初高中數(shù)學(xué)銜接教材12講word版配答案(南僑中學(xué)版)

1、PAGE 初高中數(shù)學(xué)銜接教材編者的話高中數(shù)學(xué)難學(xué)，難就難在初中教材與高中教材之間剃度過大，因此我們要認(rèn)真搞好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，使初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)具有連續(xù)性和統(tǒng)一性?，F(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數(shù)為1的二次三項式的分解，對系數(shù)不為1的涉及不多，而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式常

2、用的解題技巧； 5初中教材對二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個數(shù)學(xué)教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不作要求，此類題目僅限于簡單的常規(guī)運算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)時，則作為必備的基本知識要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了

3、解，高中則作為重點，并無專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的四心：重心、內(nèi)心、外心、垂心）和定理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學(xué)習(xí)；10、圓中四點共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。高一數(shù)學(xué)相對于初中數(shù)學(xué)而言，邏輯推理強，抽象程度高，知識難度大。初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)習(xí)成績大幅度下降，出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩極分化，心理失落

4、感很大，過去的尖子生可能變?yōu)閷W(xué)習(xí)后進(jìn)生，甚至，少數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)失去了信心。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作了較大程度的壓縮、上調(diào)，中考難度的下調(diào)、新課程的實驗和新教材的教學(xué)，使高中數(shù)學(xué)在教材內(nèi)容以及高考中都對學(xué)生的能力提出了更高的要求，使得原來的矛盾更加突出。高中教材從知 識內(nèi)容上整體數(shù)量較初中劇增；在知識的呈現(xiàn)、過程和聯(lián)系上注重邏輯性，且數(shù)學(xué)語言抽象程度發(fā)生了突變，教材敘述比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范而抽象。知識難度加大，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計算繁冗復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點高、難度大、容量多”的特點。其次，初中難度降低，有中考試卷的難度降低作保障；而高中由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，造成了高中數(shù)學(xué)實際難度并

5、沒有降低。因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而加大了。如現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容上進(jìn)行了較大幅度的調(diào)整，難度、深度和廣度大大降低了，那些在高中學(xué)習(xí)中經(jīng)常應(yīng)用到的知識，如十字相乘法、分組分解法等內(nèi)容，都轉(zhuǎn)移到高一階段補充學(xué)習(xí)。這樣初中教材就體現(xiàn)了“淺、少、易”的特點，但卻加重了高一數(shù)學(xué)的份量。在初中，教師講得細(xì)，類型歸納得全，練得熟，考試時，學(xué)生只要記準(zhǔn)概念、公式及教師所講例題類型，一般均可對號入座取得中考好成績。而高考要求則不同，有的高中教師往往用高三復(fù)習(xí)時應(yīng)達(dá)到的類型和難度來對待高一教學(xué)，造成了輕過程、輕概念理解、重題量的情形，造成初、高中教師教學(xué)方法上

6、的巨大差異，中間又缺乏過渡過程，至使新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。高中許多知識僅憑課堂上聽懂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要認(rèn)真消化。這就要求學(xué)生具有較強的閱讀分析能力和自學(xué)理解能力。因此，在初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接中，教師要有意識地指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，通過編擬閱讀提綱，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，對某些簡單章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，可組織閱讀討論，以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)理解能力以及獨立鉆研問題的良好習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生主動參與觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生形成有效的學(xué)習(xí)策略。新的課程改革，難免會導(dǎo)致很多知識的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我們會不斷的研究新課程及其體系，將不遺余力地找到新的

7、初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足，加以補充和完善。我們的目標(biāo)是使所有的學(xué)生在努力之后，都能摘到相應(yīng)的果實，所以我們要不惜時間與精力，進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，讓“銜接教學(xué)”更好地為高一新生鋪設(shè)一條成功的路。 南僑中學(xué)高一數(shù)學(xué)備課組目錄第一章 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運算1.1.1 乘法公式 31.1.2 分式 41.2 分解因式 5第二章 二次方程、二次函數(shù)與二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式 112.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系 132.2 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì) 192.2.2 二次函數(shù)的三種表達(dá)方式 252.3 一元二次不等式的解法 28第三

