第20講雙變量不等式

1、第20講導(dǎo)數(shù)中的雙變量問(wèn)題一、問(wèn)題綜述函數(shù)中雙變量的問(wèn)題主要有以下的類型：1)任意(或存在)不占，/(%)Ng(W)(或 f (x】)Mg(/)，或 f(%) = g(/)；2)任意(或存在)西,2，|/(芭)一/(冬)|工。(或|/(X)一( (x2) /(x)n.n g(x)nm ；Vn ea,可辦句,/a)Zg(X2)of (x)* * ；町 e a,b,3x2 e a,/? J,(x,) (x2) f(x) g (A)min ；叫 4句,在 小回 J(xjNg2)= /(x)g；【例1】設(shè)f(x) = +%lnx,g(x)= x3- x2- 3.如果對(duì)于任意的s,zi 2,都有 x2f

2、G)3 g(z)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【解析】對(duì)于任意的Sji都有/(s)3 g(i)成立等價(jià)于因?yàn)?(力=3不卜-。所以g(x)在(箱上單調(diào)遞減，在停2)上單調(diào)遞增，所以 gWmx =max, gq),g(2)=l .所以/1)= 2+xlnx? 1恒成立，即a之x-f Inx恒成立, x記= x-x，Inx ,那么 hf(x) = 1 -2xlnx-xK /f(l) = 0 ,所以/?(x)在(；,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，所以力(力a=晨所以aNl.(2)假設(shè)任意X,占e,都有占)西居(為一王)，求實(shí)數(shù)?的取值范圍.e TOC o 1-5 h z I/1 【解析】(I) f

3、x) = -2inx-,由)題意知/3 =0,解得 ? = 1.2,、1 c .(2x-l)(x+1)故/(x) = Inx-x -尤，/(%) =2x -1 =.xx當(dāng)o；時(shí)，r(x)用羽(工2一11)， e即 /但)+ X :“2)+ x2. 可構(gòu)造函數(shù)g(x) =4-x =也匠-mx- + x, TOC o 1-5 h z 為x2XX那么有任意用,M,與工心，都有g(shù)(Xi)g(x).e當(dāng) “2時(shí)，g(x)在,，句上單調(diào)遞增，那么g(x)= 少-7 + 120在L e上恒成立， exe即加工工3+ 1在p, e上恒成立. x e,、 1 - In x ，/、 - 3 4- 2 In x 八

4、令力。)=-z+ 1,那么/(x) =0,XX所以力。)單調(diào)遞減，/?(x)min = /?(e) = 1,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為mW 1.同理，當(dāng)王工2時(shí)，g(x)在己，4上單調(diào)遞減，可知實(shí)數(shù) ？的取值范圍為加之2/ + 1. e綜上，實(shí)數(shù)7的取值范圍為(yo,1U2困+L+OO).三、鞏固練習(xí).假設(shè)函數(shù)=滿足:對(duì)于任意的不馬。1都有|/(%)-/(9)氏1恒成立,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是.函數(shù)/(x) = e2g(x)= nx + g,對(duì)任意qeR,存在 (0,田)，使得/()= gS),那么人一。的最小值為.函數(shù)/(x) = lnxx,g(x) = ；ZuJZ?x/wO,假設(shè)對(duì)任意的不 (

5、1,2),總存在王(L2)，使得/(%) = g(x2),那么實(shí)數(shù)力的取值范圍是.函數(shù) f(x) = 41n x-J”.(I)假設(shè)函數(shù)/(x)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)4的取(直范圍；(2)證明：當(dāng)01 一強(qiáng).函數(shù)/(力=處的圖象為曲線C,函數(shù)g(x) = ：at +人的圖象為直線/.(1)當(dāng) 4 = 2,。= 一3時(shí)，求F(x) = f(x) g(x)的最大值；(2)設(shè)直線/與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為不乙，且王工W，求證：(%+七)屋為+王)2.2x.常數(shù)a0,函數(shù)/(x) = ln(l + i/A).假設(shè)/(戈)存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭,工2,且/(玉)+ /(工,)0,x + 2求。的取

