2022屆海南省海南楓葉國際學校高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ）A10B9C7D12某幾何體的三視圖如圖所示，若側視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為ABCD3已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則

2、的最小值為（ ）ABC8D64數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：曲線有四條對稱軸；曲線上的點到原點的最大距離為；曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（ ）ABCD5若平面向量，滿足，則的最大值為（ ）ABCD6已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（ ）ABCD7下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的單調函數(shù)的是( )ABCD8已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（ ）A

3、充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件9復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內所對應的點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10的展開式中的系數(shù)為（ ）A5B10C20D3011設集合，則（ ）ABCD12已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；若，平面，則三棱錐的外接球體積為；若，在平面上的射影是內心，則三棱錐的體積為2；若，平面，則直線與平面

4、所成的最大角為.其中正確命題的序號是_（把你認為正確命題的序號都填上）14我國古代數(shù)學名著九章算術對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見，譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為_15如果函數(shù)（,且,）在區(qū)間上單調遞減,那么的最大值為_16在平面直角坐標系中,點在曲線：上,且在第四象限內已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所

5、成角的余弦值.18（12分）在中，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.19（12分）在中，內角的對邊分別是，已知（1）求的值；（2）若，求的面積20（12分）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量.21（12分）已知等差數(shù)列an的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列an的前n項和，.（1）求數(shù)列an的通項an；（2）設bnan3n，求數(shù)列bn的前n項和Tn.22（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極

6、坐標方程為.（1）求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；（2）若射線與曲線C交于點A（不同于極點O），與直線l交于點B，求的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)分段函數(shù)表達式，先求得的值，然后結合的奇偶性，求得的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結合思想.意在考查學生的運算能力，分析問題、解決問題的能力.2C【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C3C

7、【解析】由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則 當且僅當時，取等號.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.4C【解析】利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；將面積轉化為的關系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】：當變?yōu)闀r， 不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不

8、變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；：由可知，所以四葉草包含在圓的內部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.5C【解析】可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質，化簡為三

9、角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.6B【解析】由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，所以，的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想與計算能力，屬于中檔題.7C【解析】對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于，是偶函數(shù)，故選項錯誤；對于，定義域為，在上不是單調函數(shù)，故選項錯誤；對于，當時，；當時

10、，；又時，.綜上，對，都有，是奇函數(shù).又時，是開口向上的拋物線，對稱軸，在上單調遞增，是奇函數(shù)，在上是單調遞增函數(shù)，故選項正確；對于，在上單調遞增，在上單調遞增，但，在上不是單調函數(shù)，故選項錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質，屬于基礎題.8A【解析】根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】當m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y1=0，l2：x+y2=0滿足l1l2，即充分性成立，當m=0時，兩直線方程分別為y1=0，和2x2=0，不滿足條件當m0時，則l1l2，由得m23m+2=0得m=1或m=2，由得m2，則m=1，即“m=1”是“

11、l1l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 本題也可以利用下面的結論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.9D【解析】由復數(shù)除法運算求出，再寫出其共軛復數(shù)，得共軛復數(shù)對應點的坐標得結論【詳解】，對應點為，在第四象限故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，考查復數(shù)的幾何意義掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵10C【解析】由知，展開式中項有兩項，一項是中的項，另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知，因為展開式的通項為，所

12、以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項，解決這類問題要注意通項公式應寫準確，本題是一道基礎題.11C【解析】解對數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎題.12D【解析】可設的內切圓的圓心為，設，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值【詳解】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，設，則，且有，解得，設，設圓切于點，則，由，解得，所以為等邊三角形，所以，解得

13、.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】對，由線面平行的性質可判斷正確；對，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結合外接球半徑公式即可求解；對，結合題意作出圖形，由勾股定理和內接圓對應面積公式求出錐體的高，則可求解；對，由動點分析可知，當點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結合幾何關系可判斷錯誤；【詳解】對于，因為平面，所以，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，正確；對于，若，平面，三棱錐的外接球可以看作棱長為4的

14、正方體的外接球，體積為，正確；對于，設內心是，則平面，連接，則有，又內切圓半徑，所以，故，三棱錐的體積為，正確； 對于，若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，即直線與平面所成的最大角為，不正確，故答案為：.【點睛】本題考查立體幾何基本關系的應用，線面垂直的性質及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題14【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，填。【點睛】三視圖還原，當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。15

15、18【解析】根據(jù)函數(shù)單調性的性質,分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調區(qū)間的關系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:當時, ,在區(qū)間上單調遞減,則,即,則.當時, ,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.16【解析】先設切點,然后對求導,根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標,代入原函數(shù)求出切點的縱坐標,即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】

16、解:依題意設切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,解得,又因為點在第四象限內,則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為: 【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義,以及導數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標,本題屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點連接，得，可得，可證，可得，進而平面，即可證明結論；（2）設分別為邊的中點，連，可得，可得（或補角）是異面直線與所成的角，可得，為二面角的平面角，即，設，求解，即可得出結論.【詳解】（1）證明:取中點連接，由則，則，故，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設分別

17、為邊的中點，則，（或補角）是異面直線與所成的角.設為邊的中點，則，由知.又由（1）有平面，平面， 所以為二面角的平面角，設則在中，從而在中，又，從而在中，因，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點作交于點由（1）易知兩兩垂直，以為原點，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系.不妨設，由，易知點的坐標分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設，則設平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對應的平面角是解題的關鍵，

18、或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.18（1）證明見解析（2）45【解析】（1）設的中點為，連接，設的中點為，連接，從而即為二面角的平面角，推導出，從而平面，則，即，進而平面，推導四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.（2）以B為原點，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】（1）是的中點，.設的中點為，連接.設的中點為，連接，.易證：，即為二面角的平面角.，而為的中點.易知，為等邊三角形，.，平面.而，平面，即.由，平面.分別為的中點.四邊形為平行四邊形.，平面，

19、又平面.平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標系，設.則，顯然平面的法向量，設平面的法向量為，.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.平面與平面所成的二面角大小為45.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通?？刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進行求解.19（1）；（2）.【解析】（1）由，利用余弦定理可得,結合可得結果；（2）由正弦定理，, 利用三角形內角和定理可得，由三角形面積公式可得結果.【詳解】（1）由題意，得. , ， .（2），由正弦定理，可得. ab，, . .【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對

20、余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.20另一個特征值為，對應的一個特征向量【解析】根據(jù)特征多項式的一個零點為3，可得，再回代到方程即可解出另一個特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.【詳解】矩陣的特征多項式為：，是方程的一個根，解得，即 方程即，可得另一個特征值為：，設對應的一個特征向量為： 則由，得得，令，則，所以矩陣另一個特征值為，對應的一個特征向量【點睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎題.21（1）.（2）【解析】（1）先設等差數(shù)列an的公差為d（d0），然后