初高中銜接教材2013最新編輯

1、第一章 數(shù)與式的運(yùn)算1.1 實(shí)數(shù)的分類及其基本性質(zhì)【知識(shí)梳理】 有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)(包括整數(shù))或無限循環(huán)小數(shù)的形式；都可以表示成分?jǐn)?shù)(p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q0)反之，能表示成(p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q0)形式的數(shù)都是有理數(shù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成(p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q0)的形式有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，具體分類如下：實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)：1無界性：沒有最大的實(shí)數(shù)，也沒有最小的實(shí)數(shù)2稠密性：任何兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有無數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)3連續(xù)性：全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的4有序性：任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，則ab、a=b、ab三者之中有且僅有一個(gè)成立在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的

2、數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大5運(yùn)算的封閉性：任何兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)一定是實(shí)數(shù)；任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，才能開偶次方，其結(jié)果是實(shí)數(shù)任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)一定是有理數(shù)；但無理數(shù)不具有上述性質(zhì)設(shè)m為有理數(shù)，n為無理數(shù)，則m+n、mn是無理數(shù)；若m0，則mn、都是無理數(shù)；若m=0，則mn、是有理數(shù)6實(shí)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律【例題講解】【例1】 下列各數(shù)：1、3、+1、2+、中，哪些是整數(shù)？哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？【解】以上各數(shù)中為整數(shù)的是：1、3、；為有理數(shù)的是：1、3、；為無理數(shù)的是：、2+【例2】 若

3、x是實(shí)數(shù)，下列說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)給出成立的條件(1) x0； (2)2x是偶數(shù)； (3)|x|x； (5)(x)2= x2 ； (6)3x2x【解】(1) 不對(duì)，當(dāng)x0時(shí)成立； (2) 不對(duì)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)成立；(3) 不對(duì)，當(dāng)x0時(shí)成立； (4) 對(duì)；(5) 不對(duì)，當(dāng)x=0時(shí)成立； (6) 不對(duì)，當(dāng)x0時(shí)成立 【例3】 比較下列各組數(shù)的大小(1)2與3；(2)+與+2【解】 (1) 因?yàn)?=，3=， 因?yàn)?，所?3 (2) 因?yàn)?+)2=7+2，(+2)2=7+4=7+2， 因?yàn)?+27+2，所以+b，a=b，ab三種關(guān)系中的一種比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小方法有很多，可以通過變形(如本題(1)、(2

4、)后進(jìn)行判斷；也可以利用數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大來進(jìn)行判斷；還可以把實(shí)數(shù)化成小數(shù)后進(jìn)行判斷另外還有“比差法”與“比商法”等【例4】 若3+a=2b，求有理數(shù)a和b的值【解】 因?yàn)?=2b，a = ，所以a = ，b = 【說明】 設(shè)p為無理數(shù)，a、b、c、d為有理數(shù)，且b0，d0，若a+bp=c+dp，則必有a=c，b=d【例5】 求無理數(shù)的純小數(shù)部分【解】 因?yàn)?4，所以是整數(shù)3與一個(gè)小于1的正小數(shù)(即純小數(shù))的和，所以的純小數(shù)部分為3【說明】 無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，每一個(gè)無理數(shù)都能寫成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)小于1的正的純小數(shù)之和的形式【練習(xí)1.1】1下列各數(shù)：2、0.35、2中

5、，哪些是整數(shù)？哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？2若a是實(shí)數(shù)，下列說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)給出成立的條件(1) a20；(4) a2a；(5)(a)3 = a3；(6) a2a3比較下列各組數(shù)的大小(1) 5與7；(2) +與+ 4(1)若ab0，比較|a|與|b|的大??；(2)若ab0，比較a、|b|、ab的大小5求無理數(shù)的純小數(shù)部分6已知(2a1)2=9，求a的值7寫出絕對(duì)值小于的所有整數(shù)8設(shè)a、b是正有理數(shù)且(a+)a+(b)b=25+，求a、b的值1.2 絕對(duì)值及其幾何意義【知識(shí)梳理】數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值其代數(shù)意義就是：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反

6、數(shù)，零的絕對(duì)值是0即：|a|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離|ab|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)間的距離絕對(duì)值有如下運(yùn)算性質(zhì)：(1) |ab|=|a|b|；(2) (b0)；(3) |a|b|a+b|a|+|b|；左邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取到，右邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取到；(4) |a|b|ab|a|+|b|；左邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取到，右邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取到【例題講解】【例1】 化簡(jiǎn)：(1) |2x1|；(2) |x1|+|x3|【解】 (1)本題分2x10、2x10兩種情況討論：1o 當(dāng)x時(shí)，2x10，原式=2x1，2o 當(dāng)x時(shí)，2x10，原式=

7、12x，即：|2x1|=(2)本題分x1、1x3、x3三種情況討論：1o 當(dāng)x1時(shí)，x10，x30，原式= 42x；2o 當(dāng)1x3時(shí)，x10，x30，x30，原式= 2x4，即：|x1|+|x3|=【例2】若a、b、c是非零實(shí)數(shù)，求M=的值【分析】 在a0時(shí)為1，在a0時(shí)為1，所以M的值與a、b、c的正負(fù)及正負(fù)的個(gè)數(shù)有關(guān)【解】 當(dāng)a、b、c中三個(gè)全是正數(shù)，M=4；當(dāng)a、b、c中兩個(gè)為正數(shù)、一個(gè)為負(fù)數(shù)，M=0；當(dāng)a、b、c中兩個(gè)為負(fù)數(shù)、一個(gè)為正數(shù)，M=0；當(dāng)a、b、c中三個(gè)全是負(fù)數(shù)，M= 4【例3】 解方程：(1) |x1|=1； (2) x|x|2|x|3=0【解】 (1)根據(jù)絕對(duì)值的意義，x