6、值范圍. (2018 寧波一模)函數(shù)x) = (x7)，.（I）假設(shè)方程/（x） =。只有一解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)8（力=1（111.1-.1）,假設(shè)對(duì)任意正實(shí)數(shù)內(nèi),%2，/（百）*（工2）恒成立，求實(shí)數(shù)旭的取值范圍. （2018浙江T22）函數(shù)/（X）=-hix ,假設(shè)在式=入,占（為工七）處導(dǎo)數(shù)相等， 證明：/（Ai） + /（x2）8-81n2.函數(shù).f（x） = lnx-ar +寧一l（a0）.（1）設(shè)0al,試討論單調(diào)性；（2）設(shè)g（x） = Y -2/八+ 4,當(dāng)=:時(shí)，假設(shè)V% （0,2）,存在工2 1,2,使/（為）之&（X2）,求實(shí)數(shù)。的取值 范圍.（全國(guó)卷I理

7、21）函數(shù)/（1） = J-x + alnx.x（1）討論/（幻的單調(diào)性；（2）假設(shè)/（X）存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭,與，證明：以一（）|/（百）-/（）|恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.12.函數(shù) x) = /hi(ar)(q0)（1）假設(shè)/WK/對(duì)任意的10恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;當(dāng)4 = 1時(shí)，設(shè)函數(shù)儀”二與1,假設(shè)內(nèi),電(：1)，為+工21，求證中2(%+W)413. (1905寧波十校)函數(shù)/(x) =1(%+ “)2+1nx, a,be R.(1)假設(shè)直線y = or是曲線y = /(x)的切線，求不的最大值；(2)設(shè)%=1,假設(shè)函數(shù)“X)有兩個(gè)極值點(diǎn).土與勺，且N0)的兩個(gè)極值點(diǎn)為巧,巧

8、(X 的最小值.四、鞏固練習(xí)參考答案1.假設(shè)函數(shù)/(X)= $3 一。2不滿足:對(duì)于任意的小/ 01都有|/(% ) - /(%)| 1 恒成立,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是.【答案】一 33【解析】fx) = x2-a2.當(dāng)|421時(shí),在1。1時(shí)，/。)0,即函數(shù)在工0,1上是單調(diào)減函數(shù),所以/(口皿=/(0) = 0，/(幻而n = /二g 一 /，所以。W 1,得W a W - 8,333又同之1,所以一|石或當(dāng)時(shí) 1時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)知，函數(shù)在0,同上是單調(diào)減函數(shù)，在同,1上是單調(diào)增函數(shù). 所以“min = /=一+3 。,/（0） =。，/=；/假設(shè)/Wnm =/（0）= 符合；假設(shè)/（旦皿=/

9、=g -也符合，所以同 1時(shí)對(duì)于任意的大,馬。1 都有|/（百）一/（七）區(qū)1恒成立.綜上所述:實(shí)數(shù)。的取值范圍是6. 332.函數(shù)/（幻=e2g（x） = lnx + ；,對(duì)任意awR,存在Z?（0,+8），使得 f（a） = g（b）,那么人一。的最小值為.【答案】1+2. 2【解析】令/3）= gS）= f，那么/、二川11工+1二，（顯然，:0）.-t、i Inf . t 1Int . . x T Int TOC o 1-5 h z 所以。=,b = e，所以/?一。= e 2，令/?”）= 2,2222t-11/-I1那么力=e 2 一一,/?（f）= e 2+70,故”在（0,+8

10、）上單調(diào)遞增，又因?yàn)?2t2t（；） = 0,所以當(dāng)時(shí)，力）0 ；當(dāng) 0，；時(shí)，hf（t） 0.所以函數(shù)萬(wàn)。）在（0）單調(diào)遞減,在d,+8）單調(diào)遞增. 22所以力min = /?（2）= 1+Jr，即一 的最小值為1 + 3.函數(shù)/。）=皿工一乂8（）=；尿3_法,0/0,假設(shè)對(duì)任意的不（1,2）,總存在馬 (1,2)，使得/(x.) = g(/),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是33【答案】(一ln2-3或23 - ln2.I r【解析】由/(x) = In XX得fx) = - 0對(duì)任意x (1,2)都成立,所以/(X)在(1,2)上單調(diào)遞減,所 X以 /(x) e (In 2 2,-1).因?yàn)椋?幻

11、=5/一/7 = /7(工一1)(工+1), TOC o 1-5 h z 22當(dāng)b 0時(shí)，g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,所以g(x) g (-b-b)22根據(jù)題意，得(ln2-2,-1) (一人一一)，即3322根據(jù)題意，得(ln2-2,-1) (一人一一)，即33-b-32 2當(dāng)人0時(shí)，g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以g(x) g (-h,-b)J J2 2根據(jù)題意,(In 2-2,-1) c (-b-b),即3 3 TOC o 1-5 h z -b -333綜上，實(shí)數(shù)力的取值范圍是人巳皿2 3或3 ln2224.函數(shù)/(x) = ；Hnx - eT.(1)假設(shè)函數(shù)/(x)在定義域上是

