2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷(二)數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國卷（二）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合且，則的非空真子集的個數(shù)為( )A30B31C62D63【答案】A【解析】先化簡集合A，再根據(jù)非空真子集的個數(shù)與集合A的元素個數(shù)間的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榧锨?，所以的非空真子集的個數(shù)為 .故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A2B4CD5【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再求出模長|z|【詳解】，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘

2、除運(yùn)算與模長計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題3若正六邊形邊長為2，中心為，則（ ）A2BC4D【答案】B【解析】由正六邊形的性質(zhì)的易得，由此可化簡得，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，為正六邊形， 易知，正六邊形邊長為2，即，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.4從集合中任取2個數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】通過列舉法，計(jì)算出符合條件的基本事件總數(shù)，以及“和為偶數(shù)”這一事件所含基本事件個數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】集合中任取2個數(shù)，則基本事件為：，10個；“和為偶數(shù)”這一事件包含的基本事件為：，共4個；故所求概率為

3、.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.5在上，滿足方程的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】先利用誘導(dǎo)公式對原方程進(jìn)行化簡，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合角的范圍，解出即可.【詳解】，解得或，又，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.6雙曲線：（，），左、右焦點(diǎn)分別為、，過且垂直于軸的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，則一條漸近線斜率為（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知條件求出坐標(biāo)，可得，由雙曲線的對稱性可知，結(jié)合可得，列方程解出，即可得雙曲線的一條漸近線斜率.【詳解】把代入，解得， 結(jié)合雙曲線的對稱性，由題可知，又，為等腰直角三角形，易

4、得：，即，兩邊平方得，又，整理得，故，解得，又，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線一條漸近線斜率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7遞減的等差數(shù)列滿足：，且，分別是某等比數(shù)列的第1，2，4項(xiàng)，則的通項(xiàng)公式為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題可知，表示出，設(shè)題干中的等比數(shù)列公比為，表示出，列方程組，消去得到關(guān)于的方程組，解出符合要求的，即可得到的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題可知，則，分別是某等比數(shù)列的第1，2，4項(xiàng)，設(shè)該等比數(shù)列公比為，整理得，而，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了方程思想

5、與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8李冶，真定欒城（今河北省石家莊市欒城區(qū)）人.金元時期的數(shù)學(xué)家.與楊輝、秦九韶、朱世杰并稱為“宋元數(shù)學(xué)四大家”.在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是天元術(shù)（設(shè)未知數(shù)并列方程的方法），用以研究直角三角形內(nèi)切圓和旁切圓的性質(zhì).李治所著測圓海鏡中有一道題：甲乙同立于乾隅，乙向東行不知步數(shù)而立，甲向南直行，多于乙步，望見乙復(fù)就東北斜行，與乙相會，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，問通弦?guī)缀?翻譯過來是：甲乙兩人同在直角頂點(diǎn)處，乙向東行走到處，甲向南行走到處，甲看到乙，便從走到處，甲乙二人共行走1600步，比長80步，若按如圖所示的程序框圖執(zhí)行求，則判斷框中應(yīng)填入的條件為( ) ABC

6、D【答案】A【解析】根據(jù)題意得， 則 ，所以 ，再根據(jù)為直角三角形 求解.【詳解】由題意得， 則 ，所以 ，符合程序框圖所示:又為直角三角形，且， 所以 .故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.9已知，則在上的所有解的和為（ ）ABCD【答案】D【解析】由函數(shù)的解析式得到的最小正周期，結(jié)合正弦型函數(shù)的特征，從而判斷解的個數(shù)及分布，根據(jù)對稱性即可求出在上的所有解的和.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，值域?yàn)?，在，上各有兩解，分別為，令，解得，對稱軸：，又，當(dāng)時，與的交點(diǎn)關(guān)于對稱，當(dāng)時，與的交點(diǎn)關(guān)于對稱，由的對稱性可得，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型

7、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.10奇函數(shù)滿足：對任意，都有，在上，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由為奇函數(shù)，結(jié)合，得到的周期，從而化簡所求的表達(dá)式，即可求解.【詳解】為奇函數(shù)，定義域?yàn)椋瑢θ我?，都有，又對任意，都有，為周期是的函?shù)，又，在上，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期性和奇偶性，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，最長的棱的長度為（ ）ABC3D【答案】C【解析】根據(jù)三視圖知該幾何體是一個三棱錐，在正方體中還原幾何體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)及勾股定理求出各條棱長即可得出結(jié)論【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個三棱錐， 畫

