微積分下第二版課后習(xí)題答案同濟大學(xué)

1、習(xí)題11解答設(shè)，求解；設(shè)，證明：求下列函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形：（1）（2）（3）（4）解（1） （2）（3）（4）4求下列各極限：（1）=（2）（3）（4）5證明下列極限不存在：（1） （2）（1）證明 如果動點沿趨向則；如果動點沿趨向，則所以極限不存在。（2）證明： 如果動點沿趨向則；如果動點沿趨向，則所以極限不存在。6指出下列函數(shù)的間斷點：（1）； （2）。解 （1）為使函數(shù)表達式有意義，需，所以在處，函數(shù)間斷。 （2）為使函數(shù)表達式有意義，需，所以在處，函數(shù)間斷。習(xí)題121（1）；. (2) (3), lnz=yln(1+xy)，兩邊同時對y求偏導(dǎo)得 ;(4), (5);(6)

2、, , ;2.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 設(shè)對角線為z,則, 當時, =-0.05(m).7. 設(shè)兩腰分別為x、y,斜邊為z,則，, ,設(shè)x、y、z的絕對誤差分別為、,當時, =0.124,z的絕對誤差z的相對誤差.設(shè)內(nèi)半徑為r，內(nèi)高為h，容積為V，則,當時,.習(xí)題131. =.2.=.(1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 設(shè), ,=, =,=,(3) 設(shè), ,=,=.(4) 設(shè),7.設(shè),1. 8.設(shè), .9. (1)方程兩邊同時對x求

3、導(dǎo)得解之得(2) 方程兩邊同時對z求導(dǎo)得 解之得 (3) 方程兩邊同時對x求偏導(dǎo)得 解之得同理方程兩邊同時對y求偏導(dǎo)得 解之得習(xí)題14求下列函數(shù)的方向?qū)?shù)（1）解： ，（2）解：， （3）與軸夾角為解： 由題意知則 （4） 求下列函數(shù)的梯度（1） 解： ,)(2)解：，）。一個登山者在山坡上點處，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐標，他決定按最陡的道路上登，問應(yīng)當沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，應(yīng)當沿（3，4）方向上登。解：沿方向解：設(shè)路徑為，在點處在點的切向量為 平行于切向量 因為過習(xí)題1-51、求曲線在對應(yīng)于點處的切線及法平面方程。解：當時，故所求切線方程為：，即: 法平

4、面方程為： 即: 2、求下列空間曲線在指定點處的切線和法平面方程（1） 在點解 ：將方程兩端對x求導(dǎo)，得 在處故所求的切線方程為：法平面方程：（2） 在點解法1：將方程兩端對x求導(dǎo)，得當時，有，故所求的切線方程為：法平面方程： 即：解法2：將方程組兩端求微分：得曲線在點處的切向量為 3. （題略）解：（1）令 F（x，y，z）=arctg-z, = -1，曲面在點P的切平面方程為：-，即： x - y - 2z -=0；法線方程為：，即： ；（2）令則，曲面在點(1,1,1)點處的切平面的法向量為：故所求的切平面方程為：即： 法線方程為： （3）令F（x，y，z）=2+2-8，=-16ln2，

5、曲面在點P的切平面方程為：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0， 即：x-y-4z=0，法線方程為：，即：4、解：， 又拋物線在(1,2)點處的切線斜率為：拋物線在(1,2)點處偏向x軸正向的切線方向為故所求的方向?qū)?shù)為：習(xí)題1-61（題略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)為 f(x,y) 的駐點,又 D（P）=40,=-2故P (2,-2)為f(x,y)的極大值點, 其極大值為f(2,-2)=8. 2（題略）. 解：由 有 駐點：(5,6)和 ，而在點(5,6)取得極小值 又在點不取得極值3、求在閉區(qū)域上的最大值和最小值解：由，得唯一駐點

6、(0,0)又在邊界即橢圓上, 由，得駐點：所有可能的極值點為：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1)相應(yīng)的函數(shù)值為： 0 4 4 -1 -14、求拋物線和直線之間的最短距離。解：設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點，它到直線的距離為，d最小當且僅當最小此問題即是求在條件下的最小值。解法1（用拉格朗日乘數(shù)法）設(shè)由，即得唯一駐點故由實際問題知拋物線和直線之間的最短距離在在，為：解法2（轉(zhuǎn)化為無條件極值）設(shè)拋物線上點，它到直線的距離為d最小當且僅當最小設(shè) 唯一駐點當時，有極小值，從而該極小值就是所求的最小值（唯一駐點）=故拋物線和直線之間的最短距離為5、求拋物線被平面截成一橢圓，