12、單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍;(2)證明：當(dāng)0cMe 乂時(shí)，都有-必一一為i 一上【解析】由題有定義域?yàn)閤ix。,且/(=+、 X2由題意知fx) = - + X K 0恒成立，即2 0), g(x) = ex(x-1),易得當(dāng) 0cxvl 時(shí)，g(x)l 時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0,1)遞減，在(1,+oo)遞增，那么g(x)2g(l) = -， e故實(shí)數(shù)2的取值范圍為4-. e TOC o 1-5 h z (2)由(1)有2 = -，時(shí)，/(工)二一!111X一單調(diào)遞減，那么Ovv/，有/(凡)/(42)，即有 eeIn * 一 ex 一一 In x2 - eX2 ,即 In

13、+ elXl In %)- In x2 = In , x21X 構(gòu)造函數(shù)(x) = In 尢- 1 + (0 v x v 1),那么造()=/?(l) = O , x那么有In x 1，令x = 土，即有In 上 1 一2，xx2x2 x1所以有e123一司1-.5.的圖象為曲線C,函數(shù)g(x) = ；at +人的圖象為直線/(1)當(dāng)。=22=一3時(shí)，求尸)=-8(”的最大值;(2)設(shè)直線/與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為斗,4,且芭工與,求證：(3+/)8(、+毛)2.【解析】(1)因?yàn)閍 = 2/ = 3,所以，F(xiàn)(x) = -x + 3.1U(x)=I：；-廠,且 U(1) = o,因?yàn)?，

14、= l_ln_/在(0,內(nèi))單調(diào)遞減所以(力在(0,1)單調(diào)遞增，在(L”)單調(diào)遞減，所以產(chǎn)(x)z =-1) = 2.（2）不妨設(shè)X 工2，要證（X+$）g（M+&）2 ,只需證（%+&）孑。（+電） + 2,只需證;a（%+占）+ 匕=一，只需證;k；） + %（電 N） 2（占一.）, ZA-j + 入？2Xy + X,即證；ax： + bx2 一 (g ax： + bxtInx 1,因?yàn)? -i +b,X 2所以 In x2 - In 所以 In x2 - In ）,即 inX2（、rJN X| + x2,即（%+w）1n上2（X2一芮）XX/令 H(X)=(X +x)ln2(x-xJ

15、,x(X,+co)A只需證(x) = (x + x)ln二一2(x %)O=(xJ, H/(x) = ln + -1令 G(x) = ln 土 + 直 l,G(x) = O,G(x)在(公+單調(diào)遞增 X XA所以 G(x) G(x) = 0,Hx)0,H(x)在(石,+8)單調(diào)遞增H(x)，(xJ = O ,即 /(A)=(X +x)ln -2(x-Xj)0 , xi所以（西+切且（再+S）2.6.己知常數(shù)a0,函數(shù)/(x) = ln(l + av)2x.假設(shè)/（X）存在兩個(gè)極值點(diǎn)M,工2，且/（K）+ /（2）0,4加+4(-1)1 + ax * + 2)2 (l + or)(x + 2)2

16、求。的取值范圍.【解析】由題有定義域九|工-工, fx）= a顯然當(dāng)4之1時(shí)，/*）20恒成立，/（工）無(wú)極值點(diǎn)，因此必有01.此時(shí)兩個(gè)極值點(diǎn)為玉=-24,/=2、產(chǎn)，且X=。，2=3其中x,=-2J解得4 0g. a a2/（小/（小叭1 +叼）-含+ W1 + ）-含.ri z ，14(xx2 +x +x2). /c 、2 4(67-1)=皿 + 心+)+ 門(mén) / - g； 2a ；)+ 4 =儂2 一 1)-R令/ =%一1,其中0一，一那么一lf0或0/1 2 2（/） = ln/2+|-2,那么/二與30,所以 g（/）在（1,0）, （0,1）上單調(diào)遞減.當(dāng)-IvzvO時(shí)，g（/）