8、章 相似形、三角形3.1 相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理 333.1.2 相似三角形形的性質(zhì)與判定 363.2 三角形3.2.1 三角形的四心、 403.2.2 幾種特殊的三角形 43課后練習(xí)與習(xí)題答案 461.1 數(shù)與式的運算1.1.1 乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 。對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。例1 計算：。解法一：原式=。解法二：原式=。例2 已知，

9、求的值。解： 。練習(xí)：1填空：（1）（ ）；（2） ；(3) 。2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于（ ）A、 B、 C、 D、（2）不論，為何實數(shù)，的值（ ）A、總是正數(shù) B、總是負(fù)數(shù) C、可以是零 D、可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.2 分式1分式的意義：形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式。當(dāng)M0時，分式具有下列基本性質(zhì)：；。2繁分式：像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1若，求常數(shù)的值。解：， 解得 。例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計算：；（1）證明：，（其中n是正整數(shù)）成立。（2）解：由（1）可知。練 習(xí)：1.對任意的正整數(shù)n， ()；2計算：。

10、12 分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法。1、提取公因式法例1 分解因式：（1）（2） 解：（1）=（2）= =?；?練習(xí)：一、填空題：1、多項式中各項的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7計算= 二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ） 2、（ ）3、（ ） 4、（ ）2、公式法例2 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =練習(xí)一、，的公因式是_。二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2

11、、3、 4、3、分組分解法例3 分解因式：（1） （2）。解：（1）或（2）=?；?。練習(xí)：用分組分解法分解多項式（1） （2）4、十字相乘法例4 分解因式：（1）32； （2）412； （3）； （4）。 解：（1）如圖111，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有32(1)( 2)。aybyxx圖1142611圖1131211圖11212xx圖11111xy圖115 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖111中的兩個x用1來表示（如圖112所示）。（2）由圖113，得4

12、12(2)( 6)。（3）由圖114，得（4）y(y)1(1) (y+1) （如圖115所示）。練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若則，。二、選擇題：（每小題四個答案中只有一個是正確的）1、在多項式（1）（2）（3）（4），（5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多項式可分解為，則、的值是（

13、 ）A、， B、， C、， D、，5、若其中、為整數(shù)，則的值為（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、5、關(guān)于x的二次三項式+b+c(a0)的因式分解。若關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為。例5把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）。解：（1）令=0，則解得，=。（2）令=0，則解得，=。練習(xí)1選擇題：多項式的一個因式為（ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8 （2）8a3b3（3）x22x1 （4）習(xí)題12 1分解因式：（1）= （2）； （3）； （4）。2在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （

14、3）； （4）。3分解因式：x(a2a)。2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：(1)；(2)；(3)。用配方法可把一元二次方程bc0（a0）變?yōu)閍0，4a20。于是（1）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根；（3）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根。由此可知，一元二次方程bc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程bc0（a

15、0）的根的判別式，通常用符號“”來表示。綜上所述，對于一元二次方程bc0（a0），有（1）當(dāng)0時，方程有兩個不相bc0等的實數(shù)根；（2）當(dāng)0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，；（3）當(dāng)0時，方程沒有實數(shù)根。例1 判定下列關(guān)于的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根。（1）330； （2）10；（3）(1)0； （4）2a0。解：（1）3241330，方程沒有實數(shù)根。（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根，。（3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1x21；當(dāng)

16、a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x11，x2a1。（4）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，；當(dāng)0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1x21；當(dāng)0，即a1時，方程沒有實數(shù)根。說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論。分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題。2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程bc0（a0）有兩個實數(shù)根則有；。所以，一

17、元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果bc0（a0）的兩根分別是,，那么+， 。這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理。特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pq0，若,是其兩根，由韋達(dá)定理可知，+p，q，即p(+)，q，所以，方程pq0可化為(+)0，由于,是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程(+)0。因此有以兩個數(shù),為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是(+)0。所以，方程的另一個根為，k的值為7。例2已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值。分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根。但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以

18、利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值。解法一：2是方程的一個根，522k260，k7。所以，方程就為5x27x60，解得2，。解法二：設(shè)方程的另一個根為，則 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一個根為，k的值為7。例3 已知關(guān)于的方程2(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值。分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值。但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大

19、于零。解：設(shè),是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170，解得m1，或m17。當(dāng)m1時，方程為650，0，滿足題意；當(dāng)m17時，方程為302930，302412930，不合題意，舍去。綜上，m17。說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零。因為，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根。例4已知