8、1=1或x1= 1，即x=2或x=0；(2)當(dāng)x0時(shí)，原方程可化為：x22x3=0，解得：x=3或x= 1，但x0，故x= 1舍去；當(dāng)x21x圖1.2102【解】 (1)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義知不等式|x1|1的解為到點(diǎn)1距離小于或等于1的所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，由圖可知為：0 x2；311x圖1.22(2)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義知不等式|x+1|2的解為到點(diǎn)1距離大于2的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，由圖可知為：x1【說明】 本題也可以從整體換元的角度直接做，如第(1)題，我們把x1看成a，則有|a|1，有1a1，即1x11【例5】(1)解方程：|x+1|+|x1|=2；(2)若關(guān)于x的方程|x+1|+|x1|

9、=a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【分析】 本題可以像例1一樣采取零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值符號(hào)，現(xiàn)在我們從絕對(duì)值的幾何意義角度來思考這個(gè)問題【解】 (1)此方程的幾何意義為：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)1的點(diǎn)的距離之和為2考察數(shù)軸上的點(diǎn)可知：方程|x+1|+|x1|=2的解為：1x1的一切實(shí)數(shù)(2)代數(shù)式|x+1|+|x1|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)1的點(diǎn)的距離之和，易知此距離的最小值為2，所以當(dāng)a2時(shí)方程有解故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a2【練習(xí)1.2】1下列命題中哪些是真命題？(1)|ab|=|a|b|；(2)|ab|=|ba|；(3)若|a|=b，則a=b；(4)若

10、|a|b|，則ab；(5)|a+b|=|a|+|b|2若|a2|=2a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3化簡(jiǎn)：(1)； (2)|；(3)|1+| (a0)； (4)|1m| (1m2；(2)|x3|0得：a 2，故當(dāng)a 2，此方程的解為正數(shù)【例2】解關(guān)于的方程：(1)；(2)解：(1) 由原方程得， 當(dāng)時(shí)，方程的解是；當(dāng)時(shí)，方程的解是任意實(shí)數(shù)；(2) 由原方程得，當(dāng)ab0且a+b0時(shí)，方程的解是；當(dāng)ab0且a+b=0時(shí)，方程無解；當(dāng)ab=0時(shí)，方程的解是任意實(shí)數(shù)【例3】解含有絕對(duì)值的方程：(1) 解方程：|2x 1| = |3x+1|； (2)求關(guān)于x的方程的解【解】解法一：2x1=3x+1或2x1 =

11、(3x+1) ， x = 2 或 x = 0；解法二：兩邊平方得：(2x1)2 = (3x+1)2 ，整理得： x2+2x=0， 解得：x= 0或x = 2【說明】 一般我們?cè)谔幚砣ソ^對(duì)值時(shí)可以考慮用平方法替代分類討論簡(jiǎn)化計(jì)算(2)原方程化為需根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論：當(dāng) a 3時(shí)，原方程化為 或 ，解得：或【例4】當(dāng)k、m分別為何值時(shí)，關(guān)于x、y的方程組至少有一組解【解】當(dāng)時(shí)，方程組有無窮解，當(dāng)k2k1時(shí)，方程組有唯一解，所以當(dāng)k1或k=1且m=4時(shí)，方程組至少有一組解【說明】一般地，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程組有無窮解，當(dāng)且僅當(dāng)k1 k2時(shí)，方程組有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程組無解【例5】 解關(guān)于

12、x、y的方程組： (ab0，|a|b|)【解】 兩式相減整理得：(ab)x = (ab)y，因?yàn)?ab0，|a|b|，得：x=y， 回代任一方程可得x=1，同理y=1，所以，原方程組的解是【例6】 已知方程組在什么情況下方程組有唯一解？無解？ 有無數(shù)多組解？ 【解】 由(1)得：x=32y (3)將(3)代入(2)得：2(32y)+my=n，即：(m4)y = n6，當(dāng)m 4時(shí)，代入(3)得：,當(dāng)m = 4，n = 6時(shí)，y可取一切實(shí)數(shù)，得：滿足x+2y = 3的一切實(shí)數(shù)對(duì) 當(dāng)m = 4，n 6時(shí)，代入(1)，方程無解，所以(1) 當(dāng)m 4時(shí)， ，(2) 當(dāng)m = 4且n 6時(shí)，無解，(3)

13、當(dāng)m = 4且n = 6時(shí)，有無數(shù)多組解【說明】 由圖像法解二元一次方程組 (a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知非零實(shí)數(shù)，若有零，則單獨(dú)檢驗(yàn))，可有三種情況：(1) 當(dāng)時(shí)，兩直線相交于一點(diǎn)，原方程組有一個(gè)解；(2) 當(dāng)時(shí)，兩直線重合，原方程組有無數(shù)個(gè)解；(3) 當(dāng)時(shí)，兩直線平行，原方程組無解【例7】 不論取什么實(shí)數(shù)，方程(21)x+(+3)y(11)=0是否總有定解，如存在請(qǐng)求出這組解，如不存在請(qǐng)說明理由【解】解法一 令=0，得：x+3y+11=0 ，令=1，得：x+4y+10=0 ，解、所組成的方程組，解之得：，現(xiàn)將代入已知方程的左邊，得：(21)2+(+3)(3)(11)=4239

