2022年一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系

1、一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：一般的一元一次方程kxb0的解就是一次函數(shù)ykxb 的圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法：（1）直線 y kx b 與 y 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 0，當(dāng) x=0 時(shí)，一次函數(shù) y kx b 的函數(shù)值y b， b 就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即 直線 y kx b 與 y 軸的交點(diǎn)為（0,b ）；（2）直線 y kx b 與 x 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 0，故令 y=0，得到方程 kx b 0，解方程得b bx，就是直線 y kx b 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即 直線 y kx b 與 x 軸的交點(diǎn)k k為 ( b ,0) . k一次函數(shù)

2、與一元一次不等式的關(guān)系：（1）一般的， 一元一次不等式 kx b 0( 或 kx b 0) 的解集，就是使一次函數(shù) y=kx+b 的函數(shù)值大于 0（或小于 0）時(shí)自變量 x 的取值范圍。（2）從圖象上看，一元一次不等式 kx b 0 的解集是直線 y=kx+b 位于 x 軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的取值范圍；一元一次不等式 kx b 0 的解集是直線 y=kx+b 位于 x 軸下方的部分所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的取值范圍；一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：（1）一次函數(shù) y=kx+b 圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程 kx y b 的一組解；（2）以二元一次方程 kx y b 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)

3、都在一次函數(shù) y kx b 的圖象上（3）對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)模型 y=kx+b k 0 ，若將其中的 x、y 看做變量，則它表示一個(gè)一次函數(shù)；若將 x、y 看做未知數(shù)，則它就是一個(gè)二元一次方程，二者本質(zhì)相同一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：兩條直線1l ：yk xb 1k 10，2l ：yk xb 2k 20的交點(diǎn)坐標(biāo)就是關(guān)于x、y的方程組yk xb 1的解yk xb 2用圖象法解方程組：畫出二元一次方程組中的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，一次方程組的解。找出他們的交點(diǎn)， 該交點(diǎn)坐標(biāo)就是二元二元一次方程組的解的情況與對(duì)應(yīng)的兩條直線的位置關(guān)系之間的聯(lián)系：對(duì)于由兩個(gè)二元一次方程組成的二元一次方程組a xb yc

4、1，有以下規(guī)律：a xb yc 2（1）當(dāng)a 1b 1c 1時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，對(duì)應(yīng)的兩直線重合；a 2b 2c 2（2）當(dāng)a 1b 1c 1時(shí)，方程組無解，對(duì)應(yīng)的兩直線平行；a 2b 2c 2（3）當(dāng)a 1b 1時(shí)，方程組有唯一解，對(duì)應(yīng)的兩直線相交a 2b 2對(duì)于直線yk xb 與yk xb ，有如下規(guī)律：（1）當(dāng)k 1k2,b 1b 時(shí)，兩直線重合；（2）當(dāng)k 1k2,b 1b 時(shí)，兩直線平行；（3）當(dāng)k 1k2,時(shí)，兩直線相交練習(xí)題1、用圖象法解某二元一次方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象（如圖所示） ，則所解的二元一次方程組是（2x）10， D xxyy20，A

5、 xyy210， B 2xy10， C y3x203x2y103x2y5021y 02. 一次函數(shù) y=kx+b（k, b 是常數(shù)，k 0）的圖象如圖所示， 則不等式 kx+b 0 的解集是（）Ax-2 Bx0 Cx-2 Dx0 y kx b3、已知直線y。kxb 經(jīng)過 A（-2，-1）和 B（-3,0）兩點(diǎn)，則不等式組1xkxb0的2解集為4、已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn) 利用圖象求：A（1，4），B（-1，0），求函數(shù)表達(dá)式，并畫出它的圖象，再（1）當(dāng) x 為何值時(shí)，y 0, y 0, y 0；（2）當(dāng) 3 x 0 時(shí)， y 的取值范圍；（3）當(dāng) 2 x 2 時(shí)， y 的取值范圍；5、已知一次函

6、數(shù) y (2 m 4) x (3 n ，求（1）m，n 滿足什么條件時(shí)，y 隨 x 的增大而增大？（2）m，n 滿足什么條件時(shí)，函數(shù)的圖象與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方？（3）m，n 滿足什么條件時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)？6、畫出函數(shù) y 2 x 1 的圖象，利用圖象求：（1）方程 2 x 1 0 的解；（2）不等式 2 x 1 0 的解集；（3）當(dāng) y 3 時(shí)， x 的取值范圍；（4）當(dāng) 3 y 3 時(shí)， x 的取值范圍。7、如圖所示，直線 y kx b經(jīng)過點(diǎn) A （-1，-2）和 B（-2,0），直線 y 2 x 過點(diǎn) A, 則不等式組 2 x kx b 0 的解集為。8、畫出函數(shù) y 3

