2004-11華中師范大學(xué)高等代數(shù)

1、研究方向考試時間兄月II日午1. （15分）設(shè)4,6,4”是數(shù)域P上刃個不同的數(shù)，解線性方程組” 召 + + + = 14不+亠心+ Q”兀二化2 2 2 2 4兀+ a2x2 + anxn = ang”*+a；、+町比=町2. （15分）設(shè)F是數(shù)域，血叮 m（x） = x （20分）設(shè)F是數(shù)域，/二（坷）二a，%，心）嚴，Q”的代數(shù) 余子式&”工0,1）證明&3勺,G”_i線性無關(guān)；2）當(dāng)M | = 0時，求線性方程組A = 0的基礎(chǔ)解系，其中才是 /的伴隨矩陣。+ 2x1是兄的最小多 項式，求（30分）設(shè)尸是數(shù)域，X = 力 e I Af = A ,卩2=Bw Pe | B 是上三角矩陣,

2、1）證明K，人都是嚴”的子空間；2）證明=匕+匕,pm工叫氏.（30分）設(shè)卩（天）是數(shù)域F上的不可約多項式，a是（對的復(fù)根，1）證明p（Q的常數(shù)項不等于零；2）證明對任意正整數(shù)加，（p（x）,兀）=1;3）設(shè) px） = x3 - 2x + 2 ,求丄.a（20分）設(shè)7?元實二次型/（召，兀經(jīng)過正交線性替 x = Qy （其中Q是正交矩陣）化為 尹；+2尹；+3尤+ + ；, 證明：1） /的特征值是1, 2,，n ；2）存在正定矩陣3使A = B（20分）設(shè)夬是數(shù)域P /7維線性空間1/的線性變換, aV.夬z（q）h0, _X（&） = 0,證明：1）斤（&）,，夬心（a）是？的基；2）設(shè)

3、是夬的不變子空間，a宀yP,匕=0,并且存在向量0 = Q0 + G+冬斤（*） +。丿心（&）丘，則IV共2豆菓2頁招生專業(yè)：數(shù)學(xué)考試科目及代碼：高等代數(shù)(471)研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計， 運第學(xué)與控制論考試時間：月 日卞午(15分)設(shè)力是數(shù)域F上的rxr階矩陣，。是sxs階矩陣，,D) 并且 秩(M)二秩(/) =尸，證明D = CA B(15分)設(shè)力是數(shù)域P上的mxn矩陣，少,勺,色是齊次線性方程組 理兀=0的線性無關(guān)的解，/0HO,證明0, 0 + Q, 0 +勺，0 +乞線性無關(guān)。(30分)設(shè)F是數(shù)域，7二/(兀)=色*+%占+年+%丨4丘卩異=0, 1,

4、2,n,證明7關(guān)于多項式的加法和數(shù)乘多項式構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間；Vf(x) e V ,規(guī)定: /(%) 一/x/G),證明夬是7的線性變換；求線性變換夬在基l, x,下的矩陣。(20分)設(shè)/是nx n階復(fù)矩陣，Ak =0,入仏，,&是/的所有非零的 特征值，證明E-A是可逆矩陣，并求(E-A)-1；求(E-A)1的所有特征值。(20分)設(shè)/是乃階正定矩陣，3是刃階半正定矩陣，證明力“是乃階正定矩陣；卜 求實的可逆矩陣7使得廠 + B)T =勺.是對角 矩陣，并說明主對角線上的元素e0, i = l,2,申.6. (20分)設(shè)A = (a. )是刃階矩陣，Tr(/) = f%是主對角線上元素之

5、和,/=1P2表示數(shù)域卩上所有二階矩陣構(gòu)成的集合，VgP2x25規(guī)定/: A Tr(),(1)證明/是線性空間P”2的線性函數(shù)；(2)p 0m(x) = x2 -2x-3 , Kei*；?表示夬的核，ImJ?表示的值域，證明：7中存在一組基，使夬在這組基下的矩陣是對角矩陣；Ker(夬 3(E)= Im(刃+ E),其中龍是卩的恒等變換；r = Ker(-3E Ker( + E).華中師范大學(xué)二00六年研究生入學(xué)考試試題.箍陽數(shù)曙規(guī)帛蛇與救理紀計一招生專業(yè)：應(yīng)用救學(xué)適蒔拳烏髓制論研咒萬向；哮試科目及代碼：討代敷452考試時間： 月0丫午1.Q4分）計算”階行列式屯+處aa3 叩”X.十盤；0込X

