數學二次函數與三角形綜合題型

1、6/622如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PCx軸于點D，交拋物線于點C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點P的坐標20如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B（3，0），與y軸交于點C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方上的動點，過點M作MNy軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是

2、否存在點P，使PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由23已知拋物線C1的頂點為P（1，0），且過點（0，）將拋物線C1向下平移h個單位（h0）得到拋物線C2一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點（如圖），且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m2（m0）（1）求拋物線C1的解析式的一般形式；（2）當m=2時，求h的值；（3）若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點E，與拋物線C2交于點F求證：tanEDFtanECP=22解：（1）B（4，m）在直線y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx

3、+6上，解得，拋物線的解析式為y=2x28x+6（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，當n=時，線段PC最大且為（3）PAC為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則APC=90由題意易知，PCy軸，APC=45，因此這種情形不存在；ii）若點A為直角頂點，則PAC=90如答圖31，過點A（，）作ANx軸于點N，則ON=，AN=過點A作AM直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）設直線AM的解析式為：y=kx+

4、b，則：，解得，直線AM的解析式為：y=x+3 又拋物線的解析式為：y=2x28x+6 聯(lián)立式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）C（3，0），即點C、M點重合當x=3時，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若點C為直角頂點，則ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，拋物線的對稱軸為直線x=2如答圖32，作點A（，）關于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）當x=時，y=x+2=P2（，）點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，綜上所述，PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）23已知拋物線C1的頂點為P（1，0），且過點（0，）將拋物線C1向下平

5、移h個單位（h0）得到拋物線C2一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點（如圖），且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m2（m0）（1）求拋物線C1的解析式的一般形式；（2）當m=2時，求h的值；（3）若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點E，與拋物線C2交于點F求證：tanEDFtanECP=考點二次函數綜合題專題代數幾何綜合題；壓軸題分析（1）設拋物線C1的頂點式形式y(tǒng)=a（x1）2，（a0），然后把點（0，）代入求出a的值，再化為一般形式即可；（2）先根據m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標，然后利用拋物線解析式求出點C的橫坐標，再根據關于y軸對

6、稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標一樣求出點A的坐標，然后根據平移的性質設出拋物線C2的解析式，再把點A的坐標代入求出h的值即可；（3）先把直線AB與x軸的距離是m2代入拋物線C1的解析式求出C的坐標，從而求出CE，再表示出點A的坐標，根據拋物線的對稱性表示出ED，根據平移的性質設出拋物線C2的解析式，把點A的坐標代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證解答（1）解：設拋物線C1的頂點式形式y(tǒng)=a（x1）2，（a0），拋物線過點（0，），a（01）2=，解得a=，拋物線C1的解析式為y=（x1）2，一般形式為y=x2x+；（2）解：當m=2時，m2=4，

7、BCx軸，點B、C的縱坐標為4，（x1）2=4，解得x1=5，x2=3，點B（3，4），C（5，4），點A、C關于y軸對稱，點A的坐標為（5，4），設拋物線C2的解析式為y=（x1）2h，則（51）2h=4，解得h=5；（3）證明：直線AB與x軸的距離是m2，點B、C的縱坐標為m2，（x1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=12m，點C的坐標為（1+2m，m2），又拋物線C1的對稱軸為直線x=1，CE=1+2m1=2m，點A、C關于y軸對稱，點A的坐標為（12m，m2），AE=ED=1（12m）=2+2m，設拋物線C2的解析式為y=（x1）2h，則（12m1）2h=m2，解得h=2m+1，EF=h+m2=m2+2m+1，tanEDFtanECP=，tanEDFt