2011說(shuō)課《排列與組合》

1、說(shuō)課稿:排列、組合復(fù)習(xí)課制作人：唐伯良（長(zhǎng)沙市十九中）學(xué)中九十市沙長(zhǎng)省南湖7/11/20221排列、組合復(fù)習(xí)課高三年級(jí)數(shù)學(xué)組7/11/20222一、目標(biāo)分析1、兩個(gè)原理： 分類計(jì)數(shù)加法原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N= m1+ m2 +.+ mn種不同的方法.7/11/20223 分步計(jì)數(shù)乘法原理（乘法原理）：完成一件 事需要 n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2 步有m2種不同的方法， 做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1 m2. mn

2、種不同的方法.7/11/20224兩個(gè)原理的區(qū)別：前者各種方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；后者每個(gè)步驟相互依存，只有每個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成。對(duì)前者的應(yīng)用，如何分類是關(guān)鍵，如排數(shù)時(shí)有0沒(méi)有0，排位時(shí)的特殊位置等；后者一般體現(xiàn)在先選后排。7/11/20225排列與排列數(shù) 定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用 表示.7/11/20226有關(guān)公式:7/11/20227組合與組合數(shù):定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，并成一組，叫做

3、從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用 表示。7/11/20228有關(guān)公式:7/11/20229 前者先選出元素，再按一定的順序排成一列，后者只要選出元素并成一組即可；兩個(gè)排列相同當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的順序也相同，如abc與acb是不同的排列；兩個(gè)組合相同，只要元素完全相同，可從集合的觀點(diǎn)來(lái)看，如a,b,ca,c,b是同一集合。排列與組合的區(qū)別:7/11/202210常用解題方法及適用題目類型直接法：特殊元素法、特殊位置法（兩者適用某一個(gè)或幾個(gè)元素在指定的位置或不在指定的位置）、捆綁法（兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素必須相鄰

4、）、插空法 （兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素必須不相鄰）、擋板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少一個(gè)） 間接法（排除法,正難則反的思想）7/11/202211高考中考查的思想方法：分類、分步、對(duì)稱、逆向思維、整體等7/11/202212二、過(guò)程過(guò)程例1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？(不相鄰問(wèn)題：插空法)7/11/202213例1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？(不相鄰問(wèn)題：插空法)解 先排學(xué)生共有A88 種排

5、法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有 A74種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為A88A74 種.結(jié)論1 插空法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題,可以用插入法.即先排好沒(méi)有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析 此題涉及到的是不相鄰問(wèn)題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問(wèn)題是排列問(wèn)題.7/11/202214例2 5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法? （相鄰問(wèn)題：捆綁法）解 因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生

6、作全排列,有A66 種排法,其中女生內(nèi)部也有A33 種排法,根據(jù)乘法原理,共有A66A33種不同的排法.結(jié)論2 捆綁法:要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.分析 此題涉及到的是排隊(duì)問(wèn)題,對(duì)于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來(lái)解決問(wèn)題.7/11/202215例3 高二年級(jí)8個(gè)班,組織一個(gè)12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì),每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?（指標(biāo)分配問(wèn)題：隔板法）解 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個(gè)相同的白球分成8份,有多少

7、種不同的分法問(wèn)題,因此須把這12個(gè)白球排成一排,在11個(gè)空檔中放上7個(gè)隔板,每個(gè)空檔最多放一個(gè),即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種.結(jié)論3 隔板法:解決指標(biāo)分配問(wèn)題分析 此題若直接去考慮的話,就會(huì)比較復(fù)雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問(wèn)題,就會(huì)顯得比較清楚,方法簡(jiǎn)單,結(jié)果容易理解.7/11/202216例4 袋中有5分不同硬幣23個(gè),1角不同硬幣10個(gè),如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?（少數(shù)多余組合問(wèn)題：剩余法）解 把所有的硬幣全部取出來(lái),將得到 0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個(gè)5分或1個(gè)5分與1個(gè)

8、1角,所以共有 種取法.結(jié)論4： 剩余法:在組合問(wèn)題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對(duì)應(yīng)的,因此,當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法.分析 此題是一個(gè)組合問(wèn)題,若是直接考慮取錢的問(wèn)題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來(lái).但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問(wèn)題的話,就會(huì)很容易解決問(wèn)題.7/11/202217（有限制條件小數(shù)目排列問(wèn)題：實(shí)驗(yàn)法（窮舉法） 題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。 例 5 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A.6 B.9 C.

9、11 D.23分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實(shí)驗(yàn)法逐步解決。第一方格內(nèi)可填2或3或4。如填2，則第二方格中內(nèi)可填1或3或4。若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填3。若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填1。同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填1，第四方格應(yīng)填3。因而，第一格填2有3種方法。不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?或4時(shí)也各有3種，所以共有9種。7/11/202218（可重復(fù)選擇問(wèn)題：住店法）解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理

10、直接求解。分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得 種。注：對(duì)此類問(wèn)題，常有疑惑，為什么不是 呢？例6 七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ）A. B. C D.用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。7/11/202219（ 淘汰賽問(wèn)題：對(duì)應(yīng)法）例7 在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問(wèn)要舉行幾場(chǎng)？ 分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，所以淘

11、汰99名選手就需要99場(chǎng)比賽。7/11/202220例8: 9人排成一行，下列情形分別有多少種排法？甲不站排頭，乙不站排尾(直接法與間接法)；甲乙必須排在一起，丙丁不能排在一起（相鄰與不相鄰問(wèn)題）；甲乙丙從左到右排列（局部定序問(wèn)題除法）；前排三人，中間三人，后排三人（分排問(wèn)題直排處理）；分成甲、乙、丙三組，甲組4人，乙組3人，丙組2人（非平均分組問(wèn)題）；分成三組，每組3人（平均分組問(wèn)題）；分成三組，一組5人，其余兩組都有2人（局部平均分組問(wèn)題）；7/11/202221練習(xí)1 某人射擊8槍，命中4槍，那么命中的4槍中恰有3槍是連中的情形有幾種？練習(xí)2 一排8個(gè)座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個(gè)空座的坐法有多少種？練習(xí)3 馬路上有編號(hào)為1,2,3,10的十只路燈,為節(jié)約電而不影響照明,可以把其中的三只路燈關(guān)掉,但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只,也不能關(guān)掉馬路兩端的燈,問(wèn)滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？練習(xí)4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊，那么不同的站法有多少種？ 練習(xí)5 某電路有5個(gè)串聯(lián)的電子元件,求發(fā)生故障的不同情形數(shù)目?（A52）（A43）（C63）（A55/2）（251=31）7/11/202222 本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見(jiàn)的基本解法加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難