20、兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)。分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)。也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解。解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是，則 解得： ，因此，這兩個數(shù)是2和6。解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個數(shù)是方程x24x120的兩個根。解這個方程，得2，6。所以，這兩個數(shù)是2和6。說明：從上面兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡捷。例5 若和分別是一元二次方程25x30的兩根。（1）求|的值； （2）求的值； （3）。解：和分別是一元二次方程2530的兩根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3

21、）(+2)( )(+) (+) 23()()23()。說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程bc0（a0），則，|-|。于是有下面的結(jié)論：若和分別是一元二次方程bc0（a0），則|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論。例6 若關(guān)于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍。解：設(shè),是方程的兩根，則a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a eq f(17,4) 。a的取值范圍是a4。練 習(xí)1

22、.選擇題：（1）方程的根的情況是（ ）（A）有一個實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根（D）沒有實數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m02填空:（1）若方程310的兩根分別是x1和x2，則 。（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 。（3）以3和1為根的一元二次方程是 。3.若，當(dāng)k取何值時，方程kab0有兩個不相等實數(shù)根？4已知方程310的兩根為和，求(3)( 3)的值。習(xí)題2.1 A組1選擇題:（1）已知關(guān)于的方程k20的一個根是1，則它的另一個根是

23、（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個說法：其中正確說法的個數(shù)是（ ）個 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程370的兩根之和為0，兩根之積為；方程32x0的兩根之和為2，兩根之積為0。（3）關(guān)于x的一元二次方程a5xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的兩根之和為2，則k 。（2）方程2x2x40的兩根為，則22 。（3）已知關(guān)于x的方程ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 。（4）方程22x10的兩根為x

24、1和x2，則| x1x2| 。3試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)。B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2005x10的兩實數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x10的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 。3已知關(guān)于x的方程kx20。（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，

25、如果2(x1x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍。4一元二次方程abxc0（a0）的兩根為x1和x2。求：（1）| x1x2|和；（2）x13x23。5關(guān)于x的方程4xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數(shù)m的值。C 組1.選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程24x10的兩個根，則的值為（ ）（A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程2(1+m)xm20有兩實數(shù)根，則的取值范圍為（ ）（A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b

26、，c是ABC的三邊長，那么方程c(ab)x0的根的情況是（ ）（A）沒有實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）有兩個異號實數(shù)根2.填空：若方程8xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 。3.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4k4kxk10的兩個實數(shù)根。（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1x2)( x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值。4已知關(guān)于x的方程。（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，

27、求m的值及相應(yīng)的x1，x2。5若關(guān)于x的方程xa0的根一個大于1、另一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍。22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1） (2) (3) 教師可采用計算機繪圖軟件輔助教學(xué)問題1 函數(shù)ya與y的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2，y，y2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)ya與y的圖象之間所存在的關(guān)系。先畫出函數(shù)y，y2的圖象。先列表：x321012394101492188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大

28、到兩倍就可以了。圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21yx2y2x2圖2.2-1xOy再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y，y2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫健Ｍ瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y，y2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y的圖象之間的關(guān)系。通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya (a0)的圖象可以由yx2的圖象各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到。在二次函數(shù)ya (a0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標(biāo)系中的開口的大小。問題2 函

29、數(shù)ya(xh)2k與ya的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系。同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的圖象我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象。這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點。類似地，還可以通過畫函數(shù)y3，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系。通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，

30、h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”。由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yabxc(a0)的圖象的方法：由于yabxca()ca()c ，所以，yabxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)ya的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yabxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時，函數(shù)yabxc圖象開口向上；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線x；當(dāng)x時，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時，函數(shù)取最小值y。（2）當(dāng)a0時，函數(shù)yabxc圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線x；當(dāng)x時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時

31、，函數(shù)取最大值y。 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來。因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題。xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4例1 求二次函數(shù)y36x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象。解：y36x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時，y隨著x的增大而減小；采用

32、描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）。說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確。函數(shù)yabxc圖象作圖要領(lǐng)：確定開口方向：由二次項系數(shù)a決定。確定對稱軸：對稱軸方程為確定圖象與x軸的交點情況，若0則與x軸有兩個交點，可由方程bxc=0求出若=0則與x軸有一個交點，可由方程x2bxc=0求出若0則與x軸有無交點。確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標(biāo)為（0，c）由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖：（1）