17、g（-1） = -40,不符合題意；當(dāng)時(shí)，g）g=0,符合題意.綜上：一。 1.2（2018寧波一模）函數(shù).（1）假設(shè)方程/（力二。只有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)g（x） = m（lnx-x）,假設(shè)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，w，f（%）*（）恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【解析】（1）由己知得（耳=-+-1）-=.田，當(dāng)x 0時(shí),廣（“0,函數(shù)/在（0,+oo）上單調(diào)遞增.故/（）訕=/（）= 一匕又當(dāng)x。時(shí),/（x） = （xl” 2叱=號(hào) 胃=4對(duì)足夠小的x）, Af X當(dāng)x 1時(shí),x-l 0,故所求。的取值范圍是-1 U（0，+8）.（2）由（1）知/（8）之-1.所以對(duì)任意正實(shí)數(shù)1,&

18、，/（芭）2屋七）恒成立，等價(jià)于 8伍)4-1(90)(*)(r) = w/ X當(dāng)?WO時(shí),g(l) = -?2()與(*)式矛盾，故不符合題意.當(dāng)加0時(shí)，假設(shè)0冗0,假設(shè)xl,那么g(x)8-81n2.【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/(力=在-/ 、 ， 、 1 1,由廣= /&)得訪-，一樂(lè)工，1111 1 LI因?yàn)橛窆ふ迹? 7 = 5.由基本不等式得萬(wàn)小%吃+ ”2 2 2#毛馬.因?yàn)閮?nèi)工9，所以%256.由題意得/(X)+ /(W)=Tn* +yx-nx2 =-/-ln(x1x2).設(shè)g(x) = J4-hu，那么 /(x) = ；(a-4), 乙r人所以g(x)在256,+8)上單調(diào)遞增

19、，故g(XR)g(256) = 8-81n2,即/(%) + /()8-81112.函數(shù)f(x) = lnx-at +上/一1(。0).X(I)設(shè)0val,試討論/(X)單調(diào)性；(2)設(shè)g(x) = W -2區(qū)+ 4,當(dāng)=:時(shí)，假設(shè)VX e(0,2),存在 1,2,使/(內(nèi))之8(七),求實(shí)數(shù)匕的取值 范圍.【解析】 函數(shù)/*)的定義域?yàn)?0,+功,因?yàn)?(1) = 11一方+A所以/。)=_=_ + ：+1,令/。) = 0,可得=1,電=0_1, xxxa2。一 1大一工2=當(dāng)0。0可得1cx2_一1,故此時(shí)函數(shù)/*)在(1,1 )上是增函數(shù).同樣可得 2aaf(x)在(0,1)和(1,+

20、8)上是減函數(shù).【例 2函數(shù)/(幻二-ox-2- (2a + l)x+ 21nx(a? R),g(x) x2- 21假設(shè)對(duì)任意 x,f (0,2,總存在(0,2,使得/(內(nèi)) g(s),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【解析】對(duì)任意X(0,2,總存在(0,2,使得/(為) g(/)，只需/皿%四-對(duì)于 g0)=f - 2X,X? (0,2,可得-lKg“)K(),那么 g(x)max=。對(duì)于/(x)= ax1 - (2a + )x+ 21nx(a? R),= 2x(1)當(dāng)avg時(shí)，/(x0,那么/(x)在N (0,2上是單調(diào)增函數(shù)，所以力皿=2)ln2-l,故ln2-lg 時(shí)，由/(x)0,得 xw(o,

21、；,由 r(x)0 ,所以/(同3 =/2)0,令/?(a) = 2lna + ； + 2,那么力() =與?0,那么/?()單調(diào)遞增, 因此/?() 0恒成立，綜上：的取值范圍是aln2 1 .例3設(shè)函數(shù)/)=x- - anx.當(dāng)。 2時(shí),設(shè)函數(shù)g(x) = x- In x-假設(shè)在Re上存在/x, xe使/(XT抵)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】在l,e上存在百,存fU)3 g成立等價(jià)于/(力一(4,，因?yàn)槎?司=1一0,所以g(x)在1上單調(diào)遞增，所以屋力而小且目一，因?yàn)?(力工廠： + 10,所以/(x)在l,e上單調(diào)遞增，所以= 6 所以-L 解得a We-1. e e(二)雙變量單