14、+11=0，這表明不論取什么實(shí)數(shù)，所給方程均有定解解法2：化簡(jiǎn)原方程為：(x+3y+11)+(2x+y1) = 0，由，再將點(diǎn)代入已知方程的左邊，(21)2+(+3)(3)(11)=4239+11=0，這表明不論取什么實(shí)數(shù)，所給方程均有定解【說明】 一般我們對(duì)于含有參數(shù)的題目，會(huì)通過參數(shù)分離法進(jìn)而得出恒定方程此題的另一個(gè)結(jié)論就是：這條直線恒經(jīng)過點(diǎn)(2, 3)【練習(xí)2.1】1解關(guān)于x的方程：(1) ；(2) (a1)(a4)x=a2(x+1)2解關(guān)于x的方程：(1)；(2)3解關(guān)于的方程組4當(dāng)和取何值時(shí)，直線和直線互相平行？5已知：直線，不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)6已知直線l：5

15、ax5ya+3=0，求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限7已知兩直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程是，為什么？2.2 一元一次不等式(組)【知識(shí)梳理】一元一次不等式經(jīng)過變形均可化為axb或axb或axbax0a0無解一切實(shí)數(shù)b=0無解無解b0一切實(shí)數(shù)無解由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式所組成的不等式組叫做一元一次不等式組不等式組的解應(yīng)使不等式組中所有不等式都成立，因此不等式組的解是不等式組中所有不等式的解的公共部分【例題講解】【例1】解不等式【解】 不等式兩邊同乘以2得：4x(x+3)2+x，整理得：2x5，所以x1，解不等式(2)，得x ，所以不等式組的解是1 1，不等式的解集

16、為一切實(shí)數(shù)；(3) 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為【例4】求關(guān)于的不等式組的解解：由(1)得x1應(yīng)分以下兩種情形討論： 當(dāng)a1時(shí)，原不等式組無解； 當(dāng)a1時(shí)，原不等式組的解集為1x0，y隨著x的增大而增大，由此可得： 4y22?！菊f明】 在直角坐標(biāo)內(nèi)作出方程y3x=7的圖像，通過觀察圖像得出y的取值范圍，也很直觀【例6】若關(guān)于x的不等式：的任何一個(gè)解x都小于(1)求a的取值范圍；(2)求a的最小整數(shù)值【解】(1)不等式兩邊同乘以5，得：32x+55a，整理得：2x85a，所以x ”、“ ”若，則_；若，則_；若，則_；若，則_；2若不等式的解是，則得取值范圍_ 3解關(guān)于x的不等式：(1)；(2)4設(shè)關(guān)

17、于x的不等式的解集為x0時(shí)，方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)根 ；(2) 當(dāng)=0時(shí)，方程(*)有兩個(gè)相等的實(shí)根 ；(3) 當(dāng)0；(2) 當(dāng)方程(*)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，=0 ；(3) 當(dāng)方程(*)沒有實(shí)根時(shí)，2 (B)k2且k1 (C)k2且k1(2)若x1、x2是方程2x26x+3=0的兩個(gè)根，則的值為 ( )(A) 2(B) 2 (C) (D) (3)已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程的根，則等于 ( )(A) 3(B) 5 (C) 5或3 (D) 5或3(4)若實(shí)數(shù)ab，且a、b滿足，則的值為 ( )(A) 20(B) 2 (C) 2或20(D)

18、 2或202填空題(1) 若方程的兩根之差為1，則的值是 _ (2) 設(shè)x1、x2是方程x2+px+q=0的兩實(shí)根，x1+1、x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩實(shí)根，則p= ，q= 3解方程：(1)；(2)4a為何值時(shí)，關(guān)于x的分式方程無解？5已知關(guān)于x、y的方程組有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，求m的值及這個(gè)方程組的解6已知：關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)梳理】韋達(dá)定理：方程ax2+bx+c=0 (a0)的二實(shí)根為x1、x2，則，若y=f(x)與x軸有交點(diǎn)(x0, 0)f(x0)=0，若y=f(x)與y=g(x)有交點(diǎn)(x0，y0) f(x)=g

19、(x)有解x0設(shè)一元二次方程為ax2+bx+c=0 (不妨設(shè)a0)，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c (a0)借助于函數(shù)圖像，可以從判別式、對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值符號(hào)三個(gè)方向進(jìn)行分析，可以得到如下規(guī)律：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)無實(shí)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)圖像恒在x軸上方0)1若ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，若x1、x2均大于實(shí)數(shù)m，則必有：，反之亦然，(或)；2若ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，若x1、x2均小于實(shí)數(shù)m，則必有：，反之亦然，(或)；3若ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，若x1mx2，則必有：f(m)0，

20、反之亦然；4若ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，若m1m2，且x1、x2有且僅有一個(gè)根介于m1、m2之間，則必有：f(m1)f(m2)0，反之亦然；5若ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，若m1x1x2m2，則必有： ，反之亦然3ox=2yx圖2.31【例題講解】【例1】 一元二次方程x24x+a=0有兩個(gè)實(shí)根x1、x2，一個(gè)比3大，另一個(gè)比3小，求a的取值范圍【解】解法一：由，解得：a3o2xy圖2.32解法二：設(shè)f(x)=x24x+a，則如圖2.31所示，只須f(3)0，解得a3【例2】 已知一元二次方程x2+(a29)x+a25a+6=0的一個(gè)實(shí)根小于0，另一個(gè)實(shí)根大于

