六年級下冊奧數(shù)試題行程問題 全國通用

1、第12講行程問題（二）在四年級的教材中，我們已經(jīng)對于相遇問題、追及問題、水流問題和車長及橋長等問題，進行了較為細致的研究。在這一講中，我們將進一步就環(huán)行路上的行程問題以及多次相遇等問題進行研究。行程問題在小學的應用題中是變化最多的類型之一。對于行程問題的研究是小學綜合運用知識解決問題的一個重要的內容。因為行程問題的變化可謂是豐富多彩，不僅在小學，而且在中學的數(shù)學和物理的學習中，也是極其重要的內容。一、環(huán)行路上的行程問題環(huán)行路上的行程問題，有著它獨特的方面，由于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運動，計算行程時，通常與環(huán)行道路的周長有關。例1在400米的環(huán)行跑道上，A、B兩點相距100米，甲、

2、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他們每人跑100米，都要停10秒鐘。求甲追上乙需要多少秒？分析：這道題初看時，由于他們每人跑100米，都要停10秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易算出甲追上乙的時間，這時再考慮在這期間所停留的時間，問題的解決就比較簡單了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100（54）=100（秒），甲在100秒中共跑：5100=500（米），而甲在跑100米、200米、300米、400米時共停留了4次，到了500米處恰好追上乙。不必計算停留的時間。所以，甲追上乙所需的時間是：100410=140（秒）

3、說明：甲跑到500米處時，正好是乙跑完400米，并且休息完10秒時。當甲跑到時，乙恰好要出發(fā)，他們兩個在這一瞬間正好相遇。例2如圖，A、B是圓直徑的兩個端點，小華在點A，小明在點B，他們同時出發(fā)，反向而行。他們在C點第一次相遇，C點離A點100米；在D點第二次相遇，D點離B點80米。求這個圓的周長。分析：第一次相遇，兩人合起走了半圈，第二次相遇，兩人合起走了一圈，因此，從開始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起走了一圈半。也就是說，第二次相遇時兩人合起走的路程是第一次相遇時合起所走路程的3倍，因此，不難看出AD的距離是AC距離的3倍，所以再求圓周的長度就比較簡單了。解答：因為AC=100米，AD的長度是

4、AC長度的3倍。AD=AC3=1003=300（米）半個圓的周長：30080=220（米）整個圓的周長：2202=440（米）說明：這道題還可以從另一個角度進行考慮。由于C到D兩人共走了一個圓周，由A、B到C兩人共走了半個圓周，所以，CD的長度是AC長度的2倍。因此，同樣可以判斷出AD的距離是AC距離的3倍。例3如圖，沿邊長為90米的正方形，按逆時針的方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米，當乙第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上？分析：這是一道環(huán)行追及問題，這類問題可以先看成“直線”的追及問題，求出乙追上甲所用的時間，再回到環(huán)行路上的追及問題，根據(jù)乙這段時間所走的路程，

5、推算出應在正方形的哪一條邊上。解答：先求追上甲時乙所用的時間：903（7265）=（分）再求這段時間乙所走的路程：72=（米）由于，正方形每邊長90米，因此：=（472）90這樣不難看出，乙走的比7圈零兩條邊還多米，所以，當乙第一次追上甲時，甲和乙應在正方形的AD邊上。說明：如何將直線上的追及問題，與環(huán)行道路的特點相結合，是這道題得以解決的關鍵。二、有趣的多次相遇多次相遇的問題，在行程問題中，是一個比較復雜的問題，解決這類問題，要求同學們很熟悉時間、速度和路程這三類數(shù)量間的關系，很好的掌握它們的變化規(guī)律。例4下午3點15分，通訊員從營地騎自行車出發(fā)，8分鐘后，由于要更改命令，連長騎摩托車去追趕

