大學高數(shù)下冊試題及答案第7章

1、第 PAGE9 頁 共 NUMPAGES9 頁大學高數(shù)下冊試題及答案 第7章第七章 多元函數(shù)微分學 作業(yè)1 多元函數(shù) 1填空題 （1）已知函數(shù)，則；（2）的定義域是；（3）的定義域是 ；（4）函數(shù)的連續(xù)范圍是 全平面 ；（5）函數(shù)在處間斷.2求下列極限 （1）；解：（2）.解：由于， 故 3討論極限是否存在.解：沿著曲線,有因而異，從而極限不存在 4證明在點分別對于每個自變量或 都連續(xù)，但作為二元函數(shù)在點卻不連續(xù).解：由于 從而可知在點分別對于每個自變量或 都連續(xù)，但沿著曲線,有因而異， 從而極限不存在，故作為二元函數(shù)在點卻不連續(xù). 作業(yè)2 偏導數(shù) 1填空題 （1）設(shè)，則；（2）（3）設(shè)，則；

2、（3）設(shè)，則 0 ；（4）曲線在點處的切線與軸正向的傾角是.2設(shè)， 證明 .證:因為 所以 3.設(shè)，求，.解：， 從而 4設(shè)， 證明 . 解：因為 所以 5設(shè)函數(shù).（1）試求的偏導函數(shù)；解：當 ， 當 ， （2）考察偏導函數(shù)在點處是否連續(xù).，故在點處連續(xù)， 不存在，從而在點處不連續(xù) 作業(yè)3 全微分及其應(yīng)用 1填空題 （1）在點處偏導數(shù)存在是在該點可微的 必要 條件；（2）函數(shù)在點處，當時有全增量 ，全微分；（3）設(shè)在點處的全增量為，全微分為，則在點處的全增量與全微分的關(guān)系式是；（4）在點處的；（5）,則；（6）,則；（7）,則 .2證明：在點處連續(xù)，與存在，但在 處不可微.證：由于從而但是 不

3、存在，從而在處不可微. 3設(shè)函數(shù) 試證：（1）函數(shù)在點處是可微的；證：因為 又 所以函數(shù)在點處是可微的 （2）函數(shù)在點處不連續(xù).證：當 不存在， 故在點處不連續(xù) 作業(yè)4 多元復合函數(shù)的求導法則 1填空題 （1）設(shè)，則 ；（2）設(shè)，則 ；（3）設(shè)，則；（4）設(shè)，則.2求下列函數(shù)的偏導數(shù) （1）設(shè)其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)，求和；解：（2）設(shè)，其中均可微，求和.解：因為 從而 所以 3驗證下列各式 （1）設(shè)，其中可微，則；證：因為 所以 （2）設(shè)，其中可微，則.證：因為 所以 4設(shè)其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求.解：因為 所以 4設(shè)其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試證：.證：因為 從而左邊 作業(yè)5 隱函數(shù)

4、求導法 1填空題 （1）已知，則；（2）已知，則；（3）已知，則；（4）已知，則；（5）已知，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 .2設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求 解：3求由方程組所確定的及的導數(shù)及.解：由已知 4設(shè)函數(shù)，又方程確定是的函數(shù)，其中與均可微；連續(xù)，且.試證：.證：因為， 5設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，而滿足方程，求.解：因為 特征方程為 作業(yè)6 方向?qū)?shù)與梯度 1填空題 （1）在梯度向量的方向上，函數(shù)的變化率 最大 ；（2）函數(shù)在給定點的方向?qū)?shù)的最大值就是梯度的 模 ；（3）函數(shù)在點的梯度為；（4）函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)是 ，且函數(shù)在該點的梯度是；（5）函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)是；

5、（6）函數(shù)在點處沿指向點方向的方向?qū)?shù)是.2求在點及點處的梯度間的夾角.解：夾角余弦為 3求二元函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出在該點沿那個方向減少得最快？沿那個方向的值不變？ 解：， 在該點沿梯度相反方向，即方向減少得最快；沿與梯度垂直的那個方向，即方向的值不變 4設(shè)軸正向到得轉(zhuǎn)角為，求函數(shù) 在點處沿著方向的方向?qū)?shù).解：， 由于該函數(shù)在點處不可微，從而不能用公式，只能由定義得出沿著方向的方向?qū)?shù)：作業(yè)7 偏導數(shù)的幾何應(yīng)用 1填空題 （1）已知曲面上點的切平面平行于平面，則點 的坐標是；（2）曲面在點處的切平面方程是；（3）由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點 處的指向內(nèi)側(cè)的單位法向