21、2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：如圖2.32，設(shè)f(x)= x2+(a29)x+a25a+6，則只須，解之得，所以2a0，二是x1=x2，所以要分類討論【解】(1) 因?yàn)榉匠虄蓪?shí)根的積為5，所以 ，所以k，k= 4，所以，當(dāng)k = 4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由|x1| = x2得知：當(dāng)x10時(shí)，x1 = x2，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故 = 0得k = ；當(dāng)x1 0得k ，故不合題意，舍去綜上可得，k = 時(shí)，方程的兩實(shí)根x1、x2滿足|x1|= x2【說明】 根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足0【例4】 當(dāng)m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程4

22、x2+(m2)x+(m5)=0分別有：兩個(gè)正實(shí)根；一正根和一負(fù)根；正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值；兩根都大于1【解】 設(shè)方程4x2+(m2)x+(m5)=0的兩根為x1、x2，若方程4x2+(m2)x+(m5)=0有兩個(gè)正根，則需滿足：符合條件的m的值不存在.所以原方程不可能有兩個(gè)正根.若方程4x2+(m2)x+(m5)=0有一正根和一負(fù)根，則需滿足：m5所以此時(shí)m的取值范圍是m5.若方程4x2+(m2)x+(m5)=0的正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值，則需滿足：m2.所以此時(shí)m的取值范圍是(-,2).解：若方程4x2+(m2)x+(m5)=0的兩根都大于1，則需滿足：故符合條件的m 值不存在所以此時(shí)符合

23、條件的m 值不存在，即原方程不可能兩根都大于1.【例5】 已知方程2(k+1)x2+4kx+3k2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解】要原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必須：所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是2k1或k1【說明】 解這類含參二次方程的實(shí)根分布問題時(shí)，充分利用了二次方程根的判別式和韋達(dá)定理這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，但此法有時(shí)不大奏效下面將主要結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，介紹一元二次方程實(shí)根分布情況【例6】 是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得二次方程x2+(2k+1)x(3k+2)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2

24、與4之間？若有，試確定k的取值范圍；若沒有，簡(jiǎn)述理由【解】 設(shè)f(x)=x2+(2k1)x(3k+2)，則其圖像為開口向上的拋物線根據(jù)題意若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間，則拋物線與x軸應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)都在2與4之間(如圖)符合條件的k值應(yīng)滿足下列條件：2oyx圖2.334即 因?yàn)檫@個(gè)不等式組無解，故符合條件的k值不存在 【例7】 實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于x的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3解： 12a0【說明】 此題利用函數(shù)圖像及函數(shù)值來“控制”一元二次方程根的分布解法直觀而簡(jiǎn)捷【練習(xí)2.4】1關(guān)于x的方程x2+ax+a1=0有異號(hào)

25、的兩個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍2關(guān)于x的方程x2ax+a24=0有兩個(gè)正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 3已知關(guān)于x的方程 (k2)x2(3k+6)x+6k=0有兩個(gè)負(fù)根，求k的取值范圍4實(shí)數(shù)m為何值時(shí)關(guān)于x的方程7x2(m+13)x+m2m2=0的兩個(gè)實(shí)根x1、x2滿足(1)0 x1x22；(2) 0 x11，1x22 5設(shè)關(guān)于x的方程4x24(m+n)x+m2+n2=0有一個(gè)實(shí)根大于1，另一個(gè)實(shí)根小于1，則m、n必須滿足什么關(guān)系 6已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)您說明理由7若x1、x2是關(guān)于x的

26、方程x2(2k+1)x+k2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1、x2都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值2.5 可化為一元二次方程的其他方程【知識(shí)梳理】解分式方程的步驟：(1)把各分式的分母分解因式；(2)在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母；(3)去括號(hào)，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)；(4)解一元二次方程；(5)驗(yàn)根解簡(jiǎn)單的無理方程的步驟：(含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程)(1)移項(xiàng)，使方程的左邊僅保留含未知數(shù)的二次根式，其余的項(xiàng)移到方程的右邊；(2)兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程(一元一次方程或一元二次方程)；(3)解整式方程；(4)驗(yàn)根簡(jiǎn)單的高次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，且未

27、知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)大于2的整式方程叫做一元高次方程解簡(jiǎn)單的高次方程的方法：一元高次方程的解法通常用試根法因式分解或換元法達(dá)到降次的目的，轉(zhuǎn)換為一元一次方程或一元二次方程，從而求出一元高次方程的解【例題講解】【例1】解方程：(1)； (2) 18=【解】(1)解法一 方程兩邊同時(shí)乘以x(x+1)(x+4)，得到：x(x2)=x(x+4)+(x4)(x+1)，即：x2+3x4=0，解之得：x=1或x=4，經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是增根，(舍去)，x=1是原方程的根解法二 原方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為即：所以原方程的根是x=1(2) 設(shè)u=，則原方程可化為：u+=18，即：u218u+72=0，解之得：u=6或u=12

