例談復(fù)合函數(shù)的教學(xué)要點(diǎn)

1、PAGE PAGE 4例談復(fù)合函數(shù)的教學(xué)要點(diǎn)莊浪一中數(shù)學(xué)組 馬福泰復(fù)合函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常遇到的一類(lèi)函數(shù).縱觀近十年的高考數(shù)學(xué)試題，復(fù)合函數(shù)已成為高考命題的熱點(diǎn).事實(shí)上，學(xué)好復(fù)合函數(shù)對(duì)深化函數(shù)概念，提高學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要意義.但高中數(shù)學(xué)課本中沒(méi)有對(duì)復(fù)合函數(shù)作全面的介紹，教師雖然就題論題點(diǎn)點(diǎn)滴滴地介紹了一些復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，但大多數(shù)高中學(xué)生尤其是高一學(xué)生還是感到茫然.因此，在復(fù)合函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師很有必要對(duì)復(fù)合函數(shù)中有關(guān)高考要求的知識(shí)點(diǎn)，加以歸納、整理、使之系統(tǒng)化，從而對(duì)學(xué)生比較全面地掌握復(fù)合函數(shù)有重要作用.1、對(duì)復(fù)合函數(shù)概念的理解，要把握：“內(nèi)、中、外”幾個(gè)環(huán)節(jié)

2、要全面扎實(shí)地學(xué)習(xí)掌握復(fù)合函數(shù)的系列知識(shí)，首先要正確理解復(fù)合函數(shù)的基本概念，這是進(jìn)行復(fù)合函數(shù)教學(xué)的基本前提.那么，教師如何幫助學(xué)生正確理解復(fù)合函數(shù)的定義呢？筆者認(rèn)為，關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生把握“內(nèi)、中、外”幾個(gè)環(huán)節(jié).我們都知道，復(fù)合函數(shù)定義為：如果是的函數(shù)，而又是的函數(shù)，即和，那么關(guān)于的函數(shù)叫做函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，可見(jiàn),復(fù)合函數(shù)的定義中包括兩個(gè)函數(shù)，兩個(gè)自變量，我們不妨將叫做復(fù)合函數(shù)的“內(nèi)函數(shù)”， 叫做復(fù)合函數(shù)的“外函數(shù)”， 叫做“中間變量”.如函數(shù)是由指數(shù)函數(shù) (“外函數(shù)” )和一次函數(shù)(“內(nèi)函數(shù)” )復(fù)合而成的，中間變量是.只有把握住這三個(gè)基本環(huán)節(jié)，學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)的定義時(shí)才能有序而全面, 有助于培養(yǎng)

3、其有條不紊的思維習(xí)慣.2、對(duì)復(fù)合函數(shù)定義的求解，要由此及彼，協(xié)同完成函數(shù)是由和兩函數(shù)復(fù)合而成，從形式來(lái)看，這里有三個(gè)自變量，而哪個(gè)自變量是復(fù)合函數(shù)的自變量，又如何去求復(fù)合函數(shù)的定義域呢？這往往是學(xué)生初學(xué)復(fù)合函數(shù)時(shí)易混淆的地方.鑒于此，筆者認(rèn)為，要求解復(fù)合函數(shù)的定義域，首先應(yīng)搞清楚復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成要素(自變量、對(duì)應(yīng)法則、因變量)，在此基礎(chǔ)上，明確復(fù)合函數(shù)的自變量是什么？然后依據(jù)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合不等式的有關(guān)性質(zhì)求復(fù)合函數(shù)自變量的取值范圍.即應(yīng)把握“由此及彼，協(xié)同完成”的原則求復(fù)合函數(shù)自變量的取值范圍.具體做法可敘述為如果把函數(shù)的定義域記為，值域記為，函數(shù)的定義域記為，值域記為，那么只有當(dāng)時(shí)，

4、兩個(gè)函數(shù)才能復(fù)合，其復(fù)合函數(shù)的定義域是在中的原象集，記為M.求復(fù)合函數(shù)的定義域的方法是，從滿(mǎn)足 的不等式求出相應(yīng)的集合. 例1 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)的定義域?yàn)椋?）(A)(0,1) (B)(1，) (C) (D) 解析 已知的定義域是，欲求的定義域，即要求滿(mǎn)足的取值范圍.而已知的定義域是，指的是。這樣本題中有，從而，所以選(B).例2 求復(fù)合函數(shù)的定義域解析 設(shè)易知， 又即，所以故原函數(shù)的定義域?yàn)?、對(duì)復(fù)合函數(shù)值域的求解，要由內(nèi)到外，層層突破復(fù)合函數(shù)值域的求解也是復(fù)合函數(shù)教學(xué)的要點(diǎn)之一.有些學(xué)生在解決這一問(wèn)題是往往理不出頭緒，思維次序比較混亂.鑒于此，筆者認(rèn)為，要正確求出復(fù)合函數(shù)

5、的值域，要按照復(fù)合函數(shù)的邏輯構(gòu)成去進(jìn)行，做到：“由內(nèi)到外，層層突破”.具體做法可敘述為：值域就是在中的象集，記為，求復(fù)合函數(shù)值域的基本方法是：先求出定義域，然后求出內(nèi)函數(shù)的值域，根據(jù)內(nèi)函數(shù)的值域求出外函數(shù)的值域，就是求復(fù)合函數(shù)的值域.例3 求函數(shù)的值域解析 ，此函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?故所求值域?yàn)?、復(fù)合函數(shù)解析式的求解要根據(jù)已知，巧妙施法復(fù)合函數(shù)解析式的求法沒(méi)有固定的模式，而要根據(jù)已知題設(shè)條件的特點(diǎn)，靈活多變的選擇不同的方法，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，經(jīng)常利用代入法、配方法、換元法及待定系數(shù)法求解析式.例4 ，求解析 先以換元法求，再用代入法求令，則所以即故例5 設(shè)函數(shù)是一個(gè)一次函數(shù)，若，求函數(shù)

6、的解析式解析 用待定系數(shù)法，設(shè)則，即 所以解得 故5. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定要依據(jù)規(guī)律，循序漸進(jìn)如何正確的判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，筆者認(rèn)為，要依據(jù)規(guī)律，循序漸進(jìn)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：設(shè)復(fù)合函數(shù)，令（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）.若內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)；簡(jiǎn)稱(chēng)：“同增異減”.具體確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可按下列步驟進(jìn)行：（1）求出外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）對(duì)每一個(gè)，由，求出出的集合（3）求出在上的單調(diào)區(qū)間（4）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，確定在上的單調(diào)性例6 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解析 設(shè)，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，使有意義從而 得例7 已知，討論函數(shù)的單調(diào)性解析 顯然是偶函數(shù)，所以只需討論的情形令，則在上遞減，在上遞增由且，得，又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)由且，得，又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)因是偶函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)當(dāng)然，我們也可以