7、x 9 的圖象，結(jié)合圖象；（1）求方程 3 x 9 0 的解；（2）求不等式 3 x 9 0 的解集；（3）當(dāng) y 3 時(shí)，求 x 的值；（4）當(dāng) y 3 時(shí)，求 x 的范圍。9、作出函數(shù) y 3 x 1 的圖象，根據(jù)圖象回答：（1）x 取什么值時(shí)，函數(shù)值 y 大于零？（2）x 取什么值時(shí)，函數(shù)值 y 小于零？（3）x 取什么值時(shí)，函數(shù)值 y 小于 -2？7、若點(diǎn) A（ 2,a ）,B（b ,3）,C（c , 4）都在直線 y 2 x 3 上，試求 a b c 的值，并判斷這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否為方程 y 2 x 3 的解。（一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系）8、畫出函數(shù) y 3 x 6 與 y x

8、4 的圖象，并利用圖象解決下列問題：（1）解方程組y3 x6；（用圖象法解方程組）x=1，x=4 ABCD 的面yx4（2）解不等式 3x6x4；（3）當(dāng) x 取何值時(shí)， 3 x60與x40同時(shí)成立？9、若直線yax5與直線y3x6平行，則 a = 。10、已知一次函數(shù)ymx4有如下性質(zhì)： y 隨 x 的增大而減小，且分別與直線在第一象限相交于點(diǎn)A,D ，直線 x=1，x=4 分別與 x 軸相交于點(diǎn)B,C，若四邊形積為 8. （一次函數(shù)與圖形面積綜合題）（1）求 m 的值及此一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線ymx4與 x 軸相交于點(diǎn)E，與 y 軸相交于點(diǎn)F，求點(diǎn) E,F 的坐標(biāo)及V EOF的面積

9、。11、已知函數(shù)y1x 和y3x4，求這兩個(gè)函數(shù)的圖象與x 軸， y 軸分別圍成的三角22形的面積。12、利用圖象法解方程組y3 x4y4；（二元一次方程組的圖象解法及應(yīng)用）6x8y313、如圖所示，直線1l ：x1與直線2l ： ymxn 相交于點(diǎn) P(1， b)（點(diǎn) P 在第一象限， m0) (1)求 b 的值；(2)不解關(guān)于 x，y 的方程組yx1n，請(qǐng)直接寫出它的解；ymx(3)直線3l ： ynxm是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由。14、點(diǎn) A （-3,0）B（0,6） C（0,1）D（2,0）的坐標(biāo)如圖所示（略） ，求直線 AB 與直線 CD 的交點(diǎn)坐標(biāo)。15、某種鉑金飾品在甲、乙兩個(gè)商

10、品銷售，甲電標(biāo)價(jià)477 元/克，按標(biāo)價(jià)出售，不優(yōu)惠；乙店標(biāo)價(jià) 530 元/克，但若買的鉑金飾品質(zhì)量超過 3 克，則超出部分可打八折出售 . （ 圖象法解方程組的實(shí)際應(yīng)用）（1）分別寫出到甲、乙商店購(gòu)買該種鉑金飾品所需費(fèi)用 y（元）和質(zhì)量 x（克）之間的表達(dá)式；（2）李阿姨要買一條質(zhì)量不少于4 克且不超過10 克的此種鉑金飾品，到哪個(gè)商店購(gòu)買合算？16、在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y 1x4和y22x5，根據(jù)圖象：（1）求兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）確定 x 分別取什么值時(shí)，y 1y ，y 1y ，y 1y ；17、在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù) y x 3 與 y 3 x 5 的圖象交于點(diǎn)

11、 M ，則點(diǎn)M 的坐標(biāo)為。23 x 17 y 6318、用圖象法解方程組：；（注意：畫圖象時(shí)誤差太大，需先化簡(jiǎn)）17 x 23 y 5719、如圖所示，已知函數(shù) y ax b 和 y kx 的圖象交于點(diǎn) P（-4，-2），則根據(jù)圖象可得y ax b關(guān)于 x， y 的二元一次方程組 的解是。y kx20、一次函數(shù) y kx b （k,b 為常數(shù)，且 k 0）的圖象過點(diǎn)（2,3），則關(guān)于 x、y 的二元一次方程 kx y b 3 0 的一組解為。一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系一次函數(shù) ykxb的圖象如圖所示，則方程kxb0的解為（）A、x=-2 B、y=-2 C、x=-1 D、y=-1 直線 y 2

12、 x b 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 （2,0），則關(guān)于 x 的方程的 2 x b 0 的解是。一元一次方程 ax b 0 的解是 x=3，則函數(shù) y ax b 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。已知點(diǎn) P(2，1)是直線 y kx 4 上的一點(diǎn)，則方程 kx 5 0 的解為。已知一次函數(shù)yaxb （a， b 是常數(shù)）， x 與 y 的部分對(duì)應(yīng)值如下表：3 x -2 -1 0 1 2 y b6 4 2 0 -2 -4 那么方程ax0的解是。若一次函數(shù)yaxb 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,3），則方程axb3的解為。已知一次函數(shù)yx2與一次函數(shù)ymxn 的圖象交于點(diǎn)P a ( , 2)，則關(guān)于x 的方程x2mx。n