28、，(1)若u=6，則=6，即：x22x+6=0，此方程無解；(2)若u=12，則=12，即：x28x+12=0，解之得：x=2或x=6經(jīng)檢驗(yàn)，x=2，x=6都是原方程的根【說明】解第(2)題的關(guān)鍵是把方程中的看做一個(gè)整體，通過“換元”化簡(jiǎn)方程另外分式方程的解必須檢驗(yàn)【例2】解關(guān)于x的方程： (a0) 【解】原方程可化為ax=ax，即：(a+1)x=a，(1) 當(dāng)a=1時(shí)，方程無解；(2) 當(dāng)a1時(shí)，x=，因?yàn)閍0，所以x0且xa【說明】字母討論的目的就是分清解的情況【例3】解方程：x+=6【解】原方程可化為=6x， (1)考慮x的取值范圍，可得：，所以x的取值范圍是4x6，(1)式兩邊平方x4

29、=x212x+36，整理得：(x5)(x8)=0，所以x=5或x=8 (舍去)【例4】解方程：2x25x5=x+5【解】原方程可化為：2x26x25=3，設(shè)u=，則原方程又可化為：2u25u3=0，解之得：u=3或u=，由=3，得x=2或x=5，由= ，此方程無解，經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解為：x=2或x=5【例5】 解方程：【解】根據(jù)合分比定理： ，得：，去分母得：(x2a)+(x+2a)=0，(+)=0，解之得：x=2a，經(jīng)檢驗(yàn)知：x=2a是原方程的根【說明】形如的方程，若f(x) g(x)或m(x) n(x)的形式比較簡(jiǎn)單，則可利用合分比定理化簡(jiǎn)方程【例6】 解方程 (1)x3+3x2-4x=0；

30、 (2)x413x2+36=0【解】 (1)原方程可化為：x(x1)(x+4)=0，x1=4，x2=0，x3=1；(2)原方程可化為：(x29)(x24)=0；(x+3)(x3)(x+2)(x2)=0，所以x1= 3，x2=2，x3= 2，x4=3【例6】解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)=48【解】 原方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為：(x25x+4)(x25x+6)=48，設(shè)u=x25x+5，則原方程可化為：(u1)(u+1)=48，即u2=49，所以u(píng)=7或u=7，由x25x+5=7，得：x=或x=，由x25x+5= 7，此方程無解，經(jīng)檢驗(yàn)知：x=或x=是原方程的解【例7】 解方程：12x456x3

31、+89x256x+12=0【解】 原方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為：12x256x+89+=0，即：12(x2+)56(x+)+89=0，即：12(x+)256(x+)+65=0，設(shè)u= x+，則原方程可化為：12u256u+65=0，解之得：u=，或u=，(1) 當(dāng)u=，則x+=，解之得：x=2或x=；(2) 當(dāng)u=，則x+=，解之得：x=或x=經(jīng)檢驗(yàn)原方程的根是x=2或x=或x=或x=【練習(xí)2.5】1選擇題：(1)方程的解為 ( )(A)1和2 (B)2 (C) 1 (D)0和2(2)方程x2+x+ ( )(A)1和3 (B)1 (C)無解 (D)3(3)下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是 ( )(A)+1=0 (

32、B)=x4 (C)=x (D)=0(4)用換元法解方程x23x=1，如果設(shè)u=，那么原方程可以化為 ( )(A)u2u+4=0 (B) u2u1=0 (C) u2u6=0 (D) u2u+6=02填空題(1)方程解是 (2)已知，則xy= (3)若，則= 3解關(guān)于x的方程：=4解方程：(1)x3+5x26x=0；(2)(x23x)22(x23x)8=05解方程：(x+3)4+(x+1)4=82 *6解方程：x+=22.6 簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法【知識(shí)梳理】二元二次方程及二元二次方程組觀察方程x2+2xy+y2+x+y=6，此方程的特點(diǎn)：含有兩個(gè)未知數(shù)；是整式方程；含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是

33、2定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元二次方程二元二次方程的一般形式是：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A、B、C不同時(shí)為零)其中Ax2、Bxy、Cy2 叫做二次項(xiàng)，Dx、Ey叫做一次項(xiàng)，F(xiàn) 叫做常數(shù)項(xiàng)定義：二元二次方程組即有兩個(gè)未知數(shù)且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為二次的方程組定義：形如Ax2+Bxy+Cy2=0叫做二次齊次方程由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組及兩個(gè)二元二次方程組成的方程組是我們所研究的二元二次方程組的主要內(nèi)容例如：、都是二元二次方程組二元二次方程組求解的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即通過“降次”、“消元”，將方程組轉(zhuǎn)化為

34、一元二次方程或二元一次方程組由于這類方程組形式龐雜，解題方法靈活多樣，具有較強(qiáng)的技巧性，因而在解這類方程組時(shí)，要認(rèn)真分析題中各個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇較恰當(dāng)?shù)姆椒ㄎ覀円呀?jīng)學(xué)過二元一次方程組的解法，所謂解二元一次方程組就是求方程組中兩個(gè)方程的公共解，同樣，解二元二次方程組也就是求方程組中兩個(gè)方程的公共解解二元二次方程組的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把二次降為一次，因此可以通過消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程對(duì)于由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組來說，代入消元法是解這類方程組的基本方法【例題講解】【例1】 解方

