概率論與數(shù)理統(tǒng)計高教版第四版課后習題答案

1、1.3 頻率與概率 一頻率 定義 在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率。并記為fn(A)。 由定義，易見頻率具有下述性質： 由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生次數(shù)與試驗次數(shù)的比，其1大小表示A發(fā)生的頻繁程度，頻率大，事件A發(fā)生就頻繁，這就意味著事件A 在一次試驗中發(fā)生的可能性大，反之亦然。因此，直觀的想法是用頻率來表示事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，但是否可行，先看下面的例子。例1 考慮 “拋硬幣這個試驗，我們將一枚硬幣拋5次，50次，500次各做10遍，得到數(shù)據(jù)如表1-1.其中nH表示H發(fā)生的頻數(shù)，fn(H

2、)表示H發(fā)生的頻率。見教材 這種試驗歷史上有人做過，得到表1-2所示的數(shù)據(jù)見教材。從以上數(shù)據(jù)可以看出，拋硬幣次數(shù)n較小時，頻率fn(H)在0與1之間隨機波動，其幅度較大，但隨著n的增大，頻率fn(H)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即當n逐漸增大時頻率fn(H)總是在0.5附近擺動，而逐漸穩(wěn)定于0.5.2實驗序號 n=5 nH fn(H) n=50 nH fn(H) n=500 nH fn(H) 1 2 0.2 22 0.44 251 0.502 2 3 0.6 25 0.50 249 0.498 3 1 0.2 21 0.42 256 0.512 4 5 1.0 25 0.50 253 0.506 5 1 0

3、.2 24 0.48 251 0.502 6 2 0.4 21 0.42 246 0.492 7 4 0.8 18 0.36 244 0.488 8 2 0.4 24 0.48 258 0.516 9 3 0.6 27 0.54 262 0.524 10 3 0.6 31 0.62 247 0.494表1-13 表1-2 試驗者 n nH fn(H)德摩爾根 2048 1061 0.518 蒲豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 維尼 30000 14994 0.49984 字母 頻率 字母 頻率 字母

4、頻率 E0.126 8 L0.039 4 P0.018 6 T0.097 8 D0.038 9 B0.015 6 A0.078 8 U0.028 0 V0.010 2 O0.077 6 C0.026 8 K0.006 0 I0.070 7 F0.025 6 X0.001 6 N0.070 6 M0.024 4 J 0.001 0 S0.063 4 W0.021 4 Q0.000 9 R0.059 4 T0.020 2 Z0.000 6 H0.0573 G0.018 7表1-35 例2 考察英語中特定字母出現(xiàn)的頻率，當觀察字母的個數(shù)N試驗次數(shù)較小時，頻率有較大幅度的隨機波動。但當n增大時，頻率呈

5、現(xiàn)出穩(wěn)定性。表1-3就是一份英文字母頻率的統(tǒng)計表。見教材 大量實驗證實，當重復試驗的次數(shù)n逐漸增大時，頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)。這種“頻率穩(wěn)定性即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律。我們讓試驗重復大量次數(shù)，計算頻率fn(A),以它來表征事件A發(fā)生可能性的大小是適宜的。 但是，在實際中，我們不可能對每一個事件都做大量的試驗，然后求得事件的頻率，用以表征事件發(fā)生可能性的大小。同時，為了理論研究的需要，我們從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質得到啟發(fā)，給出表征事件發(fā)生可能性大小的概率的定義。二概率 定義 設E是隨機試驗，S是它的樣本空間。對于E的每一事6件A賦予一個實數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率，

6、如果集合函數(shù)P()滿足以下條件： 1 非負性：對于每一個事件A，有P(A)0; 2 標準性： 對于必然事件S，有P(S)=1; 由概率的定義，可以推得概率的一些重要性質。 性質 P()=0.7 性質 有限可加性假設A1,A2,An是兩兩互不相容的事件，那么有 3.2式稱為概率的有限可加性。8(3.2) 式得證。 性質 設A,B是兩個事件，假設AB,那么有 P(B-A)=P(B)-P(A); (3.3) P(B)P(A). (3.4) 證 由AB知，B=A(B-A),且A(B-A)=,再由概率的有限可加性3.2，得 P(B)=P(A)+P(B-A),(3.3)得證；又由概率的非負性，P(B-A)

7、0,知 P(B)P(A). 性質 對于任意事件A， P(A)1.9 證 因AS,由性質3，得 P(A)P(S)=1. 性質 逆事件的概率對于任一事件A有 性質 加法公式對于任意兩個事件A,B有 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB). (3.5) 證 因AB=A(B-AB),且A(B-AB)=,ABB,故由3.2及3.3式，得10 P(AB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB)(3.5)式還能推廣到多個事件的情況。例如，設A1，A2，A3為任意三個事件，那么有 P(A1A2A3)=P(A1)+ P(A2)+ P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3) -P(A2A3)+

8、P(A1A2A3). (3.6) 一般，對于任意n個事件A1,A2,An可用歸納法證明得11 1.4 等可能概型古典概型 現(xiàn)在來看看下面的幾種類型的試驗： 1拋擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面與反面兩種結果，并且這兩種結果出現(xiàn)的可能性是相同的； 2200個同型號的產品中有6個廢品，從中每次抽取3個進行檢驗，共有C3200種不同的抽取結果，并且任意3個產品被取到的時機相同； 3拋一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，有出現(xiàn)1，2，3，4，5，6各點的六種結果，且每一種結果出現(xiàn)的可能性相同。 這類試驗的共同特點是：每次試驗只有有限種可能的結果，即組成實驗的根本領件總數(shù)為有限個；每次試驗中，各根本領件出現(xiàn)的可能性完全相