6、3 r-?j-嗎陽5其中殲電哄1Gna22r （20分！設(shè)務(wù)匸“1L：旳2廠口冷）他（如，血! = 厲冊）且片旳，銭性無關(guān);0 =也心:&）證明嗎，旳，,碼,0線性相關(guān)的充 分必耍條件是：線性方程組坷阿+坷內(nèi)+坷存” =（J曲+如勺+% =0礙罔+礙2%+%入=0 的懈都是方程話+炳2 +.*啟,丸的解、2工嚴4召“2也十4為一7屯匸03- 0分）R是實數(shù)域，噲線性方嚳；：；4：匚初所有 ”西- 2巧 + 6耳+ 3 - 4x5 = 0 解構(gòu)成的集合.1）證明卩是R（列向量組成的空間）的子空間；2）求F的基與維數(shù)；3）求卩的正交補廠的基與維數(shù)（搭的內(nèi)積値戶）=呼）.考生答題請一律寫在答題M,在

7、試卷上作答無效。（32分）設(shè)P是數(shù)域，/ = O 或鞏/町”.V/W =+心_尹7 +中+嗎乍匚 規(guī)定月：/”_嚴1）證期冥是卩的線性變換；2）求開在基巴莊1下的矩陣；3）求;!的核月壯0）的基；4）求開的所有特征值和特征向量.（2（）分）設(shè)P是數(shù)域，C = AB-BA,并且BCCB. M明：1）對大于1的自然數(shù)有泅-出4 =聽叫:;2）f（A）是月的特征多項式，廣仏）是幾可的微商，則/W=0-6 （20分）R是實數(shù)域，/ g IT，且A是對稱矩陣.1）證明?!的伴隧矩陣才也是實對稱呃陣；2）試問與才合同的充分條件是什么？并證明你的結(jié)論.7. （20分）設(shè)卩是數(shù)域F上的代維線性空間，珀居，:”

8、質(zhì)”挿是F的基，K = Z（” :，卩2 =丄（礙+1 ,/+2 ：1）證明卩是片與的直和（即卩=叫田耳）；2）設(shè)逼是人的錠性變換，是的線性變換，求卩的線性變換G使得匕與 卩2都是C的不變子空問，并且C在片與卩2上的限制分別是Ci v =A, c|=0考生答題請一律寫在答題紙上，在試巻上作答無效。華中師范大學(xué)二OO七年研究生人學(xué)考試試題院泉、招生專業(yè)；數(shù)學(xué)與統(tǒng)甘學(xué)學(xué)院各專業(yè)番試時間；元月幻H下午考試科目代碼及名稱澤h高等代數(shù)1倒分)設(shè)/(I)是非零湮家煩丸用f何記/(Z的flf井(#)多項買|規(guī)鮒迢 j與的晟大公因式；設(shè)蔡數(shù)m 1. if明，復(fù)數(shù)C為fX)的譏at檻杓妙楚充 分條件赴C為dx的

9、斑-I fi*.瑞說明遠里為什么爾要假設(shè)m P.創(chuàng)知 A J& m x n矩臨；|崔線性方理組= 0的非笨解-證明， 如果月的怪何列時握非笨.則加中至少兩個非零如果X的任何兩亍列向就歿性無先 割叭血中至少三沖非軍Jftr (!),：), 到什么紳論7請證明慵的蠟論，(30分)對tnx”矩陣九記川疑A的轉(zhuǎn)置趣陣. 設(shè)山越實矩陥 證1和 實線性方Sffl AX =0埼宸皺性方肆AlEFbY -0同轟(2)還明I實矩陣d的快與矩陣攻M的聯(lián)相尊.(卽在銳致城上述結(jié)世成立嗎F為什么T(鐘對3(鎖城.休認為應(yīng)打何惓改ft# (2)得劃一牛正確斷皆？為什么74-2Clj Ait實方岸，證明，犧果下面三條申的

10、任意蔭棗成立則另一條也成;flj(山屋正交矩陳-(b) N扯對林矩陣-(c)護一 E,其中E翌示細也婭陣一(a 0 b5. (20分)巳知A= D d Q的粗I根為匕2.3,城中u上足實|L 宋心也井求正 V 0 n)交矩睞TT-AT退荊血蛇陣其對輪線元當(dāng)ftycL2, 3.6 軸 用C衣承J數(shù)域一設(shè)鼻是“XE復(fù)拒陣.設(shè)M的博征第虞式也現(xiàn)前， 其中fW塚5(A)互素.在“堆向嶽空間C +b設(shè)尸是齊次線性方程級/(A) X ：0 的解子空問.gj&齊次線性方程Ulg“)X)的解子空問.證明.孝生答超莆L障瑤在番頸簸上，在試唸上柞善無效”華中肺也大淨(jìng)二00七年研究生入學(xué)粵試試題琴試科日赴狀創(chuàng)，雷鴿

11、敷學(xué)fW序試時間：；t丹和日上牛題號二三四fi#分慎45ISO Sb、awatit hJM. ift+呼洪麗眷.朮帰豐18的岀的阿牛陸項中.只打增足種時恿目蜃術(shù)的.ftjff*js*j r wjan：rrB s h, TOC o 1-5 h z .aw y = r .*j上h厝* 曲B茨乖的曲找t：)a.&天甲上軸劉梓匚袋于y抽対驛UL關(guān)于迸搖y =jt對曲1. r HTO 時，-iirt丄 li I/(J)ra/fjrr nxt Bfpiw *=( IA- 4ftf 1/(j).理杓4坎工 連BLfll術(shù)可導(dǎo)C.右ifSfc右冷H甘花.右連號店U威半棄住ffl i- +siiut 屋 /(J

