信號分析與處理：第6章 離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析

1、第6章 離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析6.1 Z變換的定義6.2典型信號的Z變換6.3 Z變換的性質(zhì)6.4 Z逆變換6.5 Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系6.6離散系統(tǒng)的Z域分析6.7離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 6.1 Z 變換的定義6.1.1 Z 變換的定義 1. 抽樣信號的拉氏變換 取樣信號xS(t)可寫成連續(xù)時間信號x (t)乘以沖激序列 ，即取上式的雙邊拉氏變換，考慮到 得2. 雙邊Z變換3. 單邊Z變換令，或，則這樣拉普拉斯變換式就可以變成另一復(fù)變量Z的變換式，即 當(dāng)定義式中n的取值范圍為 n0時,雙邊Z變換的定義式就變成了單邊Z變換的定義式了。若x(n)為因果序列，則單邊、雙邊Z 變換相等，否則

2、不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閆 變換。 1.Z變換存在的條件Z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即時，其Z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列x(n)的Z變換存在的充分必要條件。 2. Z 變換的收斂域 滿足存在條件的所有Z 值組成的集合稱為Z 變換的收斂域。簡記為ROC（Region of Convergence）。 6.1.2 Z變換的收斂域 例 試根據(jù)Z變換收斂域的定義指出下列序列的收斂域。 (1) (2) 解：根據(jù)等比級數(shù)的求和方法，可求得序列的Z變換為 X1(z)的ROC為 ，即X2(z)的ROC為 ，即要描述一個序列的Z變換，必須包括Z變換的表達(dá)

3、式和Z變換的收斂域ROC兩個部分。由上例可以看出，同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，其對應(yīng)的序列是不相同的。Z變換的收斂域ROC收斂域：當(dāng) x(n) 為有界時，令級數(shù)X(z)收斂的z 的所有可取 的值的集合稱為收斂域。1)比值判別法2) 根值判別法右邊序列收斂判別法令幾類序列的收斂域有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列例（ 時，收斂域為 的整個z平面）右邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列收斂半徑圓外為收斂域左邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，若 則不包括 z=0點雙邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)， 有非零的有限值的序列圓內(nèi)收斂圓外收斂有環(huán)狀收斂域沒有收斂域例右邊

4、序列左邊序列收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，若 則不包括z=0點例收斂有限長序列收斂域為除了 0 和 的整個 平面8個零點7階極點一階極點例雙邊序列例6.1.3 Z變換的零極點圖6.1.3 Z變換的零極點圖1. 單位脈沖序列(n)（也稱為單位采樣序列）6.2 典型信號的Z變換對應(yīng)的反因果序列的Z變換為 令m=-n代入上式，得 2. 單位階躍序列(n)3. 單位矩形序列RN (n)上式中N稱為矩形序列的長度。令a14. 指數(shù)序列 (1) 實指數(shù)序列 ， a為實數(shù) (2) 復(fù)指數(shù)序列余弦序列的 Z 變換正弦序列的 Z 變換:例1.線性 6.3 Z變換的性質(zhì) 本節(jié)討論Z變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適用于單邊

5、也適用于雙邊Z變換。 設(shè) X(z)=Z x(n), Rx-|z|Rx+ Y(z)=Z y(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n) 則 M(z)=Z m(n)=Z ax(n)+by(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ Rm+=min Rx+, Ry+ Rm-=max Rx-, Ry-其收斂域是X(z) 與Y(z)收斂域的公共部分。例 求序列的Z變換。 解 可見，線性疊加后序列Z變換的收斂域可能擴大，本例擴展到全Z 平面。 2.移位（移序）特性 設(shè)X(z)=Zx(n)， r1 |z| r2 則 ，r1 |z| r2證明：利用此性質(zhì)，可以把時域的差分方

6、程變換為z域的代數(shù)方程，可以大大簡化計算。 (1)雙邊移位性質(zhì)例 已知，利用移位性質(zhì)求和的Z變換。 解 :樣值序列與階躍序列的關(guān)系為 則 根據(jù)移位性質(zhì) (1)單邊移位性質(zhì)3. z域微分性質(zhì) （序列乘以n）若 X(z)=Zx(n), r1 |z| r2， r1 |z| r2例 已知，求序列的Z變換。當(dāng)a=1時，即為斜變序列，因此解 利用Z域微分性質(zhì)可得4. Z域尺度變換設(shè) X(z)=Z x(n), r1|z| r2證明：|a| r1|z| |a| r2則|a| r1|z| |a| r2例：，利用Z域的尺度變換，求的Z變換。解：5. 時域反轉(zhuǎn)（折疊性質(zhì)）如果，則證明：6. 時域卷積定理 設(shè) w(n

7、)=x(n)*h(n) X(z)=Zx(n), R x-|z| R x+ H(z)=Zh(n) R h-|z| R h+則 W(z)=Zw(n)=X(z)H(z)， Rw- |z |r1，即x(n)是右邊序列(因果序列)， X(z)應(yīng)展成z的負(fù)冪級數(shù)，則N(z)和D(z)要按照z的降冪（或z-1的升冪）次序進行排列。 如果收斂域是|z|2和|z|2，是因果序列。將X(z)的分子和分母按z的降冪排列，用長除法有 則 例: 求的逆變換。其收斂域分別是|z|2和|z|1。 解 （2）收斂域|z|1，是反因果序列。 將X(z)的分子和分母按z的升冪排列，即 2.部分分式展開法 對于大多數(shù)單階極點的序列