7、求原點到此橢圓的最長與最短距離。解：設(shè)橢圓上任意一點為(x,y,z)，它到原點的距離為此問題即是求在條件下的最大值和最小值。令由 由-得若代入，得，再代入，0一側(cè)為，在x0一側(cè)為，在y0取下側(cè)則(4)記S在z=0上的部分為，在x=0上的部分為,在y=0上的部分為,在上的部分為,在上的部分為.有解：（1）原式=.（2）原式= 3-3格林公式及其應(yīng)用1(1) ， (2) , , （3），（4），而在以為起點為終點的直線上所以原式2，因為積分與路徑無關(guān)，所以,得3.(1) ，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故(2) ，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故(3) ，是二元函數(shù)u(x,y)

8、(的全微分.，得，故(4) ，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故4（1）,故為全微分方程。，故通解為（2）,故為全微分方程。，故通解為（3）,故為全微分方程。，故通解為（4）,故不是全微分方程。3-4高斯公式和斯托克斯公式1（1）原式= = = =（2）原式= = = =（3）原式= = = = = （4）原式= = = （5）原式= = = = 2.解:(1)圓周事實上就是xoy面上的圓,取為圓域的上側(cè),(2) 取為平面被L所圍成的部分的上側(cè), 的面積為的單位法向量為,3.解: 其中為平面z=2被L所圍成的部分的上側(cè),因為在yoz面上的投影區(qū)域為線段,所以,又在xoy面上的投影區(qū)域為

9、,所以,習(xí)題35解：（1）， ， （2）， ， （3）， ， 。證明：場力沿路徑L所作的功為，要證明場力所作的功與所取的路徑無關(guān)，只需證明上面的積分與路徑無關(guān)，顯然，半平面x0是單連通域。 在該區(qū)域具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，另外，所以上面的積分與路徑無關(guān)，因而結(jié)論正確。3解：（1） （2） （3） （4）4證明：（1） 所以A為有勢場 （2） 所以A為有勢場 習(xí)題411（1）記一般項為，則 =，=，=，=，故= （2）記一般項為，則 =(-1)，=(-1)，=(-1)，故=(-1) （3）記一般項為，則 =，= ，=，=， 故= （4）記一般項為，則=(-1)，=(-1)，=(-1)， 故=(-1)

10、2（1） （2） （3） （4）3（1）該級數(shù)為幾何級數(shù)，由于，故該級數(shù)收斂。 （2）該級數(shù)的一般項，故由級數(shù)收斂的必要條件可知，該級數(shù)發(fā)散。 （3）該級數(shù)為幾何級數(shù)，由于，故該級數(shù)發(fā)散。 （4）設(shè) 因為為的幾何級數(shù)，為的幾何級數(shù)，故，均為收斂級數(shù)，故原級數(shù)收斂。習(xí)題42（1）因為，而級數(shù)發(fā)散，故該級數(shù)發(fā)散。（2） 因為，而發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。（3）因為，而且收斂，故原級數(shù)收斂。（4）因為，而且收斂，故原級數(shù)收斂。2（1），因為，故級數(shù)發(fā)散。 （2）因為,故級數(shù)收斂。（3）因為,故級數(shù)收斂。 （4）因為，故級數(shù)收斂。3.（1）因為，故級數(shù)收斂。（2）因為，故級數(shù)收斂。（3）因為，故級數(shù)收斂。（

11、4）因為，故當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，無法判斷。4（1），而，故級數(shù)收斂（2），而，故級數(shù)收斂。（3）因為，而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散。(4）因為,故級數(shù)收斂。（5）因為，故級數(shù)發(fā)散。（6），而級數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。5（1），顯然為一交錯級數(shù)，且滿足， 因而該級數(shù)收斂。又是的級數(shù)，所以發(fā)散，即原級數(shù)是條件收斂。 （2）對于，故收斂，從而原級數(shù)絕對收斂。 （3），顯然收斂，故原級數(shù)絕對收斂。 （4），為一交錯級數(shù)，又， 且，故由萊布尼茲定理可知，原級數(shù)收斂。但由于，發(fā)散，故原級數(shù)是條件收斂。 （5）因為，故級數(shù)發(fā)散。6（1）因為為幾何級數(shù)，且，其和為。 （2）因為 而由知，其

12、和為由知，其和為故7設(shè)排球每一次下落后的高度依次為: ,反彈的總距離8由已知可得： L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+ =習(xí)題4-31 （1）當時，級數(shù)收斂，所以該級數(shù)的收斂域為（2）當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，所以該級數(shù)的收斂域為（3）該冪級數(shù)只含有奇次冪項，記，則有當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，于是收斂半徑當時，級數(shù)發(fā)散，所以該級數(shù)的收斂域為（4）該冪級數(shù)只含有偶次冪項，記，則有當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，于是收斂半徑當時，級數(shù)發(fā)散，所以收斂域為2 （1）設(shè) 故 （2）設(shè)（3）設(shè)則令故（4）設(shè)習(xí)題4-41 (1)（2）（3）設(shè)（4）（5）設(shè)（6）2 注：收斂域：3 （1）（2） 4 設(shè)則5 由于很小，則習(xí)題4-51、解：（1）因為所以的傅氏展開式為。（2）因為 （奇函數(shù)在以零為對稱