6、他，在離營地4千米的地方追上了他，然后，連長立即返回營地，回到營地后，由于情況再次發(fā)生了變化，連長立即回頭再次追趕通訊員，再次追上他時，離營地恰好是8千米，問：這時是幾點幾分？分析：從圖中可以看出，連長第一次追上通訊員，立即折返到第二次追上通訊員，共走了48=121（千米），因此，騎摩托車的速度是騎自行車速度的124=3（倍）。由此可知，通訊員每走“”份的路程，連長將走“3”份的路程，這樣確定通訊員的速度，以及確定第二次追上的時間，就比較容易了。解答：由條件可知，騎摩托車的速度是騎自行車速度的124=3（倍）因此，從3點23分到連長追上通訊員，連長走了4千米，通訊員走了4千米。因此，通訊員前8

7、分鐘走了4=（千米）。從而可求出通訊員的速度是8=（千米）。因此，進一步可求出通訊員走8千米共用8=24（分）。所以，第二次追上的時間是1524=39（分），即3點39分。說明：這道題目的解法比較多，但不論怎樣變化，在相同時間內，速度越快，所走的路程越多，是不變的。這道題目的解答，恰好就是利用了這一變化規(guī)律。同時同學們不妨嘗試著利用方程的方法解答這道題目，也是比較簡單的。例5甲、乙二人同時從A、B兩地，相向而行，相遇后繼續(xù)行進，到達目的地后，立即折返，就這樣不停的往返于兩地之間，并且不斷的相遇，第8次和第10次相遇的地點相距54米，已知，甲的速度是乙的速度的，那么，A、B兩地的距離是多少米？分

8、析：這道題目初看時，似乎缺少解決問題的條件，但是通過甲的速度是乙的速度的，不難看出，當甲走3份路程的時候，乙就走了4份的路程，因此（如圖）不妨將全程看成7份，第一次相遇時，甲走了3份，乙走了4份。在這之后，甲和乙要想再次相遇，必須共同走完兩個全程，需用與第一次相遇時間相同的2倍的相遇時間。在這期間，甲走了3份路程的2倍，即6份的路程。我們不妨將路上的點（包括A、B兩點）從左至右設定為A、C、D、E、F、G、H、B點，而第一次相遇在E點，第二次相遇在G點，以次類推，就很容易確定出第八次和第十次的相遇點的具體位置，從而使問題得以解決。解答：因為，甲的速度是乙的速度的，因此（如圖）不妨將全程看成7份

9、，第一次相遇時，甲走了3份，乙走了4份。將路上的點（包括A、B兩點）從左至右設定為A、C、D、E、F、G、H、B點，由分析可推出第一次相遇點在E；第二次相遇點在G；第三次相遇點在C；第四次相遇點在B；第五次相遇點在C；第六次相遇點在G；第七次相遇點在E；第八次相遇點在E；第九次相遇點在G；第10次相遇點在C。由于第八次相遇點在E；第十次相遇點在C，E和C相距的是2份的路程，而全程是7份的路程，所以，A、B兩地的距離5427=189（米）說明：這道題目充分的利用了時間一定，速度與路程的關系，值得注意的是除了第一次相遇二人是共同走完了一個全程，從第二次相遇開始都是共同走完了兩個全程，這一特點是這道

10、題解題的關鍵。三、合理安排巧解行程例6A、B、C三人要從甲地到乙地，步行速度都是每小時5千米，騎車速度都是每小時20千米?，F(xiàn)在只有一輛自行車，他們想了一個辦法：先讓A騎車走，同時B、C步行；A騎了一段后，再換步行而把車放在途中，留給B接著騎；B騎一段后，再換步行而把車放在途中，留給C接著騎到乙地。這樣，A、B、C三人恰好同時到達乙地。已知甲地到乙地全長12千米，那么，從甲地到乙地共用了多少小時？分析：這道題人多車少，需要通過合理的安排搭配，才能使問題很好的解決。根據(jù)題目的要求，關鍵是要解決每人騎車和步行的路程。由于無論是騎車還是步行，三人的速度都相同，并且是同時到達，因此每人步行的路程一定相等

