2022屆中山市重點高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則

2、正四棱錐的體積是( )ABCD2數(shù)列滿足：，則數(shù)列前項的和為ABCD3若，則下列不等式不能成立的是（ ）ABCD4過直線上一點作圓的兩條切線，為切點，當(dāng)直線，關(guān)于直線對稱時，（ ）ABCD5已知函數(shù)，若對于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD6拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足，設(shè)線段的中點在上的投影為，則的最大值是（ ）ABCD7已知向量滿足,且與的夾角為,則( )ABCD8已知，是平面內(nèi)三個單位向量，若，則的最小值（ ）ABCD59已知，則，不可能滿足的關(guān)系是（）ABCD10函數(shù)的對稱軸不可能為（ ）ABCD11如圖是一個算法流程圖，則輸出

3、的結(jié)果是（）ABCD12在原點附近的部分圖象大概是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_.14展開式中項系數(shù)為160，則的值為_.15數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足，且.若任意，成立，則實數(shù)的取值范圍為_.16已知向量，且向量與的夾角為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402

4、010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.求的數(shù)學(xué)期望和方差；若隨機變量滿足，則認為.假設(shè)當(dāng)時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；若，則，.18（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實數(shù)滿足.證明：.19（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表

5、所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量 (件)已知變量且有線性負相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲； 乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個極值點為，求的最小值.21（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），直線的極

6、坐標(biāo)方程：（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最大值.22（10分）在中，角，所對的邊分別為，已知，角為銳角，的面積為.（1）求角的大?。唬?）求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B2A【解析】分析：通過對anan+1=2anan+1變形可知，進而可知，利用裂項相消法求和即可詳解：，又=5，即，數(shù)列前項的和為，故選A點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點

7、的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.3B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得【詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，點不在

8、直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對稱，則必垂直于直線，設(shè)，則，,故選：C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角5D【解析】將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點，等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.，所以當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是

9、減函數(shù).因此.設(shè)，若在無解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設(shè)其解為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).因為，方程在內(nèi)有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設(shè)，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題6B【解析】試題分析：設(shè)在直線上的投影分別是，則，又是中點，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B考點：拋物線的性質(zhì)【名師點晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中，涉及到拋物線上

10、的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準(zhǔn)線（或與準(zhǔn)線平行的直線）的距離時，常?？紤]用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化象本題弦的中點到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離，從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系7A【解析】根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.8A【解析】由于，且為單位向量，所以可令，再設(shè)出單位向量的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果【詳解】解：設(shè)，則，從而，等號可取到故選：A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解

11、，屬于難題9C【解析】根據(jù)即可得出，根據(jù)，即可判斷出結(jié)果【詳解】；，；，故正確；，故C錯誤；，故D正確故C【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，以及基本不等式：和不等式的應(yīng)用，屬于中檔題10D【解析】由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題11A【解析】執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案【詳解】由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計算結(jié)果

12、，故選A【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題12A【解析】分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項；當(dāng)時，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【解析】利用復(fù)數(shù)的

13、運算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，故而可得，故答案為.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題14-2【解析】表示該二項式的展開式的第r+1項，令其指數(shù)為3，再代回原表達式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令，所以，則故答案為：【點睛】本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡單題.15【解析】當(dāng)時，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據(jù)定義求出，再借助單調(diào)性求解【詳解】解：當(dāng)時，則，當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故答案為：【點睛】本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題161【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義

14、求解即可【詳解】解：向量，且向量與的夾角為，|；所以：（）2cos221，故答案為：1【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2），,72【解析】（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個小時），即可得到的估計值；（2）利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解；先根據(jù)條件計算出的取值范圍，然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應(yīng)的概率.【詳解】（1）平均時間為（分鐘）（2），即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分

15、布表求解平均數(shù)、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態(tài)分布中的概率，一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應(yīng)概率的對稱性.18（1）或；（2）見解析【解析】（1）根據(jù)，利用零點分段法解不等式，或作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；（2）由（1）作出的函數(shù)圖像求出的最小值為，可知，代入中，然后給等式兩邊同乘以，再將寫成后，化簡變形，再用均值不等式可證明.【詳解】（1）解法一：1時，即，解得；2時，即，解得；3時，即，解得.綜上可得，不等式的解集為或.解法二：由作出圖象如下：由圖象可得不等式的解集為或.（2）由所以在上

16、單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，正實數(shù)滿足，則，即，（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號）故，得證.【點睛】此題考查了絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19（1）乙同學(xué)正確（2）分布列見解析， 【解析】（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點代入驗證，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【詳解】（1）已知變量具有線性負相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，代入兩個回歸方程，驗證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數(shù)據(jù)如下表：

17、 “理想數(shù)據(jù)”有3個，故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.，于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關(guān)系，以及離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.20（1）（2）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到，再求得，再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解：（1）由函數(shù)有意義，則 由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上恒成立， 上恒成立 （2）由知， 令，即 由有兩個極值點 故為方程的兩根， ， ，則 由由 ，則上單調(diào)遞減，即 由知綜上所述，的最小值為.點睛：（1）本題主要考

18、查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點有兩個，其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.21（1）；（2）10【解析】（1）消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線C的極坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進而得到=，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線C的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為，即，又由，代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得，即，所以=，其中，當(dāng)時，取最大值，最大值為10.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程