22、函數(shù)的絕對(duì)值不等式型對(duì)任意的X，X2eA,|/a) /(X2)|sao/(x)zf(x)min a；存在 ,七 w A,|/(X) /(9)| 之 a =-/(x)m.n a ；X，W 6 A,|/()-/()| -/(x)min a ；對(duì)任意 e A ,存在玉 w A,/($)-)歸a = /()nm /()min a .【例4】設(shè)函數(shù)/(x) = e“+/_心.假設(shè)對(duì)于任意XLfl，都有|/(內(nèi))一/(工2)|4e-l,當(dāng)。=5時(shí),/*） o恒成立，故此時(shí)函數(shù)/（X）在（o,+8）上是減函數(shù).當(dāng)! 1時(shí)，由/.。）0可得,11,故此時(shí)函數(shù)/（#在（，1,1）上是增函數(shù),在（0一1）和 2a

23、aa（L+00）上是減函數(shù).（2）當(dāng)。二工時(shí)，由（1）可知/*）在（0,1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對(duì)任意的王（0,2）,有 4/（3）八1）= 一，由條件存在毛1,2,使/）*（七）,所以煎士）-；,即存在當(dāng)2,使得g（x） = x2-2bx + 4-, TOC o 1-5 h z 99即2mNd+一在“口,2時(shí)有解，即2bix+在xwl,2時(shí)有解,22x917111717由于，= x +二/以1,2為減函數(shù)，故其值域?yàn)?一,從而幼之一,即有匕之一，2x424817所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是胃,轉(zhuǎn)）.O10.（全國(guó)卷I理21）函數(shù)f（x）=-x + anx.x（1）討論了。）的單

24、調(diào)性；（2）假設(shè)/（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)與天，證明：4 2.不一天【解析】 /（X）的定義域?yàn)椋?,+00）, ru）=!7-i+-=-x T+1. TOC o 1-5 h z X- Xx（i）假設(shè)。2,那么r（x）K0,當(dāng)且僅當(dāng)。=2, x = l時(shí);（幻=0,所以/*）在（0,y）單調(diào)遞減.CI J 44 + J 4 2 4（ii） 假設(shè)。2, 令/（x） = 0得，x =或1=-當(dāng)時(shí)，fM o;當(dāng)X e （竺標(biāo)&,竺咚三）時(shí),f（x） 0.所以/（x）在（0,竺4三）,（竺咚三,+8） 單調(diào)遞減，在（2 4/+ +24）單調(diào)遞增.22(2)由(1)知，/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由

25、于/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)滿足f 一仆+1=0,所以工m=1，不妨設(shè)% 電，那么由于/(X- = _ _J_ _ + q In%-In % =_2 + a 1n%-In% =_2 + a -2” ,%-W 玉 再一看內(nèi)一看L.x %所以(不)/()2等價(jià)于-!-期+2皿/ 。.設(shè)函數(shù)g(x) = 1-x + 21nx,由(1)知，g(x)在(0,+功單調(diào)遞減，又g=0,從而當(dāng)xw(l,+) x時(shí)，g(x)0.所以-/+2111 占 0,即八%)一工)va-2.x2“為一 x2.設(shè)函數(shù)/(x) = (2_)lnx+2- +l(a|/(3)-/(占)|恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范 圍.【解析】(1)/

26、3 =(。1+”21).X當(dāng)av-2時(shí)，增區(qū)間為卜，減區(qū)間為(。，一)，(3*0 當(dāng) 二一2時(shí)，-=i,減區(qū)間為(。,+oo).a 21(1Af1( )當(dāng)一24|/(司)-/(/)|恒成立， TOC o 1-5 h z ,、22所以(/ +ln3)a -21rl3 4a + (a -2)ln3,即 ina 4a ,332又a0,所以?丁一4.3a1 -1 71Q因?yàn)椤?3,-2),所以一?9一40)(I)假設(shè)廣(力(/對(duì)任意的x0恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)。=1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=/(U,假設(shè)x，& e化1，X+ ，求證中, 0上恒成立 ,、 ，、)i5w(x) = 21nav +1

27、-x,/(x) = 1=0,得x = 2, x2所以(力在(2,+co)單調(diào)遞減，“力在(0,2)單調(diào)遞增,所以x = 2時(shí)，(力有最大值(2)W0,21n2a + IK2 ,所以0工日.所以g(x)在(2)當(dāng)4 = 1 時(shí)，g(x) = U = xlnx,/(x) = l + lnx = O,x = L xe-，+8上是增函數(shù)，在0,一上是減函數(shù). e )y ej因?yàn)橐?x, g(xJ = xJnXje即 InXi+ln/v * * *2 + * + & ln(M+w)= 2 + + - ln(x1 +-r2)In 玉 +n (再 +x2), 同理 In 占 * + In (x) + 再).

