2022年廣東省中山等七校聯(lián)合體高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若，則的最小值為（ ）參考數(shù)據(jù)：ABCD2九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠， 長五尺

2、在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（ ）A斤B 斤C斤D斤3如果直線與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（ ）A點(diǎn)M在圓C上B點(diǎn)M在圓C外C點(diǎn)M在圓C內(nèi)D上述三種情況都有可能4阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里

3、放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為 （ ）ABCD5過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是（ ）ABCD6過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（ ）ABCD7中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當(dāng)該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為( ) A3B3.4C3.8D48設(shè)，則，三數(shù)的大小關(guān)系是ABCD9已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中

4、，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（ ）ABCD10已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）AB2C4D311三棱錐的各個頂點(diǎn)都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，若點(diǎn)在線段上，且，則過點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為（ ）ABCD12設(shè)，則“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則球O的體積為_.14已知向量，則_.15已知非零向量的夾角為，且，則_.16設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比是 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明

5、、證明過程或演算步驟。17（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:()試估計(jì)在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);()從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;()為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成

6、績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)18（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，求二面角的余弦值.19（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.（）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.20（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形（1）求橢圓的方程；（2）已知直線

7、與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、試判斷是否為定值,并說明理由21（12分）已知函數(shù).（）已知是的一個極值點(diǎn)，求曲線在處的切線方程（）討論關(guān)于的方程根的個數(shù).22（10分）在中,角、所對的邊分別為、，角、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】首先的單調(diào)性，由此判斷出，由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增.由于，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構(gòu)造函數(shù)，.構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上遞減，而，

8、所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.2B【解析】依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設(shè)首項(xiàng)，則，公差，.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，

9、圓心到直線的距離，即也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題4C【解析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為 .故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.5A【解析】過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為，故選6C【解析】需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)

10、系分別表示轉(zhuǎn)化出，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作.由拋物線定義知，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題7D【解析】根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.8C【解析】利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，所以有.選C.【點(diǎn)睛

11、】本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.9C【解析】根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10A【解析】由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出?！驹斀狻抗蔬x：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題11A【解析】由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【詳解】如圖，設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G，則

12、外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以O(shè)D=.則過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.12A【解析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若， ，則，可得；若，可得，無法得到，所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是： 若為真命題且為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件； 若為假命題且為真命題，則

13、命題p是命題q的必要不充分條件； 若為真命題且為真命題，則命題p是命題q的充要條件； 若為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件. 判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)椋渣c(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，

14、考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題143【解析】由題意得，再代入中，計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意可得，解得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意向量數(shù)量積公式的運(yùn)用.151【解析】由已知條件得出,可得，解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,可得:,可得,解得，故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】當(dāng)q=1時，.當(dāng)時，所以.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 ()

15、萬；()分布列見解析， ；()【解析】()根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.() 的可能取值為，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.() 英語測試成績在70分以上的概率為 ，故，解得答案.【詳解】()樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數(shù)為：萬人.() 8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，.故分布列為：.() 英語測試成績在70分以上的概率為 ，故，故.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18（1）見解析；（2）【解析】（1）要證明PC面ADE，由已知可得ADPC，只需滿足即可，從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn);（

16、2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角PAED的余弦值【詳解】（1）法一：要證明PC面ADE，易知AD面PDC，即得ADPC，故只需即可，所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn). 法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系DXYZ， 由題意知PDCD1，設(shè)， ，由，得，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).（2）由（1）知， ，設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得 所以，故所求二面角PAED的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力19（）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（

17、）16.【解析】(I)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(II)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】() 由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為：，又因曲線的左焦點(diǎn)為，將其代入中，得到，所以的極坐標(biāo)方程為 .（）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為，所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為：，所以當(dāng)時，即時，橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16 .【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，極徑的應(yīng)用，考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化

18、能力，屬于基礎(chǔ)題型.20（1）（2）為定值【解析】（1）根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程：,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得把和代入,得和 ,的表達(dá)式,比即可得出為定值【詳解】解：（1）依題意,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）為定值.因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率設(shè)直線：,由得,由,得 把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,由式,得, 把式代入式,得,即為定值【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問題,考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.21（）；（）見解析【解析】（）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f (x)的一個極值點(diǎn)，得f (2) =0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)槭堑囊粋€極值點(diǎn)，所以，即，所以，因?yàn)?，則直線方程為，即；（）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)