2010概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5章

1、第5章 大數(shù)定律和中心極限定理5.1 大數(shù)定律5.2 中心極限定理 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象. 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種: 與大數(shù)定律中心極限定理5.1 大數(shù)定律一、依概率收斂的概念二、切比雪夫不等式三、切比雪夫大數(shù)定律四、伯努利大數(shù)定律五、辛欽大數(shù)定律定義一、依概率收斂的概念依概率收斂不是通常微積分中的收斂因此設(shè)隨機變量 的期望值 方差則對于任意給定的正數(shù)

2、有二、切比雪夫不等式注:(1)切比雪夫不等式也可以寫成(2)切比雪夫不等式表明：則事件發(fā)生的概率越大，即，隨機變量集中在期望附近的可能性越大.隨機變量的方差越小，(3)在方差已知的情況下，它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取則有切比雪夫不等式給出了與故對任給的分布，只要期望和方差存在，則隨機變量取值偏離超過3倍均方差的概率小于例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是 7300,均方差是 700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在 5200 9400 之間的概率.解設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為依題意,所求概率為由切比雪夫不等式即每毫升白細(xì)胞數(shù)在 5200 9400 之間的概率不小于 8/

3、9.例2在每次試驗中,事件發(fā)生的概率為 0.75,利用切比雪夫不等式求:獨立試驗次數(shù)最小取何值時,事件出現(xiàn)的頻率在 0.74 0.76 之間的概率至少為 0.90?解設(shè)為次試驗中,事件出現(xiàn)的次數(shù),則在切比雪夫不等式中取則依題意,取使解得即取 18750 時,可以使得在次獨立重復(fù)試驗中,事件出現(xiàn)的頻率在之間的概率至少為 0.90.三、切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫切比雪夫大數(shù)定律說明：在定理的條件下，當(dāng)n充分大時，n個獨立隨機變量的平均數(shù)這個隨機變量的離散程度是很小的.這意味著只要n充分大，盡管n個隨機變量可以各有其分布，但其算術(shù)平均以后得到的隨機變量 將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望 的附近，不再為個別

4、隨機變量所左右.作為切比雪夫大數(shù)定律的特例，我們有下面的推論.推論這一推論使算術(shù)平均值的法則有了理論根據(jù)四、伯努利大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律的另一個推論通常稱為伯努利大數(shù)定律 n重伯努利試驗中事件A發(fā)生n次, 每次試驗A發(fā)生的概率為 p，則對任意0, 有 伯努利大數(shù)定律表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率。由實際推斷原理,在實際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗次數(shù)很大時,可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。進一步研究表明，切比雪夫大數(shù)定律推論中的方差存在這個條件并不是必要的，下面給出一個獨立同分布場合下的辛欽大數(shù)定律。作業(yè)P139 練習(xí)5.11. 2.5.2 中心極限定理一、萊維中心極限定理二、棣莫佛拉普

5、拉斯中心極限定理 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機因素的影響.重要的是這些隨機因素的總影響. 如瞄準(zhǔn)時的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題當(dāng)n無限增大時，這個和的分布是什么？本節(jié)內(nèi)容 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.一、萊維中心極限定理一、萊維中心極限定理例1設(shè)有30個電子元件,它

6、們的壽命均服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(單位:小時),每個元件工作相互獨立,求他們的壽命之和超過350小時的概率.解由萊維中心極限定理即他們的壽命之和超過350小時的概率為0.1814標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表他們的壽命之和超過350小時例2一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,20),設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布。記 求PV105的近似值解E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12 ( k=1,2,20 ).近似服從正態(tài)分布N(0,1),由萊維中心極限定理例3 對敵人的防御地段進行100次炮擊, 在每次炮擊中, 炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2, 均方差為

7、1.5, 求在100次炮擊中,有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解設(shè)Xk為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,100),在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)Xk相互獨立，且E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)由萊維中心極限定理有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率二、棣莫佛拉普拉斯中心極限定理證明由于根據(jù)萊維中心極限定理得根據(jù)萊維中心極限定理得棣莫佛拉普拉斯中心極限定理表明:當(dāng)n充分大時, 正態(tài)分布是二項分布的極限分布,當(dāng)n充分大時, 可以利用下面公式計算二項分布的概率例4 某工廠有200臺同類型的機器,每臺機器工作時需要的電功率為Q千瓦,由于工藝等原因,每臺機器

8、的實際工作時間只占全部工作的75%,各臺機器工作是相互獨立的,求:(1)任一時刻有144至160臺機器正在工作的概率.(2)需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作的概率不少于0.99.解 (1)設(shè)隨機變量X表示200臺任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)，則 X B(200,0.75) .由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理, 有n =200,p =0.75,q =0.25,np =150,npq =37.5(1)任一時刻有144至160臺機器正在工作的概率.(2)設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過m,則由3 原則知，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得例4 某工廠有200臺同類型的機器,每臺機器工作時需要的電功率

9、為Q千瓦,由于工藝等原因,每臺機器的實際工作時間只占全部工作的75%,各臺機器工作是相互獨立的,求:(1)任一時刻有144至160臺機器正在工作的概率.(2)需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作的概率不少于0.99.解 (1)設(shè)隨機變量X表示200臺任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)，則 X B(200,0.75) .由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理, 有(1)任一時刻有144至160臺機器正在工作的概率.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得(2)設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過m,則思考題 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布.求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率.(2) 求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解(1) 以Xk ( k=1,2,400 )記第k個學(xué)