巧構三角模型妙解實際問題

1、巧構三角模型，妙解實際問題六神中學 李云超 有一類解三角形問題，如果直接去解，就很麻煩，甚至用解直角三角形的知識無法解決.但是，利用構造三角模型來解，就容易多了.模型一：一個三角形中，有兩個角分別是60和45；模型二：一個三角形中，有兩個角分別是30和45.近幾年的中考試題直接或間接地與這兩種模型有著千絲萬縷聯(lián)系，都是通過作高（或垂線），化“斜”為“直”解決實際問題.這兩種模型很有實用價值，能起到事半功倍的解題效果. 特介紹如下，供參考. 一、知識模型： A A 600 45 30 45 B D C B D C 圖1 圖2 模型一：如圖1,1.若BC=a,則AB=a,AC=a.若AC=b,則A

2、B=b,BC=b. 3.若AB=c,則AC=c,BC=c. 4.若AD=h,則AB=h,BC=h,AC=h.模型二：如圖2，1.若BC=a，則AB=（）a，AC=a.若AC=b,則AB=,BC= 3.若AB=c,則AC=c,BC=c.若AD=h,則AB=2h,AC=h，BC=（）h.二、運用模型：例1（2012年南通市中考試題）如圖，某測量船位于海島P的北偏西60方向，距離海島100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于海島P的西南方向上的B處求測量船從A處航行到B處的路程(結果保留根號)解：易知A=60，B=45.而PA=100海里.由模型一3知：AB=PA=100=50+50（海

3、里）. 答：測量船從A處航行到B處的路程為（50+50）海里 例2 （2012年揚州市中考試題）如圖，一艘巡邏艇航行至海面B處時，得知正北方向上距B處20海里的C處有一漁船發(fā)生故障，就立即指揮港口A處的救援艇前往C處營救已知C處位于A處的北偏東45的方向上，港口A位于B的北偏西30的方向上求A、C之間的距離(結果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)： eq r(sdo1(2)1.41， eq r(sdo1(3)1.73) 解：由模型二1知：AC=BC=20=10=101.41（1.731）=14.10.73=10.29310.3(海里)答：A、C之間的距離為10.3海里 例3 （2012年廣元市中考試題

4、）如圖，A，B兩座城市相距100千米，現(xiàn)計劃要在兩座城市之間修筑一條高等級公路（即線段AB）。經(jīng)測量，森林保護區(qū)中心P點在A城市的北偏東30方向，B城市的北偏西45方向上。已知森林保護區(qū)的范圍在以P為圓心，50千米為半徑的圓形區(qū)域內，請問：計劃修筑的這條高等級公路會不會穿越保護區(qū)？為什么？ 解：作點P到直線AB的垂線段PE，則線段PE的長，就是點P到直線AB的距離. 根據(jù)題意，PAB=60，PBA=45.由模型一4知：AB=PE， 100=PE.化簡，得PE=.PE50，即保護區(qū)中心到公路的距離大于半徑50千米，公路不會穿越保護區(qū).好了，就不贅舉了.由以上可知，運用三角模型解題又好又快，輕松搞定，避免了將斜三角形分割成兩個直角三角形來解的問題，也減少了作輔助性的麻煩，是一種“節(jié)約”型的好方法.三、演練實踐： （2012年黔東南中考試題）如圖，一艘貨輪在A處發(fā)現(xiàn)其北偏東45方向有一海盜船，立即向位于正東方向B處的海警艦發(fā)出求救信號，并向海警艦靠攏，海警艦立即沿正西方向對貨輪實施救援，此時距貨輪200海里，并測得海盜船位于海警艦北偏西60方向的C處. （1）求海盜船所在C處距貨輪航線AB的距離. （2）若貨輪以45海里/時的速度向A處沿正東方向海警艦靠攏，海盜以50海里/時的速度由C處沿正南方