11、，同樣每人騎車的路程也相等。我們將全程看成1份，由于三人騎車和步行共行了3份的路程，其中三人騎車共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程。那么每人行了全程的，由此，問題的解決就比較簡單了。解答：將全程看成1份，由于三人騎車和步行共行了3份的路程，其中三人騎車共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程。那么每人行了全程的，這樣步行的路程為：12=8（千米）；騎車的路程為：128=4（千米）。所以，所用的時間為：42085=（時）。說明：把握騎車與步行的關系，是這道題研究的關鍵。由于合理地安排了騎車與步行的路程，使問題很巧妙的得到了解決。閱讀材料三余三國時期，有人就一段文章該怎樣理解

12、去請教學者董遇，董遇不肯直接解答，他說“讀書百遍，其意自現(xiàn)”。意思是要認真的多讀幾遍，書中的道理自然就明白了。那人說：“我沒有那么多時間啊”。董遇說：“用三余時間好了”。那人又問：“什么是三余時間”。董遇答：“冬天是年之余，夜晚是日之余，陰雨是時之余?！笨梢?，要獲得豐富的知識，就應該擠時間刻苦攻讀。練習題1甲、乙二人相距2000米，兩人同時從兩地相向而行。甲分鐘走60米，乙每分鐘走40米，甲帶著一只狗，同甲一起出發(fā)，狗每分鐘走100米，碰到乙時狗立即調頭往甲的方向走，碰到甲時又立即調頭向乙的方向走，如此繼續(xù)往返，當甲和乙相遇時，這只狗一共走了多少米？分析：由于甲、乙二人在做相向運動的同時，狗在

13、不停的運動，因此，甲、乙二人的相遇時間就是狗運動的時間，由此，可求出狗所走的路程。解答：甲、乙二人的相遇時間是：2000（4060）=20（分）所以，狗所走的路程是：10020=2000（米）2甲用45秒可繞一環(huán)行跑道跑一圈，乙與甲同時從同地反向跑，每隔15秒，與甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？分析：由于乙與甲同時從同地反向跑，甲用45秒可繞環(huán)行跑道跑一圈，15秒相遇時，二人共同跑完一圈。乙15秒所跑的路程就相當于甲4515=30（秒）所跑的路程，因此，二人的速度關系就比較容易確定了。解答：由于同一段路程所用時間越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：（4515）15=2（倍），由此，可以

14、判斷出乙跑一圈所用的時間是甲的一半。所以，乙跑完一圈用：452=22.5（秒）。說明：合理的轉化問題，抓住甲、乙運動中的關系，是這道題目的“突破口”。3甲村、乙村相距6千米，小華和小明分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后馬上返回）。在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇，小明到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇。小華和小明的速度各是多少？分析：因為，兩人第一次相遇時，共同走了1個全程，到第二次相遇時共同走了3個全程，由于第一次相遇用40分鐘，因此不難求出兩人第二次相遇所需的時間，從而進一步可以求出小華所走的路程，再解決兩人的速度就不困難了。解答：因為第一次相遇用40

15、分鐘，因此，從出發(fā)到第二次相遇所需的時間是：40360=2（小時），又因為在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇，這時小華共走了：622=10（千米），小明共走了62=8（千米），因此，小華的速度是：102=5（千米/時）；小明的速度是；82=4（千米/時）。說明：從第一次相遇到第二次相遇二人共走了2個全程，用了2個相遇時間是這道題解題的關鍵。14一個圓的周長為1.44米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)，沿圓周相向爬行。分鐘后它們都調頭而行，再過3分鐘，它們又調頭爬行，依次按照1、3、5、7、（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調頭爬行。這兩只螞蟻每分鐘分別爬5.5厘米和3.5厘米，那么經(jīng)過多長的時間它們初次相遇

16、？分析：因為圓的半周長是：1.442=0.72（米）=72（厘米）。如果不考慮往返的情況，兩只螞蟻所需的相遇時間是：72（5.53.5）=8（分）。然后再考慮往返的情況，如下表：經(jīng)過時間1357911131516（分）向上半圓爬行的時間向下半圓爬行122212222的時間從表中不難看出，第15分鐘后，兩只螞蟻向下半圓爬行剛好都需要8分鐘。由此，即可求出初次相遇所需的時間。解答：因為圓的半周長是：1.442=0.72（米）=72（厘米），如果不考慮往返的情況，兩只螞蟻所需的相遇時間是：72（5.53.5）=8（分）。根據(jù)表格分析，它們初次相遇的時間是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（

