2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程二圓錐曲線的參數(shù)方程1橢圓的參數(shù)方程講義含解析新人教A版

1、1橢圓的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是ab橢圓的參數(shù)方程x2y2xacosybsin(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0,2)a2(yk)2(2)中心在(h，k)的橢圓普通方程為(xh)2b21，則其參數(shù)方程為ykbsinxhacos(為參數(shù))橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用：求最值x2y2x2t，49y22t例1已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))x2cos，y3sin(為參數(shù))，直線l的普通方程為2x(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值思路點(diǎn)撥(1)由橢圓的參數(shù)方程

2、公式，求橢圓的參數(shù)方程，由換元法求直線的普通方程(2)將橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成參數(shù)方程的形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題解(1)曲線C的參數(shù)方程為y60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d55|4cos3sin6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.d25sin305435當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，225最大值為.255利用橢圓的參數(shù)方程，求目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值，通常是利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解1已知橢圓離最大x2y225161，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)在橢圓上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P與點(diǎn)A的

3、距x5cos，解：橢圓的參數(shù)方程為y4sin(為參數(shù))例2已知A，B分別是橢圓1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P(5cos，4sin)，則|PA|(5cos3)2(4sin)29cos230cos25(3cos5)2|3cos5|8，當(dāng)cos1時(shí)，|PA|最大此時(shí)，sin0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0).橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：求軌跡方程x2y2369求ABC的重心G的軌跡方程思路點(diǎn)撥由條件可知，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，點(diǎn)C在橢圓上，故可設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)的橢圓參數(shù)方程形式，由三角形重心坐標(biāo)公式求解解由題意知A(6,0)、B(0,3)由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cos，3sin)，

4、點(diǎn)G的坐標(biāo)設(shè)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得y033sin，3x606cos，3x22cos，即y1sin.消去參數(shù)得ABC的重心G的軌跡方程為(y1)21.(x2)242已知橢圓方程是1，點(diǎn)A(6,6)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)Q的軌本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性，運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡(jiǎn)單，運(yùn)算更簡(jiǎn)便x2y2169跡方程解：設(shè)P(4cos，3sin)，Q(x，y)，則有y3sin6，x4cos26，2x2cos3，即3y2sin3(為參數(shù))，(1)若橢圓C上的點(diǎn)A1，到F1，F(xiàn)2的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；解：(1)由橢圓上點(diǎn)A到F1，

5、F2的距離之和是4，得2a4，即a2.又點(diǎn)A1，在橢2cos13sin012y1y)，則x，所以xcos，sin.消去，得x9(x3)216(y3)236即為所求x2y23設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：a2b21(ab0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)32(2)設(shè)點(diǎn)P是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)的軌跡方程323212x2y2圓上，因此4b21，得b23，于是c2a2b21，所以橢圓C的方程為431，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos，3sin)，線段F1P的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，2223224y231即為線段F1P中點(diǎn)的軌跡方程.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：證

6、明問題x2例3已知橢圓4y21上任一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外)與短軸兩端點(diǎn)B1，B2的連線分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)，求證：|OP|OQ|為定值思路點(diǎn)撥利用參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并由此得到直線MB1，MB2的方程，從而得到P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|OQ|的值證明設(shè)M(2cos，sin)，為參數(shù)，則MB1的方程為y1x，2cos2cossin11sin.令y0，則x.|OQ|2cos1sin.2cos2cos1sin1sin4.因?yàn)锽1(0，1)，B2(0,1)，sin12cos令y0，則x，即|OP|sinMB2的方程為y12cos1x，2cos1sin|OP|OQ|即|O

7、P|OQ|4為定值利用參數(shù)方程證明定值(或恒成立)問題，首先是用參數(shù)把要證明的定值(或恒成立的式子)表示出來，然后利用條件消去參數(shù)，得到一個(gè)與參數(shù)無(wú)關(guān)的定值即可xacos，4求證：橢圓ybsin(ab0,02)上一點(diǎn)M與其左焦點(diǎn)F的距離的最大值為ac(其中c2a2b2)證明：M，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(acos，bsin)，(c,0)|MF|2(acosc)2(bsin)2a2cos22accosc2b2b2cos2c2cos22accosa2(accos)2.當(dāng)cos1時(shí)，|MF|2最大，|MF|最大，最大值為ac.一、選擇題xacos，1橢圓ybsin(為參數(shù))，若0,2，則橢圓上的點(diǎn)(a,0)對(duì)

8、應(yīng)的AB.()2C232解析：選A在點(diǎn)(a,0)中，xa，aacos，cos1，.x2cos，2參數(shù)方程ysin分別是()A圓和直線C橢圓和直線(為參數(shù))和極坐標(biāo)方程6cos所表示的圖形B直線和直線D橢圓和圓ysin(為參數(shù))，利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去化為普通方程為y21，表示橢圓x2cos，解析：選D對(duì)于參數(shù)方程x246cos兩邊同乘，得26cos，化為普通方程為x2y26x，即(x3)2y29.表示以(3,0)為圓心，3為半徑的圓x4cos，3橢圓y3sinA(7，0)C(5,0)(為參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是()B(0，7)D(4,0)1，x4cos，解析：選A根據(jù)題意，橢圓的參數(shù)方程y3s

9、inx2y2169其中a4，b3，則c1697，所以橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(7，0)(為參數(shù))化成普通方程為(x3cosxcos21，4兩條曲線的參數(shù)方程分別是y1sin2為參數(shù))，則其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0B1C0或1D2xcos21，解析：選B由y1sin2，t，為參數(shù))和y2sint(ty2sint得1.如圖所示，可知兩曲線交點(diǎn)有1個(gè)由得xy10(1x0，1y2)，x3cost，x2y294二、填空題x5cos，5橢圓y4sin(為參數(shù))的離心率為_解析：由橢圓方程為1，可知a5，b4，a55x2y22516c3ca2b23，e.3答案：x3cos，6已知P為曲線C：y4sin(為參數(shù)，0)上一

10、點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的傾斜角為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：曲線C的普通方程為1(0y4)，易知直線OP的斜率為1，其方程為y4y2x2169x，169消去y，得x2，yx，聯(lián)立y2x21，16925故xx舍去，故y，1212所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，.答案：12125，512121255555x2cos，7已知橢圓的參數(shù)方程為y4sin(為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)的參數(shù)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為_解析：當(dāng)時(shí)，y4sin23，333x2cos1，3故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,23)所以直線xt2，OM的斜率為23.答案：23三、解答題x5cos，8已知兩曲線的參數(shù)方程分別為ysinR)，求它們的交點(diǎn)

11、坐標(biāo)5(0)和4yt(tx5cos解：將ysin(0)化為普通方程得：x25y21(0y1，x5)，將xt2，yt代入得，t4t210，解得t2，t，xt21，554416525554544525兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為1，.5x3cos，9已知橢圓的參數(shù)方程為y2sin(為參數(shù))，求橢圓上一點(diǎn)P到直線y22tx23t，(t為參數(shù))的最短距離x23t，解：設(shè)點(diǎn)P(3cos，2sin)，直線y22t可化為2x3y100，點(diǎn)P到4|6cos6sin10|4.因?yàn)閟in直線的距離d131362sin101,1，所以d1062，1062，所以點(diǎn)P到直線的最短距離dmin1313106213.x2y210橢圓a2b21(ab0)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P，使OPAP(O為原點(diǎn))，求離心率e的取值范圍xacos，解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程