2022屆太和高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若、M是線段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為( )ABCD2如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，

2、則該幾何體的體積是（ ）ABCD3函數(shù)（或）的圖象大致是（ ）ABCD4函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD5如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，.若分別是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD6已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（ ）ABC2D47函數(shù)滿足對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的值為（ ）A0B2C4D18直線與圓的位置關(guān)系是（ ）A相交B相切C相離D相交或相切9復(fù)數(shù)的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限10某個小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查，得到本月的用水量

3、(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15 m3的住戶的戶數(shù)為( )A10B50C60D14011已知是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD12記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則（ ）A5B3C12D13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則滿足的正整數(shù)的所有取值為_14已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為_15若，則的最小值為_.16已知公差大于零的等差數(shù)列中，、依次成等比數(shù)列，則的值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)， 曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于

4、，兩點(diǎn)，且，求的值.18（12分）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于另一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，.若，求直線的斜率.19（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時的直角坐標(biāo).20（12分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，均為正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：.21（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時.求函數(shù)在處的切線方程；定義其中，求；（2）當(dāng)時，設(shè)，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給

5、定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.22（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若，求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45的直線，交于點(diǎn)，且的最大值為，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】根據(jù)題意，求得的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，易知點(diǎn)坐標(biāo)，

6、將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.2C【解析】根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3A【解析】確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項(xiàng)，再求時的函數(shù)值，再排除一個，得正確選項(xiàng)【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，排除B，C，當(dāng)時，排除D，故選：A【點(diǎn)

7、睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)值的變化趨勢，排除錯誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論4A【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C和D.當(dāng)時，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.5B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為，建立空間

8、直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.6A【解析】由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，所以離心率，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題7C【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性

9、和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.8D【解析】由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結(jié)論【詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題9C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.10C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.350=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為，故選C11B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即

10、可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.12B【解析】由題得，解得，計(jì)算可得.【詳解】，解得，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1320,21【解析】由題意知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗(yàn)即可.【詳解】解: 由題意知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時, ,.當(dāng)時, ,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為: 20,21【點(diǎn)睛

11、】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.14【解析】，所以15【解析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件?！驹斀狻坑深}意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：各項(xiàng)都是正數(shù)；和（或積）為定值；等號取得的條件。16【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于、依次成等比數(shù)列，則，即，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算

12、能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），（2）0【解析】（1）分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時的幾何意義求解【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，即（2）把為參數(shù)）代入，得，解得：，即，滿足【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題18（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)

13、定理算出的中點(diǎn)，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設(shè)的準(zhǔn)線為，過作于，則由拋物線定義，得，因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，則，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn)，斜率問題時，可采用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.19（1）：，：；（2），此時.【解析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)

14、且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標(biāo)為.試題解析： （1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確保互化前后方程的等價性注意方程中的參數(shù)的變化范圍20（1）；（2）見解析【解析】（1）由題意，

15、只需找到的最大值即可；（2），構(gòu)造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價于，（）當(dāng)時，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，（）當(dāng)時，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的最大值為3，即.（2）證明：根據(jù)（1）求解知，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題，是一道中檔題.21（1）；8079；（2）.【解析】（1）時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程由，得，由此能求出的值（2）根據(jù)若對任意給定的，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得

16、的取值范圍【詳解】（1），所以切線方程為.，. 令，則,. 因?yàn)? 所以, 由+得,所以. 所以.（2），當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)? 因?yàn)椋?，故，此時，當(dāng) 變化時、的變化情況如下：0+單調(diào)減最小值單調(diào)增，對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的， 使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件，即令，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對任意，有，即對任意恒成立.由式解得：綜合可知，當(dāng)時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決22（1），；（2）或【解析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方