集合中的3個(gè)元素必須是3個(gè)相鄰的正整數(shù)，故所求的集合為1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，共6個(gè)變式訓(xùn)練2：已知集合(1)若，則是否存在，使成立？(2)對(duì)于任意，是否一定存在，使？證明你的結(jié)論解：(1)設(shè)m6k33k13k2(kZ

10、)，令a3k1(kZ)，b3k2(kZ)，則mab.故若mM，則存在aA，bB，使mab成立(2)設(shè)a3k1，b3l2，k，lZ，則ab3(kl)3，k，lZ.當(dāng)kl2p(pZ)時(shí)，ab6p3M，此時(shí)存在mM，使abm成立；當(dāng)kl2p1(pZ)時(shí)，ab6p6M，此時(shí)不存在mM，使abm成立故對(duì)于任意aA，bB，不一定存在mM，使abm.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1、若用列舉法表示集合，則下列表示正確的是（ ）ABCDB【詳解】由可得，用列舉法表示為：，故選：B.2、已知集合，則集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）ABCDD【詳解】因?yàn)榧?，所以共含?0個(gè)元素.故選：D.3、已知集合，則集合等于（ ）ABCDB【詳

11、解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，故選：B4、已知，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A1或B1CD或0C【詳解】當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，不滿集合中元素的互異性，不合題意；當(dāng)時(shí)，得，若，則，不滿集合中元素的互異性，不合題意；若，則，滿足.故選：C5、下列四個(gè)命題：是空集；若，則；集合含有兩個(gè)元素；集合是有限集其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D0D【詳解】0是含有一個(gè)元素0的集合，不是空集，所以不正確；當(dāng)a0時(shí)，0N，所以不正確；因?yàn)橛蓌22x10，得x1x21，所以xR|x22x101，所以不正確；當(dāng)x為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，N，所以是無(wú)限集，所以不正確故選：D6、若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為

12、（ ）ABCD或D【詳解】當(dāng)時(shí)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則，解得.綜上所述，或.故選：D.7、設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素若對(duì)任意的，都有(除數(shù))，則稱是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，有下列說(shuō)法正確的是（ ）A數(shù)域必含有兩個(gè)數(shù)；B整數(shù)集是數(shù)域；C若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域；D數(shù)域必為無(wú)限集AD【詳解】數(shù)集P有兩個(gè)元素m，N，則一定有mm0，1(設(shè)m0)，A正確；因?yàn)?Z，2Z，所以整數(shù)集不是數(shù)域，B不正確；令數(shù)集，則，但，所以C不正確；數(shù)域中有1，一定有112，123，遞推下去，可知數(shù)域必為無(wú)限集，D正確故選：AD8、設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意，都有、

13、（除數(shù)）則稱數(shù)集是一個(gè)數(shù)域例如有理數(shù)集是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域下列命題是真命題的是（ ）A整數(shù)集是數(shù)域B若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域C數(shù)域必為無(wú)限集D存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域CD【詳解】要滿足對(duì)四種運(yùn)算的封閉，逐個(gè)檢驗(yàn)；A.對(duì)除法如Z不滿足，所以排除；B.當(dāng)有理數(shù)集增加一個(gè)元素得，而不屬于集合，所以不是一個(gè)數(shù)域,排除；C.域中任取兩個(gè)元素，由運(yùn)算可以生成無(wú)窮多個(gè)元素，所以正確；D.把集合中替換成以外的無(wú)理數(shù)，可得有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)域，所以正確.故選:CD.9、用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于且小于的有理數(shù)組成的集合（2）的正因數(shù)組成的集合（3）自然數(shù)的平方組成的集合（4）由這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒(méi)有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合（1）用描述法表示為x|2x5且xQ（2）用列舉法表示為1，2，3，4，6，8，12，24（3）用描述法表示為x|x=n2，nN（4）用列舉法表示為0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，20110、已知集合（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.（1）或；（2）；（3）或.【詳解】解：（1）若中只有一個(gè)元素，則當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，此時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，方程為二元一次方程，即，故當(dāng)或時(shí)，原方程只有一個(gè)解；（2）