8、出圖形如圖所示：正方體的棱長為2，A、C為所在棱的中點(diǎn)，則CD=1，BC=AD=，BD=BE=CF=，結(jié)合圖形可得, AEB，AFC，AFD為直角三角形，由勾股定理得AB，AC=，最長的棱為AB=，故選：C.【點(diǎn)睛】本題由三視圖求幾何體棱長，需先還原幾何體，棱錐還原通常借助正方體或者長方體，可以看成由長方體(或正方體)切割而截成的，屬于中等題.12已知，則( )A1BC2D【答案】B【解析】根據(jù)，轉(zhuǎn)化變形推出，得到函數(shù) 的周期為6再求解.【詳解】因?yàn)?，所以所以所以，所以，所以函?shù) 的周期為6，故故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，還考查了變形轉(zhuǎn)化解決問題的能力，屬于中檔題.二、填

9、空題13已知（），曲線上存在兩點(diǎn)，使以，為切點(diǎn)的切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】寫出的導(dǎo)數(shù)，并求出范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出不等式，進(jìn)行求解即可.【詳解】由題可得，曲線上存在兩點(diǎn)，使以，為切點(diǎn)的切線相互垂直， ， 解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.14已知，滿足線性約束條件目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】根據(jù)，滿足線性約束條件，且直線過定點(diǎn) ，將目標(biāo)函數(shù)化為，平移直線，根據(jù)時，最優(yōu)解在直線上，而在可行域內(nèi)，且滿足結(jié)合圖形求解.【詳解】，滿足線性約束條件，直線，過定點(diǎn) 目標(biāo)函數(shù)化為，平移直線，在

10、y軸上截距最大時，目標(biāo)函數(shù)值最大，當(dāng)時，可知：最優(yōu)解在直線上，而在可行域內(nèi)，且滿足.所以最大值點(diǎn)為 如圖所示：所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.15已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合.橢圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，三點(diǎn)共線，則橢圓的離心率為_.【答案】【解析】利用橢圓與拋物線的對稱性，根據(jù)橢圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，三點(diǎn)共線，則有 ，再由求解.【詳解】因?yàn)闄E圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，三點(diǎn)共線，所以 ， ，即 ，所以，所以，解得 .故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓與拋物線的對稱性和幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬

11、于中檔題.16自然奇數(shù)列排成以下數(shù)列，若第行有個數(shù)，則前行數(shù)字的總和為_.【答案】【解析】由題中數(shù)列的規(guī)律可得，第行數(shù)字的個數(shù)及其第1個數(shù)字和最后一個數(shù)字，由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)，利用等比數(shù)列的求和公式，求出前行數(shù)的個數(shù)，再利用等差數(shù)列求和公式，求出前行數(shù)字的總和即可.【詳解】通過觀察可知，第行共有個，第1個數(shù)字為，最后一個為，前行數(shù)的個數(shù)，前行數(shù)字總和為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差（比）數(shù)列的求和公式，考查了歸納推理能力，屬于中檔題.三、解答題17在中，且.（1）求；（2）若，求的周長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，可得，結(jié)合的范圍，可得的值；（2）由

12、已知利用三角形的面積公式可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知求出的值，即可得到的周長.【詳解】（1）在中，則，由正弦定理得，. （2）由（1）得，在中，由余弦定理得，又，解得（負(fù)值舍去），故.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用以及三角形的面積公式，考查了兩角和的正弦公式，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.18如圖，在四棱錐中，.為銳角，平面平面.（）證明：平面；（）與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的表面積.【答案】（）證明見解析；（）.【解析】（）作于，根據(jù)平面平面 得到平面. ，取中點(diǎn)為，則，且，得到，有，由線面垂直的判定定理，得到平面，再由得證.（）由（）知：平面，根據(jù)線面角的定

13、義，故即為與平面所成角，所以有，三棱錐的四個面都是直角三角形，由三角形的面積公式求解.【詳解】（）如圖所示：作于，因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面. 所以取中點(diǎn)為，則，且所以所以， 又為銳角，點(diǎn)與點(diǎn)不重合.所以平面.又，與為平面內(nèi)兩條相交直線，故平面.（）由（）知：平面，故即為與平面所成角，.在中，故，.而，所以故所求表面積為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化和幾何體表面積的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19西部某貧困村，在產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，在荒山上散養(yǎng)優(yōu)質(zhì)雞，城里有7個飯店且每個飯店一年有300天需要這種雞，飯店每天需要的數(shù)量是1418之間的