6、量為；（4）曲面在點處的法線方程是 ；（5）已知曲線上點的切線平行于平面，則點的坐標是或 2求曲線在對應(yīng)于的點處的切線和法平面方程.解：切點為， 從而切線為， 法平面為 3求兩個圓柱面的交線在點處的切線和法平面的方程.解：， 切線為，法平面為 4求曲面在點處的切平面及法線的方程.解：切平面為，法線為 5求函數(shù)在點處沿曲線在此點的外法線方向的方向?qū)?shù).解：指向外側(cè)為此點的外法線方向，方向?qū)?shù)為 6證明：曲面在任意點處的切平面都通過原點，其中具有連續(xù)導數(shù).證：設(shè)切點為， 則 切平面為 令，得左邊等于右邊，從而原點在任意點處的切平面上，也即任意點處的切平面都通過原點。作業(yè)8 多元函數(shù)的極值 1填空題

7、 （1）函數(shù)的極值是 0 ；（2）函數(shù)的極值點是；（3）函數(shù)的極值點是；（4）函數(shù)的極值是；（5）函數(shù)的極值是.2證明：函數(shù)有無窮多個極大值點，但無極小值點.證：因為 由 得駐點坐標為 又 故 只有當為偶數(shù)時才大于零，從而才有極值。而這時 因此該函數(shù)有無窮多個極大值點，但無極小值點。3求函數(shù)在條件下的極值.解：令 則 從而 4求函數(shù)在圓域上的最大值與最小值.解：先求圓內(nèi)部的駐點得駐點， 再求圓周上的有約束極值，令 則 若則必有矛盾， 若則必有或 由于 從而要求的最大值為4，最小值為 5在半徑為的半球內(nèi)求一個體積為最大的內(nèi)接長方體.解：設(shè)在第一卦限內(nèi)的頂點坐標為，則 令，則由 ， 可得，其長寬均

8、為，高為 6求橢圓的長半軸和短半軸.解：由對稱性，得知橢圓的中心點為，從而問題轉(zhuǎn)化為求在約束條件下或的最值 取 由 從而，當時，由約束條件 當時，由約束條件 于是橢圓的長半軸為和短半軸為. 第七章多元函數(shù)微分學測試試卷 1單項選擇題（每小題3分）（1）二重極限值為 （ D ）（A）0；（B）1；（C）；（D）不存在.（2）二元函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù)和都存在，則（ D ）(A)在該點可微；(B) 在該點連續(xù)可微；(C)在該點沿任意方向的方向?qū)?shù)存在；(D) 以上結(jié)論都不對.（3）函數(shù)在處（ A ）(A) 不取極值；(B) 取極小值；(C) 取極大值；(D)是否取極值依賴于.（4）在曲線的所有切線

9、中，與平面平行的切線（ B ）（A）只有1條；（B）只有2條；（C）至少有3條；（D）不存在.（5）設(shè)，其中，下面運算中（ B ）， (A)、都不正確；(B) 正確，不正確；(C) 不正確，正確；(D) 、都正確.2填空題（每小題3分）（1）已知理想氣體狀態(tài)方程，則；（2）設(shè)，則；（3）函數(shù)在點的梯度為；（4）已知，其中為可微函數(shù)，則；（5）已知曲面上的點處的法線平行于直線，則該法線的方程為 3設(shè)，其中均為二階可微函數(shù)，求.解：因為 所以 4設(shè)，試以新變量變換方程，其中對各變量有二階連續(xù)偏導數(shù).解：從而 5已知，其中均為可微函數(shù)，求.解：對函數(shù)取全微分得， 從而 6設(shè)是曲面在處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù).解：指向下側(cè)在此即拋物面的外側(cè)， 從而 7在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三個坐標平面圍成的四面體的體積最小，求切點的坐標.解：設(shè)切點為，則切平面為 在的最值問題與在下的最值問題等價，只是最大與最小問題煥位而已。令 則 與約束條件結(jié)合推得 由于在第一卦限，從而切點為 8設(shè) （1）求，；（2），