28、X占9所以 hiXj + Inx2 V + A A： In (xj + x2) = 2 + - + - Infx, +x2) I /%) I % )又因?yàn)? +五+三2 4當(dāng)且僅當(dāng)J =”時(shí)取等號(hào). x? X又 X,X e _/小 +x2 ln(N + x2) 0,/ 所以 2 + + ln(x+/)(41n(z+)所以 +lnx2 4111(5+七) x2 X1 7所以：XtX2 (X)+ X, )4 . (1905寧波十校)函數(shù) /(x) = ；(x + )+Z?lnx , a,be R .(1)假設(shè)直線y = ov是曲線y =/(x)的切線，求的最大值：(2)設(shè)匕=1,假設(shè)函數(shù)“力有兩個(gè)

29、極值點(diǎn)不與超，且N，求生口的取值范圍. X【解析】 因?yàn)?(司/+3+6,又因?yàn)閥 = m.是曲線的切線X即“；+%+”=4,故 =一.%2, 因?yàn)?%=5(Xo+a)2+lnXo=，即 a2 = ($2 + 2/?ln%) = %2(21n% 1)2 0,故與之&,所以=-21nxo) = g(/),即短(.) = 2/3 (1 - 4In x) g0,所以8(/)在(L+8)單調(diào)遞增,綜上，絲的取值范圍是(L+8 .2X2、.函數(shù)/(x) = ln(av+l) + -x2 -av(6/e /?),(x) = lnx-cx2 -bx .(1)假設(shè)y = /(x)在2,+oo)上為增函數(shù)，求實(shí)

30、數(shù)”的取值范圍.（2）當(dāng)4 24時(shí),設(shè)晨4）= 111/（編;+ I） +-3av-/（x）（x0）的兩個(gè)極值點(diǎn)為5,占（耳0, fx） =+ lx2 -2x20對(duì)xw2,內(nèi)）恒成立，整理得：2-j4-2x-20,BP2ar2+（2-2）x-2-20,ffi2,+oo）上恒成立，顯然a = 0時(shí)成立.a二0時(shí),設(shè)/（a） = lax1 +（2-2q）x-/ -2,顯然a0且對(duì)稱軸為x = 一一 3&a 由題意由題意A = a2-40,. a2 =( + ”)22,解得0% J .xx2 2x, 2X1 +x2= a”xtx2 = 1 （px） = -2cx-b ,姒玉）=In% -cx -bx

31、,（p（x:,） = In x1 - ex； -bx2,兩式相減得In a-& ）（玉+ w） - （內(nèi)一 /） = ，“2所以（西一池（土產(chǎn)）=邛系一吊）/工|記為0（/）,0=2c 7）-=二土上()J(x) 0 ; 假設(shè) m0,7(切0；當(dāng) xe(0,+oo)時(shí),e” -1 0 ； 所以/(力在(-oo,0)單調(diào)遞減，在(0,內(nèi))單調(diào)遞增.所以”)在-1,0單調(diào)遞減,在0,1單調(diào)遞增，所以f(x)二=/(。)對(duì)于任意22-1川，都有等價(jià)于【需二j？?即 5-，設(shè)g(f) = /T-e + l,那么g1/) = eJ|,所以g在(70,0)單調(diào)遞減，在(0,+CO)單調(diào)遞增又 g=。*(-

32、1) = 丁+2-0,故當(dāng) 1,1時(shí),j?(r)1 時(shí)，g(m)0 ,即d-?e-l； 當(dāng) m0 ,即 em +nie- 綜上：加的取值范圍是， 卜15.(三)雙變量雙函數(shù)的絕對(duì)值不等式型% A 氏- g (W )歸 a O g 3a - / (x)min 且”La 一 g (XLn 4。 Vx, g A,Vx2 g B,|/(x,)-(x2)| (x)min - f (x)nwx Na或/(x)=一g(x) 1mx Na 馬 w A訓(xùn) W 氏 V Q) - g 歸。o g (x)而n - / (x)M 4 a 且 / GL - g (力皿(。 叫e A切可/&) - g/ a o g (入心

