數(shù)學建模-穩(wěn)定性問題

1、穩(wěn)定性問題 在研究許多實際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的開展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么方法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下面，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。 一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義 稱微分方程或微分方程組 為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。（3.28） 假設(shè)方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足。稱點Xo為微分方程或微分方程組3.28)的平衡點或奇點。 例 Logistic模型

2、共有兩個平衡點：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。 當NoK時，那么位于N=K的上方。從圖3中不難看出，假設(shè)No0，積分曲線在N軸上的投影曲線稱為軌線將趨于K。這說明，平衡點N=0和N=K有著極大的區(qū)別。 定義1 自治系統(tǒng) 的相空間是指以（x1,xn）為坐標 的空間Rn。 特別，當n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點集(x1,xn)|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,n稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。 定義2 設(shè)x0是的平衡點，稱： 1x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的0，存在一個0，只要|x(0)- x0|，就

3、有|x(t)- x0|對所有的t都成立。 （2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且 。 微分方程平衡點的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。 3x0是不穩(wěn)定的，如果1不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點N=0那么是不穩(wěn)定的。 解析方法定理1 設(shè)xo是微分方程 的平衡點：若 ,則xo是漸近穩(wěn)定的若 ,則xo是漸近不穩(wěn)定的證 由泰勒公式，當x與xo充分接近時，有： 由于xo是平衡點，故f(xo)=0。若 ，則當x0，從而x單增；當xxo時，又有f(x)0，可能出現(xiàn)以下情形： 若q0，120。 當p0時，零點不穩(wěn)定

4、； 當p0時，零點穩(wěn)定 若q0，120時，零點不 穩(wěn)定 當p0時，零點穩(wěn)定（2） 0，零點穩(wěn)定若a=0，有零點為中心的周期解 綜上所述：僅當p0時， 零點才是漸近穩(wěn)定的；當p=0且q0時有周期解，零點是穩(wěn)定的中心非漸近穩(wěn)定；在其他情況下，零點均為不穩(wěn)定的。 非線性方程組平衡點穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2 假設(shè)的零點是漸近穩(wěn)定的，那么的平衡點 也是漸近穩(wěn)定的；假設(shè)的零點是不穩(wěn)定的，那么 的平衡點也是不穩(wěn)定的。 高維幾乎線性微分方程組的穩(wěn)定性 關(guān)于本節(jié)前邊所討論的按線性近似決定平面幾乎線性近似系統(tǒng)的奇點的理論可以推廣到高維情況。但是高維系統(tǒng)相空間中軌線的相圖更加復(fù)雜，而實際問題往往更關(guān)

5、心是解的穩(wěn)定性，所以下邊我們將主要討論按線性近似決定高階微分方程組零解的穩(wěn)定性問題。階常系數(shù)線性微分方程組為此先討論階線性方程組零解的穩(wěn)定性。(5.4.27)的任一解均可表示為形如 的線性組合，這里 為系數(shù)矩陣 的特征方程的根 為 階單位陣， 為 的多項式，其次數(shù)低于 所對應(yīng)的初等因子的次數(shù)，由線性方程組解的理論可以得出如下定理。定理 系統(tǒng)(5.4.27)的系數(shù)矩陣 的特征為 那么(1) 假設(shè) 均具有負實部，那么系統(tǒng)(5.4.27)的 零解是漸近穩(wěn)定的；(2) 假設(shè) 中至少有一個具有正實部，那么系統(tǒng) (5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的；(3) 假設(shè) 中沒有正實部的根，但是有零根或零實部的純虛根，

6、那么當零根或零實部根的初等因子都是一次時(5.4.27)的零解是穩(wěn)定的。當零根或零實部的根中至少有一個的初等因子大于1時系統(tǒng) (5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的。特征方程的不容易求得，無法判斷其正負例 研究方程組(5.4.28)零解的穩(wěn)定性。解 方程組的系數(shù)矩陣為特征方程為 Routh-Hurwitz 判據(jù)定理 對一元 次常系數(shù)代數(shù)方程其中 ，做行列式式中，當 時 ，那么(5.4.30)的所有根均具有負實部的充要條件是 的一切主子式都大于零，即下邊不等式同時成立： 對于上邊例子中方程 (5.4.29) ， ，故(5.4.29)的根均具有負實部，因此方程組(5.4.28)的零解是漸近穩(wěn)定的。定義同

7、 (5.4.27) ，下面考慮非線性微分方程組(5.4.31) 其中且滿足 及 。這時(5.4.31)也稱為幾乎線性系統(tǒng)，且 是其解。定理 假設(shè) 的所有特征根均具有負實部，那么(5.4.31)的 零解是漸近穩(wěn)定的。假設(shè) 的特征根中至少有一個具 有正實部，那么系統(tǒng)(5.4.31)的零解是不穩(wěn)定的。例 討論非線性方程組的零解的穩(wěn)定性。解 原方程組在原點處 的線性近似方程組 的系數(shù)矩陣為容易求出它的 3 個特征根為有一個正實根，而非線性項 滿足(5.4.32)，因此由定理 5.4 知系統(tǒng) (5.4.33) 的零解是不穩(wěn)定的。說明：(1) 由定理得到的常系數(shù)的線性方程組的穩(wěn)定性是大范圍的，而由定理得到的非線性方程組的穩(wěn)定性是小范圍的。(2) 當系統(tǒng)(5.4.31)的線性近似系統(tǒng)(5.4.27)的系數(shù)矩陣 的特征根均具有非正實部，但至少有一個零實部的根或零根，這時非線性系統(tǒng)(5.4.31)的穩(wěn)定性態(tài)并不能由其線性近似系統(tǒng)來決定，這種情況我們稱之為臨界情形