9、同。具有上述特點的試驗稱為古典概型試驗。下面我們來討論在古典概型中事件A的概率計算公式。12 設試驗的樣本空間為S=e1,e2,en.由于在試驗中每個根本領件發(fā)生的可能性相同，既有 P(e1)=P(e2)=P(en)。又由于根本領件是兩兩互不相容的。于是13 假設事件A中包含有k個根本領件，即這里i1，i2 ，。,ik是1，2，n中某k個不同的數(shù)，那么有即4.1就是等可能概型中事件A的概率計算公式。 例1 將一枚硬幣拋擲三次。1設事件A1為“恰好有一次出現(xiàn)正面，求P(A1);2設事件A2“至少出現(xiàn)一次正面，求P(A2)。14 解 ：1設正面是H，反面是T?？紤]1中E3的樣本空間： S2=HHH

10、,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,而A1=HTT,THT,TTH。 S2中包含有限個元素，且由對稱性知每個事件發(fā)生的可能性相同，故由4.1得15 例2 一個口袋裝有4只白球，2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機地取一只?？紤]兩種取球方式：a第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。 這種取球方式叫做放回抽樣。b第一次取一只球后不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球， 這種取球方式叫做不放回抽樣。試分別就上面兩種情況求1取到的兩只球都是白球的概率；2取到的兩只球顏色相同的概率；3取到的兩只球至少有一只白球的概率。 解: a 放回抽樣的情況。 以A,B,C分別表示

11、事件“取到兩只都是白球， “取到兩只都是紅球， “取到兩只球中至少有一只是白球。易知“取到兩只顏色相同的球這一事件是AB,而 樣本空間中根本領件的總數(shù)為66.事件A包含的根本領16件數(shù)為44個元素，同樣B重包含的根本領件數(shù)為22個元素。于是由于AB=,得17 b不放回抽樣的情況。 樣本空間中根本領件的總數(shù)為事件A中包含的根本領件數(shù)為事件B中包含的根本領件數(shù)為18 例3 將n只球隨機地放入NNn個盒子中去，試求每個盒子中至多有一只球的概率設盒子的容量不限。 解：將n只球放入N個盒子中去，每一種放法是一個根本事件。易知這是古典概率問題。 樣本空中根本領件的總數(shù)為NNN=Nn,而每個盒子中至多放一只

12、球的事件含有N(N-1)(N-2)(N-(n-1)個根本事件，即ANn。因而所求的概率為19有許多問題和本例具有相同的數(shù)學模型。例如，假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365那么隨機選取n個n365)個人，他們生日各不相同的概率為因而，n個人中至少有兩人生日相同的概率為經(jīng)計算可得下屬結果： n 20 23 30 405064100 p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.999999720從以上表可以看出，在僅有64人的班級里，“至少有兩人生日相同的這一事件的概率與1相差無幾，因此，如作調查的話，幾乎總會出現(xiàn)。 例4 假設N件產品，其中有D

13、件次品，今從中任意取出n件，問恰好有k件次品的概率是多少？ 解：在N件產品中抽出n件這里是指不放回抽樣,所有可能的取法有 種 ，即根本領件的總數(shù)。所取的n件產品中有k件次品這一事件的取法共有 種，于是所求的概率為(4.2)式即是所謂的超幾何分布的公式。21例5 袋中有a個白球，b個紅球，k個人一次在袋中取一只球，1作放回抽樣；2作不放回抽樣，求第ii=1,2,k個人取到白球記為事件B的概率ka+b。解：1放回抽樣的情況，顯然有2不放回抽樣的情況。各人取一只有種取法，即根本領件的總數(shù)。當時間B發(fā)生時，第i人取的應是白球，它可以是a個白球中的任意一個，有a種取法，其余被取的k-1只球可以是其余的a

14、b1只球中的任意k1只，共有22(ab1) (ab2)(ab(k1)+1)=種取法。于是事件B中包含了 個根本領件。故由4.1得值得注意的是P(B)與i無關，即k個人取球，盡管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一樣的，大家的時機相同。還值得注意的是放回抽樣與不放回抽樣的情形是不一樣的。 例6 在12000的整數(shù)中隨機的抽取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 解：這事件A“取到的數(shù)能被6整除，B“取到的數(shù)能被8整除，那么所求的概率為23由于故得由于故得24又由于一個數(shù)同時能被6和8整除，就相當于能用24整除，因此，由故得于是所求的概率為25例7 將15名新生隨機地平均分配到三個班中去，這15新生中有3名是優(yōu)秀生。問1每個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？23名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為 1將3名優(yōu)秀生分配到三個班級使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法3！種，對于這一種分法，其余的12名新生平均分到三個班的分法共有26 因此，每一班級分配到一名優(yōu)秀生的分法共有于是，所求的概率為 2將3名優(yōu)秀生分配到同一班級的分法有3種，對于這種分法，其余12名新生的分法一個班級2，另兩個班級各5名有27種，因此3名優(yōu)秀生分配在同一班級的分法共有種，于是所求的概率