33、(2) (3) x /元130150165y/件705035例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值。解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykxb，將x130，y70；x150，y50代入方程，有

34、 解得。 yx200。設(shè)每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320 x24000 (x160)21600，當(dāng)x160時，z取最大值1600。答：當(dāng)售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元。例3 把二次函數(shù)ybxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值。解法一：ybxc(x +)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y的圖像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函數(shù)ybxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y的圖像，等價于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平

35、移4個單位，得到函數(shù)ybxc的圖像。由于把二次函數(shù)y的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為y8x14的圖像，函數(shù)y8x14與函數(shù)ybxc表示同一個函數(shù)，b8，c14。說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律。這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點。今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題。例4 已知函數(shù)yx2，2x

36、a，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值。 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進(jìn)行討論。解：（1）當(dāng)a2時，函數(shù)y的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當(dāng)2a0時，由圖226可知，當(dāng)x2時，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當(dāng)0a2時，由圖226可知，當(dāng)x2時，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當(dāng)a2時，由圖226可知，當(dāng)xa時，函數(shù)取最大值ya2；當(dāng)x0時，函數(shù)取最小值y0。xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyO

37、aa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進(jìn)行討論。此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題。練習(xí) 1選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標(biāo)軸上的是（ ）（A）y2 （B）y24x2 （C）y21 （D）y24x （2）函數(shù)y2(x1)22是將函數(shù)y2（ ） （A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的（B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的（C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的（D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2填空題（1）二次函數(shù)

38、y2mxn圖象的頂點坐標(biāo)為(1，2)，則m ，n 。（2）已知二次函數(shù)y+(m2)x2m，當(dāng)m 時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當(dāng)m 時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當(dāng)m 時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點。（3）函數(shù)y3(x2)25的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標(biāo)為 ；當(dāng)x 時，函數(shù)取最 值y ；當(dāng)x 時，y隨著x的增大而減小。3求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大（小）值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象。（1）y2x3； （2）y16 x。4已知函數(shù)y2x3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r所對應(yīng)的自變量x的值：；。2.2.2 二次函數(shù)的三種表

39、示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式：yabxc(a0)；2頂點式：ya(xh)2k (a0)，其中頂點坐標(biāo)是(h，k)。除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示。為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yabxc(a0)的圖象與x軸交點個數(shù)。當(dāng)拋物線yabxc(a0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有abxc0。 ，并且方程的解就是拋物線yabxc(a0)與x軸交點的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yabxc(a0)與x軸交點個數(shù)與方程的解的個數(shù)有關(guān)，而方程的解的個數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關(guān)，由此可知，拋物線yabx

40、c(a0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)0時，拋物線yabxc(a0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線yabxc(a0)與x軸有兩個交點，則0也成立。（2）當(dāng)0時，拋物線yabxc(a0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線yabxc(a0)與x軸有一個交點，則0也成立。（3）當(dāng)0時，拋物線yabxc(a0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線yabxc(a0)與x軸沒有交點，則0也成立。于是，若拋物線yabxc(a0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程abxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即(x1x2)， x1x2。

41、所以，yabxca()= a(x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2)。 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為ya(xx1)(xx2)(a0)。這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題。例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點（3，1），求二次函數(shù)的解析

42、式。分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a。解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標(biāo)，頂點的縱坐標(biāo)為2。又頂點在直線yx1上，所以，2x1，x1。頂點坐標(biāo)是（1，2）。設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，1），解得a2。二次函數(shù)解析式為，即y2x28x7。說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標(biāo)，再利用頂點的位置求出頂點坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題。因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題。例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(3，0)

43、，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式。分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點式。解法一：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya(x3)(x1)(a0)，展開，得：ya2ax3a， 頂點的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a。所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y，或y。分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點式來解，

44、然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式。解法二：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1。又頂點到x軸的距離為2，頂點的縱坐標(biāo)為2，或2。于是可設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22。a，或a。所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22。說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標(biāo)及頂點的坐標(biāo)這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題。例3已知二次函數(shù)的圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次

45、函數(shù)的表達(dá)式。解：設(shè)二次函數(shù)為。由函數(shù)圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得，解得故所求二次函數(shù)為y2x212x8。通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達(dá)式？練習(xí)1.選擇題:（1）函數(shù)yx2x1圖象與x軸的交點個數(shù)是（ ）（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）無法確定（2）函數(shù)y eq f(1,2) (x1)22的頂點坐標(biāo)是（ ）（A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2.填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為ya (a0)