12、C)的一啊a 慮數(shù).艸學(xué)Et r(r)=的值依次為A. 1JB. 1,-1G I, ID. lr I皿滋井方見f+-0()A. f|tfJ +f3r-jeIL 雋 + 包咖-rC.吟 mix+巧 sinxIK jftf, cosx + q sinf)二、為ISIJB，申大薦共】0牛小呻* 0 t 3 0l-x5 時.teEffl |/(x)-J|址的祛理方稈為 .M y = y i&lhj l-j,l|上的錄犬曲妊.1 軋 巍 jytijtiif - arcsLnx + c?t M f(x) =_,応、=* .1T*商冊；(E.-2J在y舗上的段牌為 .泳 iS： r = ln-Ja1 +/

13、剤 Qs OT 19、丈抉樹井秋序布 彳砂jg/pcv)由=丁略，M 曲 =JO. -Jt#& +4 = 0 的劃肝J6 _二 計tta.時pl sjh丼MSN須寫岀主更少霽+21，求熙敘 mA + T1-*1-乂1-2 2-3+ 9)il. ft JM- LijiitK常 f 卩斶is，a f(x)= v + -j=-iniinx1 朮 廣兇25. 由曲魏f = 國血說 y = x-2 扯 yn廟擁成的平iK!E舉的面祖庚 馬蹲聲轉(zhuǎn)體的悴耳L為、3 /j = /(r+7.也 卓散廿方用 + 2y - 4xf-11?-魁Six較的SeK問闊科租請塾.3加+1弘迸腹用建強縱 & 問 肌工)在,；

14、上連地 布(fi.fr)由可#. JWHh、= g fl j(jr)*t.輕固切一 HiiMi仙即 內(nèi)至護祥庇“血E .= aWy華中師范大學(xué)二0 0八年研究生入學(xué)考試試題n）設(shè)衛(wèi)都是和階方陣，且 過22的最大整數(shù).二 對任正整數(shù)八都存在八A J3二()證明BA的秩JL.詼zr；小/.-SOq、此衣不頭姒域.孫方陣丄/;/0! = 0t .1()滿足 AB 0 而 BA.=（）征值和實特征向里.1丿T . 7）求實矩陣人的實特求才中所有的.4-不變子空間（實向1空間蹲的子空間稱為兒不史的如果 如（7 7. F c其中V寫為列向量丿買二次型？什么是化實二次型為平方和定理？什么是實.分J （-1!

15、諦敘述f么是頭 次型的慣性定理？i 2 ；證明實二次型的慣性定理.分）設(shè)門維復(fù)向量空間F的線性變換卩滿足卩二卩證明：F二山】卩K（-rP 其中11】表示V的像子空間，Ker V表示廠的核子空間 像子空間維數(shù)dim In.） V二怙八其中trP表示線性變換V的跡即P的丿聽有特征根 計巫數(shù)）之和.分丿設(shè)2;/階方陣JE:芥其中E是和階單位矩陣.求4的特征多項式.求“的極小多項式.求.4的纟勺爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.考巻題請-律寫在答題紙上，在試卷上作簽無效.考試時間：元月16 a下午華中師范大學(xué)二o 一一年研究生入學(xué)考試試題院系、招生專業(yè)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院各專業(yè)考試科目代碼及名稱：837,高等代數(shù) (20分)

16、計算下列行列式2 + N2 +卅- 2 + 瑁2 +龍22 +於2 +吋2 + r 九2 +晡- 2 +瞪 (20分)設(shè)多項式與g(x)互素，并設(shè)嚴仗)+ /&)有重根，令f3gd)分別表示幾巧,9(對的導(dǎo)數(shù)多項式.證明：嚴仗)+ g2(T)的重根是.嚴(Q + g，2(巧的根. (30分)設(shè)F是數(shù)域，V表示數(shù)域1F上所有次數(shù)小于n的多項式加上零多項式構(gòu)成的線性空間.令 T:+、ijf明：丁是卩上的線性變換.證明：7o = l,7i = f,72 = 嚀“冶嚴丄是V的基底.求T在上述基底下對應(yīng)的矩陣.證明：丁在上述基底下對應(yīng)的矩陣不能相似對角化. (20分)設(shè)T是實向量空間V上的線性變換，且滿足T2 = idv,這里idv表示V上的恒等線性變換.定義兩個子空間如下：Vi = V| T(v) = v, V2 = v V T(v) = -v. 證明：V =兀旳.5. (20分)設(shè)氏表示實數(shù)域，(叫表示R上所有實矩陣的集合.設(shè)A (叫是n階實對稱矩陣，E是單位矩陣，