17、分）。說明：利用列表法進行分析，也是解決行程問題常用的手段。5繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。小王以每小時4千米的速度每走1小時后休息5分鐘，小張以每小時6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)后經(jīng)過多長時間第一次相遇？分析：根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)，每1小時5分，小王走4千米，休息5分鐘，每1小時小張走6=5（千米），休息10分鐘，而湖一周的長度是24千米，很容易估算出兩人相遇的時間應該在2個多小時。這樣在兩輪休息后不用休息兩人就可以相遇。因此只要求出兩輪休息后到相遇所用的時間，就可以使問題得以解決。解答：到第二輪休息時，也就是2小時10分，小王共走了42=8

18、（千米），而小張走了52+6=11（千米）。這時兩人還相距24（811）=5（千米）。由于從此時到相遇已經(jīng)不需要休息，因此，共同走完這5千米兩人共需的時間是：5（46）=0.5（時）=30（分）。所以，他們第一次相遇共需2小時10分30分=2小時40分。說明：限定所用時間在2個多小時是這道題研究的“突破口”。并且，在解題過程中要注意小張1小時中只走了50分鐘，因此1小時中他只走了5千米，而不是6千米。6一個圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點，同時出發(fā)同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發(fā)點30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原的速度

19、是多少？分析：根據(jù)題意，甲共行了7030=40（厘米），所需的時間是404=10（秒）。在10秒內乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不難求出乙原有的速度。解答：因為，甲共行了7030=40（厘米），所需的時間是404=10（秒）。10秒內乙爬行：15+30=45（厘米），假設10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+452=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.510=3.75（厘米/秒）。7甲、乙兩人從相距200米的兩個地方同時相向而行，不停留的往返于兩地之間，如果甲每分鐘行65米，乙每分鐘行70米，當兩人第一次回到各自的出發(fā)地點時，甲行了多少米？分

20、析：根據(jù)甲每分鐘行65米，乙每分鐘行70米，可以判斷出兩人速度間的關系，同時因為兩人運動所用的時間相同，因此兩人所行路程的關系與速度的關系完全相同。由此即可推出甲所行的路程。解答：因為，6570=，可以看出當甲行了13份的路程時，乙就行了14份的路程，因此當甲走了13個全程時，乙就走了14個全程。當甲走了132=26（個）全程時，乙同時走了142=28（個）全程。兩人才各自回到出發(fā)的地點，所以，甲走了20026=5200（米）。說明：值得注意的是，當甲走了13個全程，乙走了14個全程時，甲并沒有回到出發(fā)的地點，要想回到出發(fā)地，全程的個數(shù)必須是偶數(shù)個。8甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，6

21、小時后相遇在C點，如果甲車的速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還是從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點D距點C12千米，如果乙車的速度不變，甲車每小時多行5千米，則相遇地點E距點C16千米。甲車原每小時行多少千米？分析：題中“如果甲車的速度不變，乙車每小時多行5千米”與“如果乙車的速度不變，甲車每小時多行5千米”，說明兩次改速后兩車的速度和相同，因此，改變速度后，從出發(fā)到相遇所需要的時間相同。解答：如圖，兩次改變速度后，相遇地點相距1612=28（千米），所以從出發(fā)到兩車相遇的時間為：285=5.6（時）根據(jù)甲車的速度不變，6小時行到C點，而5.6小時只能行到點D，相差12千米，所以甲車原速為：12（65.6）=30（千米）。說明：在改速后“速度和”相同，抓住這一特點，就能迅速簡便的達到解題的目的，這就是我們在分析問題中常提到的“變中抓不變”的思想。9甲、乙兩個班的學生同時從學校出發(fā)去距學校24千米的某公園。學生的步行速度是每小時5千米。學校有一輛汽車，它的速度是每小時35千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。問：兩個班的學生在最短的時間內同時到達公園用多少時間？（上下車的時間忽略不計）分析：要想使兩個班的同學在最短時間同時