46、 。（2）二次函數(shù)yx2+2 eq r(3)x1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為 。3.據(jù)下列條件，求二次函數(shù)解析式。（1）圖象經(jīng)過點(1，2)，(0，3)，(1，6)；（2）當(dāng)x3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；xO23yx2x6yy0y0y0圖2.312.3 一元二次不等式解法x32101234y60466406二次函數(shù)yx2x6的對應(yīng)值表與圖象如左圖：由對應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當(dāng)x2，或x3時，y0，即x2x60；當(dāng)x2，或x3時，y0，即x2x60；當(dāng)2x3時，y0，即x2x60。這就是說，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點是(2，0)與(3，0)，那么一元

47、二次方程x2x60的解就是x12，x23；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是x2，或x3；一元二次不等式x2x60的解是2x3。上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集。那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來解一元二次不等式ax2bxc0(a0)。為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)a0時的一元二次不等式的解。我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，設(shè)b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分別為下列三種情況有

48、兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線yax2bxc（a0）與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.32所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式ax2bxc0（a0）與ax2bxc0（a0）的解。xyOx1x2xyOx1= x2yxO圖2.32（1）（1）當(dāng)0時，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個公共點(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2(x1x2)，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為xx1，或xx2；不等式ax2bxc0的解為x1xx2。（2）當(dāng)0時，拋物線yax2bxc（a

49、0）與x軸有且僅有一個公共點，方程ax2bxc0有兩個相等的實數(shù)根x1x2 eq f(b,2a) ，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為x eq f(b,2a) ； 不等式ax2bxc0無解。（3）如果0，拋物線yax2bxc（a0）與x軸沒有公共點，方程ax2bxc0沒有實數(shù)根，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為一切實數(shù)；不等式ax2bxc0無解。今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式。例3 解不等式：（1）x22x30；

50、 （2）xx260； （3）4x24x10；（4）x26x90； （5）4xx20。 解：（1）0，方程x22x30的解是x13，x21。不等式的解為3x1。（2）整理，得x2x60。0，方程x2x6=0的解為x12，x23。原不等式的解為x2，或x3。（3）整理，得(2x1)20。上式對任意實數(shù)x都成立，原不等式的解為一切實數(shù)。（4）整理，得(x3)20。由于當(dāng)x3時，(x3)20成立；而對任意的實數(shù)x，(x3)20都不成立，原不等式的解為x3。（5）整理，得x2x40。0，所以，原不等式的解為一切實數(shù)。例4已知不等式的解是求不等式的解。解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，即

51、。由于，所以不等式可變?yōu)?，即整理，得所以，不等式的解是x1，或x eq f(6,5) 。說明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來解決問題。例5 解關(guān)于的一元二次不等式為實數(shù))。分析 對于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應(yīng)該將二次項系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號,而這里的是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式, 的符號取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要,對的符號進(jìn)行分類討論。解: ,當(dāng) 所以,原不等式的解集為 或；當(dāng)0，即a2時，原不等式的解為x eq f(a,2) ；當(dāng)為一切實數(shù) 。 綜上,當(dāng)a2，或a2時，原不等式的解是 或；當(dāng)為一

52、切實數(shù)。圖2.33yO21xaxxyO21xaxyO21xa例6函數(shù)yx22ax1(a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a表示出來。分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關(guān)，于是需要對對稱軸的位置進(jìn)行分類討論。解：y(xa)21a2， 拋物線yx22ax1的對稱軸方程是xa。(1)若2a1，由圖2.3-3可知,當(dāng)xa時，該函數(shù)取最小值n1a2；(2)若a-2時, 由圖2.3-3可知, 當(dāng)x-2時，該函數(shù)取最小值n4a+5；(3)若a1時, 由圖2.3-3可知, 當(dāng)x1時，該函數(shù)取最小值n-2a+2。綜上,函數(shù)的最小值為練習(xí)1解下列不等式：（1）3x2x40； （