8、，常常用部分分式展開法求逆Z變換。設(shè)x(n)的z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項式是N階，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單的逆變換已知的部分分式的和，通過查表求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個一階極點，可展成下式 觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數(shù)就是系數(shù)A0，即X(z)/z在z=zm的極點留數(shù)就是系數(shù)Am ， 即求出Am系數(shù)(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。取逆變換得 解 先把X(z)寫成z的正冪形式 例例雙邊序列右邊序列左邊序列 通過前面的學(xué)習(xí)可以看到，連續(xù)信號的傅里葉變換、拉普拉斯變換和離散信號的Z變換之間有著密切的聯(lián)系，在

9、一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)換。本節(jié)通過它們之間的關(guān)系引出離散時間信號的傅里葉分析。對模擬信號x(t)以抽樣間隔TS進行沖激抽樣得到抽樣信號 xS(t)= x(nTS)，進行拉普拉斯變換，引入了新的復(fù)變量 即 或 6.5 Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系6.5.1 由抽樣信號的拉普拉斯變換推導(dǎo)出Z變換6.5.2 S平面與Z平面的映射關(guān)系多圈由此可得sz平面有如下的映射關(guān)系： s平面的整個虛軸映射到Z平面的是單位圓；s平面的右半平面映射到Z平面是單位圓的圓外；s平面的左半平面映射到Z平面是單位圓的圓內(nèi)。 Z變換與傅里葉變換的關(guān)系單位圓上的Z變換對應(yīng)于離散時間信號的傅里葉變換。因此，若一個離散時間信號的傅里葉

10、變換存在，它在Z平面的收斂域應(yīng)包含單位圓。 6.6 離散系統(tǒng)的Z域分析6.6 離散系統(tǒng)的Z域分析6.6 離散系統(tǒng)的Z域分析利用Z變換的時域卷積性質(zhì)，即 可以把在時域的卷積問題轉(zhuǎn)化為Z域的相乘問題。 ，用Z變換求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。 解:(1)求零輸入響應(yīng)，初始值 （2）求零狀態(tài)響應(yīng)（3）全響應(yīng)， 例 已知差分方程 取Z逆變換得 解： 兩邊取Z變換，得 例 已知某系統(tǒng)的差分方程 ，利用Z變換法求單位脈沖響應(yīng)h(n)。 例 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，求系統(tǒng)在激勵解：單位脈沖響應(yīng)的Z變換為 作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。激勵信號的Z變換為 定義一 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與輸入的Z變換之比若x(n)是因

11、果序列, 則在系統(tǒng)零狀態(tài)下因果！零狀態(tài)6.7 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 6.7.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義定義二 系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)的Z 變換激勵與單位樣值響應(yīng)的卷積為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)由卷積定理時域輸入輸出關(guān)系差分方程 經(jīng)典法時域的單位樣值響應(yīng)h(n) 卷積法z域的系統(tǒng)函數(shù)H(z) Z變換 描述離散LTI系統(tǒng)的三種形式三種描述方式能夠互相轉(zhuǎn)換例：已知 ,求傳遞函數(shù)和差分方程。解：6.7.2 系統(tǒng)框圖例試給出實現(xiàn) 的兩種框圖及數(shù)據(jù)處理算法。解 （1） 在編寫數(shù)據(jù)處理程序時，按以下算法重復(fù)計算： 解 （2） 令 在編寫數(shù)據(jù)處理程序時，按以下算法重復(fù)計算： 對于有界的激勵產(chǎn)生有界的響應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)

12、穩(wěn)定的充要條件是單位樣值響應(yīng)絕對可和。 即：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為 ：h(n)是單邊的而且是有界的。即：因果穩(wěn)定6.7.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性 1、系統(tǒng)穩(wěn)定性的時域判別法 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為h(n)絕對可和.證明：對穩(wěn)定的因果系統(tǒng)收斂域為：H(z)全部極點位于單位圓內(nèi)，即收斂域的半徑要小于1。 對于非因果系統(tǒng)，收斂域并不是在圓外區(qū)域，極點不限于單位圓內(nèi)，但收斂域中要包含單位圓。也可利用Jury準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。2、系統(tǒng)穩(wěn)定性的Z域判別法 連續(xù)因果系統(tǒng)和離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的比較 連續(xù)因果系統(tǒng)離散因果系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件極點H(s)的極點全部在左半平面H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)收斂

13、域含虛軸的右半平面含單位圓的圓外臨界穩(wěn)定的極點沿虛軸例 因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下,試說明這些系統(tǒng)是否穩(wěn)定? 因果系統(tǒng)的極點必須在單位圓內(nèi)。解極點在單位圓內(nèi), 系統(tǒng)穩(wěn)定。RezjImz解有一個極點在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。jImzRez解有一對共軛極點在單位圓上，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。jImzRez例 欲使下圖所示因果系統(tǒng)穩(wěn)定，問 k 應(yīng)為何值?解可見，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)|1+k|1，即-2k0。3、系統(tǒng)函數(shù)的零極點與時域響應(yīng)的關(guān)系 如果從系統(tǒng)函數(shù)的極點與時域響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系考慮，對單極點p，其z域和時域響應(yīng)分量分別為 如果極點p是二階的，則有當(dāng)|p|1時，不滿足絕對可和條件。 當(dāng)|p|=1時，也不滿足絕對可和條件。 4、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)的因果性 對于線性時不變系統(tǒng)，如果它是因果系統(tǒng)，則要求它的單位脈沖響應(yīng)滿足條件 系統(tǒng)函數(shù)的所有極點都必須在單位圓內(nèi)，這樣的系統(tǒng)才能同時滿足穩(wěn)定性與因果性的要求。 這實際上是要求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果信號。由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)是h(n)的Z變換，所以，根據(jù)Z變換的性質(zhì)，h(n)是否為因果信號，與H(z)收斂域的情況有直接的關(guān)系，即離散線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是：系統(tǒng)函數(shù)的ROC是某個圓外部的區(qū)域，且包括