33、- /僦或/(x)a - g GL a % A切 氏)-g()歸a o g(% af (x)n.n且/1mx 0,g(x) = /+7尸，假設(shè)存在冷蒼，4，使得|/(凡)-占)歸1成立，求。的取值范 圍.【解析】(I)/(x) = (f+ar+4e3T(xwR)/. /(無(wú))=一(2 +6戊 + 8)/- +(2工+。)* =_ x2 +(。-2)x+Z? a/ 由題意得：/(3) = 0,即/ = 2。-3fx) = x2+ax-2a-3)e3x且/(x) = _(x-3)(x+q+1)/力令 （X）= 0 得 = 3,占=-a-r = 3是函數(shù)/( =任+依尺)的一個(gè)極值點(diǎn)xi # x2,

34、即 a h T故。與人的關(guān)系式為b = -2a-3(a工-4).當(dāng)av-4時(shí)、=一一13,由/(x)0得單增區(qū)間為：(3,一。-1)；由廣(x)Y時(shí)，x2=-a-3,由尸(力0得單增區(qū)間為：(一1,3)；由 /r(A)0時(shí)，x2=-a-0 ,又要存在, w0,4,使得|/&)7(w)|l成立,6Z 03必需且只需，25 / 人解得：0。不t7 + -( + 6) 0,假設(shè)存在 6X,X2i 0/使得/(%)=8()成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】存在為,%i 0,11使得了。)二點(diǎn)當(dāng))成立，即值域交集非空3時(shí)，小)=41 + 6 r2個(gè)當(dāng)0,所以/(X)在(x + 1)-11遞增，所以/(的值

35、域?yàn)閘，12 J_而當(dāng)xw O1時(shí)，/(x)的值域?yàn)?,1 ,26綜上所述，的值域?yàn)?5.因?yàn)椤?,0工2工工1,所以g(x)在。，1上單調(diào)遞增，所以g)的值域?yàn)?-2,2- ,6623由f(x)，g(x)值域交集非空,故()2 21或0K2-一 a解得23策略二、雙變單消元減元策略【例7】(2009全國(guó)II理21)設(shè)函數(shù)= +aln(l + x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x，w ,且大七.(1)求的取值范圍，并討論了(的單調(diào)性;l-21n2【解析】尸(力42入+2 + (人-),令g(x) = 2f+2x + ，其對(duì)稱軸為工二一1 +x2由題意知知聲是方程屋力=0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根,其充要條件

36、為 = 4 - 8。 0/、n，得002當(dāng)xe(-l,xj時(shí),尸(力0,(力在(-R)內(nèi)為增函數(shù);當(dāng) x e (x,x2)時(shí)，f(x) 0,.f(x)在(巧,+)內(nèi)為增函數(shù).(2)由(1)知g(0) = a(V.-； ,那么 /(x) = -2(2x+l)ln(l+ x),k 2)當(dāng)時(shí)，仆）0,.g）在卜；,0：?jiǎn)握{(diào)遞增；當(dāng) x e （0,y）時(shí)，l（x） （V.在（0,+x）單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，咐）-=匕詈，故/上詈.【例8】（2018.撫順一模）函數(shù)/（x） = In x +獷一5+ 1口.（1）假設(shè)函數(shù)/（x）在區(qū)間（2,包）上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；（2）設(shè)不4（。 冗2）是函數(shù)g

37、（X）= /（X）+ X的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：g（X|） - g（X2） 一 1n。. TOC o 1-5 h z 【解析】（1）由題意知廣（用=,+”-5+之。在（2,?。┥虾愠闪?，別離參數(shù)有而）,=_1 XXX在（2,+CO）上單調(diào)遞減，所以。之!. 2（2） g（x） =/（x） + x = In x +-ax,那么gx）= L + ax-a= =0,即辦2 - ax + 1 = 0有兩個(gè)不等正實(shí)根x1, x2,XX那么,解得a4. x+x2 = 1, XX,=-A = - 4 0a8（2）一武式2）= （11M +如；-g）一（111 +衿-嗎=hg - In% -半凡 一%） 乙乙乙=In X1 - In - (1 - )1 = 2In X - 6/X + + In tz, 其中 0 內(nèi) 工 * 222,。 八 1“、 22-ax令 h(x) = 2 In x ar + + hi a, 0 x , h (x)=a =22xx22122 1當(dāng) 0cxe一 時(shí)，hx） 0,當(dāng)一 vxv一 時(shí),hXx） 0,所以力（x）在（0, 一）遞增，在（一，一）遞減, aa2aa 2故 h(x) /?() = 2ln 2 + + In 6/