13、 的解是提升練習(xí) 一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系利用函數(shù)的圖象解方程2x43x6利用方程確定函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)如圖，一次函數(shù)y1(3 2xb 的圖象經(jīng)過直線y1 ( 2x1)與 x 軸的交點(diǎn)A,試確定 b 的值，并計(jì)算兩條直線與y 軸的交點(diǎn)的B，C 和點(diǎn) A 構(gòu)成的三角形面積（圖見31）利用函數(shù)圖象解一元一次不等式畫出一次函數(shù)y2x5的圖象，觀察圖象回答下列問題：y 1y ？（1）x 取何值時(shí)， 2x50；（2）x 取何值時(shí)， 2x50；已知y 1x3，y23x4，當(dāng) x 取何值時(shí)，y 1y ？當(dāng) x 取何值時(shí)，利用一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系解幾何問題直線yx2與 x 軸， y 軸

14、分別交于點(diǎn)A 和點(diǎn) B，另一直線ykxb 經(jīng)過點(diǎn) C（1,0），且把三角形AOB 分成兩部分，若三角形AOB 被分成的兩部分面積相等，求k 和 b 的值?；A(chǔ)題 一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系直線 ykxbk0的表達(dá)式就是一個(gè)關(guān)于x， y 的方程；以二元一次方程ykxb 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象就是一次函數(shù)的圖象。以方程 2xy5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)的圖象相同。一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系通過二元一次方程組a xb yc 1的解與系數(shù)之間的關(guān)系，不解方程組也可以判斷出方a x 2b y 2c 2程組解的情況：（1）當(dāng)a 1a 2b 1時(shí)，二元一次方程組中所對(duì)應(yīng)的兩條直線b 2

15、方程組b 1；（2）當(dāng)a 1a 2c 1c 2時(shí)，二元一次方程組中所對(duì)應(yīng)的兩條直線b 2方程組b 1；（3）當(dāng)a 1a 2c 1c 2時(shí)，二元一次方程組中所對(duì)應(yīng)的兩條直線b 2方程組；:yk xb k 10)，l2:yk xb k20)的交點(diǎn)的3當(dāng)k 1k 時(shí)，兩條直線l1就是方程組y yk xb 1的；當(dāng)k 1k2,b 1b 時(shí)，兩條直線平行，則方k xb 2程組yk x 1b 1。yk xb 2x1的圖象交于點(diǎn)p(1,-1),根據(jù)圖形可得方程組xxyy2、已知函數(shù)yx2和y21的解是、兩條直線 l 1 : y k x b k 1 0) 和 l 2 : y k x b 2 ( k 2 0)

16、相交于點(diǎn) A（ -2,3），則方程組y k x b 1的解是（）y k x b 2x 2 x 2 x 3 x 3A、B、C、D、y 3 y 3 y 2 y 2x 2 y 2、不解方程組也不畫圖，可知方程組 的解的情況（）3 x 6 y 6A、有唯一一組解 B、有無窮多組解 C、無解 D、以上都不對(duì)、用圖象法解某二元一次函數(shù)方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象（如圖所示） （見 32 面），則所解的二元一次方程組是（）A、x y 2 0 B、2 x y 1 0C、2 x y 1 0D、x y 2 03 x 2 y 1 0 3 x 2 y 1 0 3 x 2 y 5 0 2 x

17、 y 1 0 x 2 y 4用圖象法解方程組x y 1提升題、把下列二元一次方程寫成一次函數(shù)的形式：（1） 4xy7（ 2） 2(xy)3y13（利用方程組解與系數(shù)間的、既不解方程組也不畫圖，你能判斷下列方程組的解的情況嗎？比例關(guān)系，判別方程組解的情況）（1）xxyy5（2）y4x12（ 3）x7x10yy3y30所對(duì)應(yīng)的一次7 3x10288x2y23、在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出二元一次方程2y20和x函數(shù)的圖象，利用圖象求：（利用二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系確定方程（組）的解）（1）方程 2 x 2 x 3 的解；2 x y 2 0（2）方程組 的解；x y 3 0、如圖，直線 AB

18、 ：y 1x 1 分別與 x 軸、 y 軸交于點(diǎn) A 、B，直線 CD： y x b 分別與2x 軸正半軸、 y 軸負(fù)半軸交于點(diǎn) C、D，直線 AB 與直線 CD 相交于點(diǎn) P,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 4。（圖見 33）（利用二元一次方程組解與一次函數(shù)有關(guān)的面積問題）（1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（2）求 V ADP 的面積；、在平面直角坐標(biāo)系中，直線 1l經(jīng)過點(diǎn)（ 2,3）和（ -1，-3），直線 2l經(jīng)過原點(diǎn)，且與直線 1l交于點(diǎn)（ -2，a）（利用交點(diǎn)的意義求直線的表達(dá)式及兩直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積）（1）試求 a 的值；（2）試問（ -2，a）可看成是怎樣的二元一次方程組的解？（3）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 P,直線 1l 與 y 軸交于點(diǎn)