53、2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20。2.解關(guān)于x的不等式x22x1a20（a為常數(shù)）。習(xí)題23 1解下列不等式：（1）3x22x10； （2）3x240；（3）2xx21； （4）4x20。2解關(guān)于x的不等式x2(1a)xa0（a為常數(shù)）。3.1 相似形3.1.1平行線分線段成比例定理在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長度比。圖3.1-1在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點，另作直線交于點，不難發(fā)現(xiàn)我們將這個結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線

54、，所得的對應(yīng)線段成比例。如圖3.1-2，有。當(dāng)然，也可以得出。在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應(yīng)關(guān)系，是“對應(yīng)”線段成比例。圖3.1-2例1 如圖3.1-2， ，且求。 解:, 例2 在中，為邊上的點，圖3.1-3求證：。證明（1） ，證明（2）如圖3.1-3，過作直線，。過作交于，得,因而 從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。例3 已知，在上，能否在上找到一點，使得線段的中點在上。解設(shè)能找到，如圖3.1-4，設(shè)交

55、于，則為的中點，作交于。，且，圖3.1-4，且為的中點。可見，當(dāng)為的中點時，的中點在上。我們在探索一些存在性問題時，常常先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在，無解或矛盾則不存在。例4在中，為的平分線，求證：。證明 過C作CE/AD，交BA延長線于E，,AD平分圖3.1-5由知, 例4的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對邊成比例（等于該角的兩邊之比）。練習(xí)：圖3.1-8圖3.1-7圖3.1-61如圖3.1-6，下列比例式正確的是（ ）A B C D.2如圖3.1-7，求。3如圖，在中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的長。4如圖，在中，的外角平分

56、線交的延長線于點，求證：。圖3.1-95如圖，在的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使BD=CE，DE延長線交BC的延長線于F。求證：。圖3.1-103.1.2相似形我們學(xué)過三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個三角形相似？有哪些方法可以判定兩個直角三角形相似？例5如圖3.1-11，四邊形ABCD的對角線相交于點O，求證：。證明:在與中，圖3.1-11，即。又與中， ，。例6如圖3.1-12,在中，為直角，。求證：（1），；（2）圖3.1-12證明（1）,即。 同理可證得。（2）,即。我們把這個例題的結(jié)論稱為射影定理，該定理對直角三角形的運算很有用。例7在中，求證：。圖3.1-13

57、證明: 為直角三角形，又由射影定理，知。同理可得。例8如圖3.1-14，在中，為邊的中點，為邊上的任意一點，交于點。某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實：圖3.1-14當(dāng)時，有。（如圖3.1-14a）當(dāng)時，有。（如圖3.1-14b）當(dāng)時，有。（如圖3.1-14c）在圖3.1-14d中，當(dāng)時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明（其中n為正整數(shù)）。解：依題意可以猜想：當(dāng)時，有成立。證明 過點D作DF/BE交AC于點F，D是BC的中點，F(xiàn)是EC的中點，由可知，。想一想，圖3.1-14d中，若，則 （參考答案：）。本題中采用了從特殊到一般的思維方法。我們常從一些具體的問題中發(fā)

58、現(xiàn)一些規(guī)律，進(jìn)而作出一般性的猜想，然后加以證明或否定 。數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是不斷探索的歷史。練習(xí)：1.D是的邊AB上的一點，過D點作DE/BC交AC于E。已知AD：DB=2：3，則等于（ ） A B C D2.若一個梯形的中位線長為15，一條對角線把中位線分成兩條線段。這兩條線段的比是，則梯形的上、下底長分別是_。3.已知：的三邊長分別是3，4，5，與其相似的的最大邊長是15，求: 。4已知：如圖3.1-16，在四邊形ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。(1).請判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說明理由；(2).若四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD滿足什么條

59、件時，EFGH是菱形？是正方形？圖3.1-165如圖3.1-17,點C、D在線段AB上，是等邊三角形，(1).當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時，？(2).當(dāng)時，求的度數(shù)。圖3.1-17習(xí)題3.1圖3.1-19圖3.1-18圖3.1-21圖3.1-201.如圖3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，F(xiàn)G=4，則（ ）ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 2.如圖3.1-19，BD、CE是的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則等于（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：63.如圖3.1-20，ABCD中，E是AB延長線上一點，D

60、E交BC于點F，已知BE：AB=2：3，求。4.如圖3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中點，交AC于F，過F作FG/AB交AE于G，求證：。3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。圖3.2-3圖3.2-2圖3.2-1如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個角，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段。三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心。三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點。例1求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為