35、程組：【分析】 可用“代入法”解也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看作一元二次方程的兩個(gè)根，通過解這個(gè)一元二次方程來求x，y 【解】從根與系數(shù)的關(guān)系，這個(gè)方程組的解，可以看作一元二次方程t27t+10=0的兩個(gè)根解此方程得t1=2，t2=5，t的這兩個(gè)值，不論哪一個(gè)作為x、y都可以因此，所求的解為 或 【例2】 解方程組：【分析】 由于方程組是由一個(gè)二元一次方程和二元二次方程組成的，所以通過代入可以達(dá)到消元的目的，通過得y=2x1 再代入可以求出x的值，從而得到方程組的解【解】由(2)，得：y=2x1， (3)把代入(1)，整理，得：15x223x+8=0，解這個(gè)方程，得：x1=

36、1，x2=，把x1=1 代入，得y1=1 ；把x2= 代入，得：y2=，所以原方程的解是：或【例3】解方程組：【分析】這個(gè)方程組中的兩個(gè)方程都不含未知數(shù)的一次項(xiàng)，消去常數(shù)后，可以得到形如ax2+bxy+cy2=0的方程，把這個(gè)方程左邊分解成兩個(gè)一次因式，于是原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程，從而可解【解】由(1)2+(2)，得6x2xy2y2=0，即：(2x+y)(3x2y)=0，所以原方程可化為：()或()，解()得：，；解()得：，；所以原方程組的解為：，【例4】解方程組：【分析】 在這個(gè)方程組中，把x、y互換而方程組不變，這樣的方程叫x、y的對(duì)稱方程對(duì)稱方程一般用換元法求解【解】設(shè)u=x+y

37、，v=xy，則原方程組可轉(zhuǎn)化為：，解之得：，由此可得() 或() ，解()可知此方程無解；解()得：，所以原方程組的解為，【例5】解方程組：【分析】這個(gè)方程組含有分式形式，如果直接化成整式方程比較麻煩，可以先用局部換元法，令m=，方程(1)可轉(zhuǎn)化為從而解出m，在進(jìn)一步求解【解】令m=，則，則方程(1)可轉(zhuǎn)化為，即：6m25m6=0，解之得：m1=，m2=，所以可得：() 或() ，解()得：，解()得：，所以原方程組的解是：，【例6】解方程組：【分析】此題如果直接平方去掉根號(hào)來解比較煩，可采用換元法，設(shè)m=，n=，進(jìn)而求解方程組【解】設(shè)設(shè)m=，n=，則x=m2+3，y=n22，所以原方程組轉(zhuǎn)化

38、為：，解之得：，由于m0，n0，知應(yīng)舍去，所以：，解之得：，所以，原方程組的解為【練習(xí)2.6】1解下列方程組：(1)；(2)；(3) ；(4) 2解下列方程組：(1)；(2)；(3) ；(4) 3解方程：(1)； (2)4解方程：(1)； (2)；(3)； (4)5解方程：(1)； (2)； (3)6解方程：(1)； (2)7解方程：(1) x12+= 0； (2) x2+3x+= 6閱讀材料 分類討論思想 分類是基本邏輯方法之一依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類的思想將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做分類討論的方法分

39、類的思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中經(jīng)常用到的不論從宏觀上還是從微觀上對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，都是深化研究對(duì)象、發(fā)展科學(xué)必不可少的思想因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：(1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的； (2)運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；(3)求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；(4)數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學(xué)、統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡(jiǎn)運(yùn)用分類的思想，通過正確的分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答【例1

40、】 化簡(jiǎn)：|a2|5a|【解】 當(dāng)a2時(shí)，原式= (2a)(5a) = 3；當(dāng)2a0且a1時(shí)，x1=，x2=； 當(dāng)a=0時(shí)，x1=x2=0 當(dāng)a0，求的值【解】 因?yàn)閍2+b2=1，所以a2=1b2，b2=1a2，因?yàn)閍b0，所以a0且b0或a0且b0且b0時(shí)，原式=a+b=a|a|+b|b|= a2+b2=1；(2)當(dāng)a0且b0，得m，所以當(dāng)m時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1)若原方程有增根x=1時(shí)，由得m=2；(2)若原方程有增根x=1時(shí)，由得m=4所以當(dāng)m且m2且m4時(shí)，原方程有有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3.1 相似形平行線分線段成比例定理在解決幾何問題時(shí)，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的

41、問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長度比圖3.1-1在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點(diǎn)，另作直線交于點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例如圖3.1-2，有當(dāng)然，也可以得出在運(yùn)用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)”線段成比例例1 如圖3.1-2， ，且求.圖3.1-2解 ， 例2 在中，為邊上的點(diǎn)，求證：.證明（1） ，證明（2） 如圖3.1-3，過作直線，.過作交于，得，圖3.1-3因而 從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（

42、或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例例3 已知，在上，能否在上找到一點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)在上解 假設(shè)能找到，如圖3.1-4，設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，作交于，且，圖3.1-4，且為的中點(diǎn).可見，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)在上我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥栴}時(shí)，常常先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在，無解或矛盾則不存在.在中，為的平分線，求證：證明 過C作CE/AD，交BA延長線于E，AD平分由知圖3.1-5.例4的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的兩邊之比）.練 習(xí)11如圖3.1-6，下列比

43、例式正確的是（ ）圖3.1-6A B C D2如圖3.1-7，圖3.1-7求.圖3.1-83如圖，在中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，求BD的長.4如圖，在中，的外角平分線交的延長線于點(diǎn)，求證：.圖3.1-95如圖，在的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD=CE，DE延長線交BC的延長線于F.求證：.圖3.1-103.1.2 相似形我們學(xué)過三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個(gè)三角形相似？有哪些方法可以判定兩個(gè)直角三角形相似？例5 如圖3.1-11，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，求證：.證明 在與中，即.圖3.1-11又與中，.例6 如圖

