數(shù)理方程與特殊函數(shù)：2弦振動和幾類波動方程的定解條件

1、幾個常用的物理定律弦的橫向振動問題細桿的縱向振動問題波動方程的定解條件 數(shù)理方程2物理、力學、電磁學、自動化工程、生物工程等領域中,研究某物理量和其它物理量之間的變化關系。物理學中的定律，往往只給出這些函數(shù)和它們的各階導數(shù)與自變量的關系。牛頓第二定律: F = m a a物體加速度;F合外力;m物體質量虎克定律: (1) f = k x; f 彈力;k彈性系數(shù); x彈簧伸長(2) p = Y ux; Y楊氏模量; ux彈性體相對伸長單擺的數(shù)學模型:牛頓冷卻定律: q = k(u|S u0) q熱流密度; u0外界溫度;u|S物體溫度散度定理: A = p(x, y, z)i + q (x, y

2、, z) j + r (x, y, z) k div A = px+ qy + rz擴散實驗定律:流過面積微元dS的粒子質量 dM = k un(x,t)dSdtk 擴散系數(shù); un沿熱流方向的方向導數(shù)付里葉熱傳導定律: Q熱量;T溫度;熱導率一階導數(shù):導數(shù)的意義:二階導數(shù):速度、加速度、變化率、曲率、切線或或或二元函數(shù): u = u(x, t )或弦的橫向振動問題 一根均勻柔軟的細弦線,一端固定在坐標原點,另一端沿 x 軸拉緊固定在 x 軸上的 L 處，受到擾動，開始沿 x 軸(平衡位置)作微小橫振動(細弦線上各點運動方向垂直于x 軸).試建立細弦線上任意點位移函數(shù) u(x,t) 所滿足的規(guī)

3、律 . uxT1T2Ox x+dxgdsds設細弦上各點線密度為, 細弦上質點之間相互作用力為張力T(x，t) 水平合力為零 T2 cos 2T1 cos 1 = 0 cos 1cos 2 1 T2T1T 鉛直合力: F=m aT( sin 2sin 1) = ds uttsin 1 tan 1 T( tan 2tan 1) = ds utt dsdx 其中一維波動方程: utt = a2 uxx 考慮有恒外力密度f(x，t)作用時，可以得到一維波動方程的非齊次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)T ux(x+dx，t)ux(x，t) = ds utt utt= a2 uxx細桿

4、的縱向振動問題細桿縱向振動時，細桿各點伸縮，質點位移 u(x，t) 改變，質點位移相對伸長為 ux，截面應力 P = Y uxY 是楊氏模量。截面的張力 T = SP。 u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO均勻細桿長為L，線密度為，楊氏模量為Y，桿的一端固定在坐標原點，細桿受到沿桿長方向的擾動(沿x軸方向的振動)桿上質點位移函數(shù) u(x，t) T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)SY ux(x+dx, t) ux(x, t) 用牛頓第二定律SY ux(x+dx，t)ux(x，t) = S dxutt 令 a2 = Y/。

5、化簡，得 utt = a2 uxx或由弦振動問題定解條件細弦一端固定在坐標原點,另一端固定在 x 軸上的 L 處.受到垂直于 x 軸方向的擾動,作微小橫振動。初始條件包括初始位移和初始速度 u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0初始條件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x) 邊界條件表示端點狀態(tài),初始條件表示歷史狀態(tài)OLL/2hxu波動方程定解條件I波動方程定解條件II 細弦的線密度為,一端固定在坐標原點,另一端固定在 x 軸上的 L 處.弦的中

6、點受到垂直于 x 軸方向的沖量 I 的作用,作微小橫振動。函數(shù) u(x,t) 表示位移波動方程定解條件III Lu(L,t)O細桿在 x = 0 點固定, 在 x = L 處受外力 F(t) 作用 F(t) SY ux( L , t ) = 0 波動方程定解條件IV 弦的一端固定在原點,另一端與 x 軸上 L 處的彈簧相接.受到擾動,作上下微小橫振動。在右端點處(張力=彈性力) : Tux= -Ku令 =T/K, 得u + uxx=L=0習題 2.1（P.22）1、2、3、4偏微分方程定解條件小結:第一種情況: 初始條件( 求解區(qū)域為無界區(qū)域 )第二種情況: 初邊值條件(求解區(qū)域為有界區(qū)域)第一類邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的函數(shù)值第二類邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的導數(shù)值第三類邊界條件