14、一個隨機(jī)數(shù)，去年飯店這300天里每天需要這種雞的數(shù)量（單位：只）如下表：1415161718頻數(shù)4560756060這300天內(nèi)，假定這7個飯店的情況一樣，只探討飯店當(dāng)天的需求量即可.這300天內(nèi)，雞廠和這7個飯店聯(lián)營，每天出欄雞是定數(shù)，送到城里的這7個飯店，從飼養(yǎng)到送到飯店，每只雞的成本是40元，飯店給雞廠結(jié)算每只70元，如果7個飯店用不完，即當(dāng)天每個飯店的需求量時，剩下的雞只能以每只元的價錢處理.（）若，求雞廠當(dāng)天在飯店得到的利潤（單位：元）關(guān)于飯店當(dāng)天需求量（單位：只，）的函數(shù)解析式；（）若，求雞廠當(dāng)天在飯店得到的利潤（單位：元）的平均值；（）時，以表中記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)

15、生的概率，求雞廠當(dāng)天在飯店得到的利潤大于479元的概率.【答案】（）；（）465元；（）.【解析】（）根據(jù)每只雞的成本是40元，飯店給雞廠結(jié)算每只70元，如果7個飯店用不完，即當(dāng)天每個飯店的需求量時，剩下的雞只能以每只元的價錢處理，建立分段利潤函數(shù)模型.再將代入求解.（）根據(jù)（）知，將，代入得，根據(jù)表中記錄，300天中，有45天的利潤是420元/天，有60天的利潤是450元/天，有195天的利潤是480元/天，再用平均數(shù)公式求解.（）當(dāng)時，令 得到，再從表中記錄，根據(jù)頻率求解概率.【詳解】（）當(dāng)時，當(dāng)時，得：.（）由（）知，300天中，有45天的利潤是420元/天，有60天的利潤是450元/天

16、，有195天的利潤是480元/天，所以雞廠當(dāng)天在飯店得到的利潤（單位：元）的平均值為（元）.（）當(dāng)時，當(dāng)時，雞廠當(dāng)天在飯店得到的利潤元，所以雞廠當(dāng)天在飯店得到的利潤大于479元的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體，還考查了分段函數(shù)的應(yīng)用和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20已知：僅有1個零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，對進(jìn)行分類討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理，判斷是否為符合題意的范圍即可；（2）將不等式的左邊可變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，由（1）可得不等式右邊有，利用放縮法證明原不等式成立即可，

17、在放縮過程中需要注意等號成立的條件.【詳解】（1），定義域?yàn)?，?dāng)時，為增函數(shù)，而，僅有1個零點(diǎn)，滿足題意，當(dāng)時，令，解得；令，解得，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，當(dāng)時，此時僅有1個零點(diǎn)，符合條件；當(dāng)，即時，在上，單調(diào)遞增，有一個零點(diǎn)，在上，單調(diào)遞減，由零點(diǎn)存在性定理可得在也有一零點(diǎn)，不符合條件；當(dāng)，即時，在上，單調(diào)遞減，有一個零點(diǎn)，在上，單調(diào)遞增，由知，即，由零點(diǎn)存在性定理可得在也有一零點(diǎn)，不符合條件；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是. （2）.令，則.令則，即在單調(diào)遞增，又，在有且僅有1個零點(diǎn)，設(shè)為，則，即，最小值為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可得：，而以上

18、兩式不同時取等，故.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及放縮法在不等式證明中的應(yīng)用，考查了分類討論的思想，屬于較難題.21在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓的極坐標(biāo)方程為.（）當(dāng)時，把直線的參數(shù)方程化為普通方程，把橢圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，中點(diǎn)為，求直線的斜率.【答案】（），；（）.【解析】（）根據(jù)直線的參數(shù)方程為，且，消去t即可直線的的普通方程.根據(jù)橢圓的極坐標(biāo)方程，變形為，再利用 求解.（）將直線的參數(shù)方程代入橢圓的直角坐標(biāo)方程整理得，利用，中點(diǎn)為，且直線過，利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為，且，所以，消去t得，所以直線的普通方程為：；因?yàn)闄E圓的極坐標(biāo)方程為.所以，橢圓的直角坐標(biāo)方程為：.（）將直線的參數(shù)方程代入橢圓的直角坐標(biāo)方程整理得：，因?yàn)椋悬c(diǎn)為所以，故，所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直角