44、3.1-12，在直角三角形ABC中，為直角，.求證：（1），；（2）證明 （1）在與中，圖3.1-12， 同理可證得.（2）在與中，我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱為射影定理，該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用. 例7 在中，求證：.證明 ，為直角三角形，又，由射影定理，知. 同理可得. 圖3.1-13.例8 如圖3.1-14，在中，為邊的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn)某學(xué)生在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：圖3.1-14當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14a）當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14b）當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14c）在圖3.1-14d中，當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明（其中

45、n為正整數(shù)）.解：依題意可以猜想：當(dāng)時(shí)，有成立.證明 過點(diǎn)D作DF/BE交AC于點(diǎn)F，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，由可知，.想一想，圖3.1-14d中，若，則本題中采用了從特殊到一般的思維方法我們常從一些具體的問題中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，進(jìn)而作出一般性的猜想，然后加以證明或否定 .數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是不斷探索的歷史 練 習(xí)21如圖3.1-15，D是的邊AB上的一點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE/BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，則等于（ ）圖3.1-15A B C D2若一個(gè)梯形的中位線長為15，一條對(duì)角線把中位線分成兩條線段.這兩條線段的比是，則梯形的上、下底長分別是_.3已知：的三邊長分別是3，4，5，與其

46、相似的的最大邊長是15，求的面積.圖3.1-164已知：如圖3.1-16，在四邊形ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).請(qǐng)判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說明理由；若四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD滿足什么條件時(shí)，EFGH是菱形？是正方形？5如圖3.1-17，點(diǎn)C、D在線段AB上，是等邊三角形，當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，？圖3.1-17當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).習(xí)題3.1A組如圖3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，F(xiàn)G=4，則（ ）ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 圖3.1-18如圖

47、3.1-19，BD、CE是的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則等于（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：6圖3.1-19如圖3.1-20，中，E是AB延長線上一點(diǎn)，DE交BC于點(diǎn)F，已知BE：AB=2：3，求.圖3.1-20圖3.1-21如圖3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE交AC于F，過F作FG/AB交AE于G，求證：. B組如圖3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則的值為（ ）圖3.1-22A B1 C D2 圖3.1-23如圖3.1-23，已知周長為1，連結(jié)三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)對(duì)角線三邊中點(diǎn)構(gòu)成第

48、三個(gè)三角形，依此類推，第2003個(gè)三角形周長為（ ）A B C D 圖3.1-24如圖3.1-24，已知M為的邊AB的中點(diǎn)，CM交BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積與面積的比是（ ）A B C D 如圖3.1-25，梯形ABCD中，AD/BC，EF經(jīng)過梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EF/AD.求證：OE=OF；求的值；求證：.圖3.1-25如圖3.1-29a，垂足分別為B、D，AD和BC相交于E，于F，我們可以證明成立.圖3.1-29若將圖3.1-29a中的垂直改為斜交，如圖3.1-29 b，相交于E，EF/AB交BD于F，則：還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；請(qǐng)找出和之間的關(guān)系，

49、并給出證明.3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段 三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn)圖3.2-3例1 求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長度之比為2：1.已知 D、E、F分別為三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證 AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.證明 連結(jié)DE，設(shè)AD、BE交于點(diǎn)G，D、E分別

50、為BC、AE的中點(diǎn)，則DE/AB，且，圖3.2-4，且相似比為1：2，.設(shè)AD、CF交于點(diǎn)，同理可得，則與重合， AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成.圖3.2-5三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.（如圖3.2-5）例2 已知的三邊長分別為，I為的內(nèi)心，且I在的邊上的射影分別為，求證：.證明 作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，同理，BD=BF，CD=CE.圖3.2-6即.例3 若三角形的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形.已知 O為三角形ABC的重心和內(nèi)心.求證 三角形A

51、BC為等邊三角形.圖3.2-7證明 如圖，連AO并延長交BC于D.O為三角形的內(nèi)心，故AD平分，（角平分線性質(zhì)定理）O為三角形的重心，D為BC的中點(diǎn)，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）圖3.2-8例4 求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).已知 中，AD與BE交于H點(diǎn).求證 .證明 以CH為直徑作圓，在以CH為直徑的圓上，.圖3.2-9同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得.，又與有公共角，即.過不共線的三點(diǎn)

52、A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).練習(xí)11求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形2（1）若三角形ABC的面積為S，且三邊長分別為，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是_;（2）若直角三角形的三邊長分別為（其中為斜邊長），則三角形的內(nèi)切圓的半徑是_. 并請(qǐng)說明理由. 幾種特殊的三角形等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一因而在等腰三角形ABC中，三角形的內(nèi)心I、重心G、垂心H必然在一條直線上例5 在中，求（1）的面積及邊上的高；（2）的內(nèi)切圓的半徑；（3）的外接圓的半徑.圖3.2

53、-10解 （1）如圖，作于.為的中點(diǎn)，又解得.（2）如圖，為內(nèi)心，則到三邊的距離均為，圖3.2-11連， ，即，解得.（3）是等腰三角形，外心在上，連，則中，圖3.2-12解得在直角三角形ABC中，為直角，垂心為直角頂點(diǎn)A， 外心O為斜邊BC的中點(diǎn)，內(nèi)心I在三角形的內(nèi)部，且內(nèi)切圓的半徑為（其中分別為三角形的三邊BC,CA,AB的長），為什么？圖3.2-13 該直角三角形的三邊長滿足勾股定理：.例6 如圖，在中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn).求證：.證明：過A作于D.在中，.圖3.2-14在中，.正三角形三條邊長相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心.例

54、7 已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到三邊AB，AC，BC的距離分別為，三角形ABC的高為，圖3.2-15“若點(diǎn)P在一邊BC上，此時(shí)，可得結(jié)論：.”請(qǐng)直接應(yīng)用以上信息解決下列問題：當(dāng)（1）點(diǎn)P在內(nèi)（如圖b），（2）點(diǎn)在外(如圖c)，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，與之間有什么樣的關(guān)系，請(qǐng)給出你的猜想（不必證明）.解 （1）當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，圖3.2-16法一 如圖，過P作分別交于，由題設(shè)知，而，故，即.法二 如圖，連結(jié)，圖3.2-17，又，即.（2）當(dāng)點(diǎn)P在外如圖位置時(shí)，不成立，猜想：.注意：當(dāng)點(diǎn)P在外的其它位置時(shí)，還有可能得到其它的結(jié)論，如圖3.2-18，（如圖

55、3.2-18，想一想為什么？）等.在解決上述問題時(shí)，“法一”中運(yùn)用了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，“法二”中靈活地運(yùn)用了面積的方法.練 習(xí)2直角三角形的三邊長為3，4，則_.等腰三角形有兩個(gè)內(nèi)角的和是100，則它的頂角的大小是_.滿足下列條件的，不是直角三角形的是（ ）A B C D 已知直角三角形的周長為，斜邊上的中線的長為1，求這個(gè)三角形的面積證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為一個(gè)常量.習(xí)題3.2A組已知：在中，AB=AC，為BC邊上的高，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）A B C D三角形三邊長分別是6、8、10，那么它最短邊上的高為（ ）A6 B4.5 C2.4 D8如果等腰三角形底邊

56、上的高等于腰長的一半，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于_.已知：是的三條邊，那么的取值范圍是_若三角形的三邊長分別為，且是整數(shù)，則的值是_B組如圖3.2-19，等邊的周長為12，CD是邊AB上的中線，E是CB延長線上一點(diǎn)，且BD=BE，則的周長為（）A B 圖3.2-19C D如圖3.2-20，在中，BD是邊AC上的高，求的度數(shù)圖3.2-20如圖3.2-21，是AB的中點(diǎn)，AM=AN，MN/AC，求證：MN=AC 圖3.2-21如圖3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值圖3.2-22如圖3.2-23，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且，求證：圖3.2-2333

57、圓3.3.1 直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？圖3.3-1觀察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相交，如圓與直線圖3.3-2在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.若直線經(jīng)過圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據(jù)勾股定理，有當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，且在中， 圖3.3-3

58、如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而圖3.3-4例1 如圖3.3-5，已知O的半徑OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中點(diǎn)，求弦BD的長度解 連結(jié)OD，交AB于點(diǎn)E是圓心，在中，OB=5cm,BE=3cm,圖3.3-5在中，BE=3cm,DE=1cm,例2 已知圓的兩條平行弦的長度分別為6和，且這兩條線的距離為3.求這個(gè)圓的半徑解 設(shè)圓的半徑為，分兩種情況（如圖3.3-6）：圖3.3-6若在兩條平行線的外側(cè)，如圖（1），AB=6，CD=，則由，得，解得（2）若在兩條平行線的內(nèi)側(cè)（含線上），AB=6，CD=，則由，得，無解綜合得，圓的半徑為5 設(shè)圓與圓半徑分別為，它們可能有

59、哪幾種位置關(guān)系？圖3.3-7觀察圖3.3-7，兩圓的圓心距為，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，兩圓相內(nèi)切，如圖（1）；當(dāng)時(shí)，兩圓相外切，如圖（2）；當(dāng)時(shí)，兩圓相內(nèi)含，如圖（3）；當(dāng)時(shí)，兩圓相交，如圖（4）；當(dāng)時(shí)，兩圓相外切，如圖（5）.例3 設(shè)圓與圓的半徑分別為3和2，為兩圓的交點(diǎn)，試求兩圓的公共弦的長度解 連交于，圖3.3-8則，且為的中點(diǎn)，設(shè)，則，解得故弦的長為練 習(xí) 11.如圖3.3-9，O的半徑為17cm，弦AB=30cm，AB所對(duì)的劣弧和優(yōu)弧的中點(diǎn)分別為D、C，求弦AC和BD的長圖3.3-92.已知四邊形ABCD是O的內(nèi)接梯形，AB/CD，AB=8cm，CD=6cm， O的半徑等于5cm，求梯形ABCD的面積3.如圖3.3-10，O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E， cm，cm，求CD的長 圖3.3-104若兩圓的半徑分別為3和8，圓心距為13，試求兩圓的公切線的長度3.3.2圓冪定理及其應(yīng)用1.根據(jù)圖3.3-11(1)、(2)、(3)，結(jié)合圖形，說出相交弦定理、切割線定理、割線定理的內(nèi)容.圖3.3-112.提出問題:相交弦定理、切割線定理及其推論這三者之間是否有聯(lián)系? (1)如圖3.3-12，O的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)P，則PAPBPCPD.這便是相交弦定理.對(duì)于這個(gè)定理有兩個(gè)特例：一是如果圓內(nèi)的兩條弦交于圓心O，則