導數(shù)微分及其應用課件

1、第二章 導數(shù)微分及其應用17 七月 20222大學數(shù)學基礎 微積分的產(chǎn)生是數(shù)學上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術和理論科學的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術和科學的發(fā)展。 微積分是微分學和積分學的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的天下篇中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為九間算術作注時提出了 “ 割圓術 ” ，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。 積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學家阿基米德在拋物線求積法中用究竭法求出拋物線弓形的面積，沒有用極

2、限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。微積分的創(chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。 解析幾何為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎 。17 七月 20223大學數(shù)學基礎第一節(jié) 函 數(shù)區(qū)間一、預備知識設a，b是兩個實數(shù)，且ab開區(qū)間 ： 滿足不等式 axb一切實數(shù)的全 體。閉區(qū)間 ： 滿足不等式 axb的一切實數(shù)的 全體。 半開區(qū)間 ：滿足不等式 axb的一切實數(shù)的 全體。 ：a x b17 七月 20224大學數(shù)學基礎表示全體實數(shù)，或?qū)懗?x ；表示大于a的全體實數(shù)，或?qū)懗蒩 x +；表示小于a的全體實數(shù)，或?qū)懗?x a；表示 a x +；表示N的一切an，有不等式 | an a| 稱數(shù)列an以有限數(shù)a為極限，常數(shù)a叫作

3、數(shù)列an當n時的極限?；蚍Q數(shù)列an收斂到a，記作17 七月 202217大學數(shù)學基礎(2)、單調(diào)數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱單調(diào)數(shù)列。 (3)、有界數(shù)列對于數(shù)列an，如果存在正數(shù)M，使得數(shù)列中的每一項an(n=1,2,3,)都滿足不等式-M an0，總存在一個0，0|x-x0|時，有 | f(x)-A|0，作直線 y=A+，y=A-,這兩條直線形成一橫條區(qū)域. 對于這個,存在點x0的一個鄰域(x0-，x0+)，當x(x0-，x0+)但xx0時，有不等式：點（x, f(x)）落在上面所做的一橫條區(qū)域內(nèi)。17 七月 202226大學數(shù)學基礎17 七月 202227大學數(shù)學基礎17 七月 20

4、2228大學數(shù)學基礎、當x時函數(shù)f(x)的極限17 七月 202229大學數(shù)學基礎解17 七月 202230大學數(shù)學基礎 、 極限的四則運算法則當x 時，性質(zhì)也成立。17 七月 202231大學數(shù)學基礎數(shù)列極限四則運算也有類似的定理:17 七月 202232大學數(shù)學基礎17 七月 202233大學數(shù)學基礎所以 解 注意到17 七月 202234大學數(shù)學基礎分母的極限不為零。解17 七月 202235大學數(shù)學基礎 4、兩個重要極限17 七月 202236大學數(shù)學基礎解因此17 七月 202237大學數(shù)學基礎解17 七月 202238大學數(shù)學基礎解先用x去除分母及分子，然后取極限.17 七月 20

5、2239大學數(shù)學基礎解17 七月 202240大學數(shù)學基礎5、無窮小量和無窮大量 、無窮小量例如一個函數(shù) 當 時以0為極限，稱該函數(shù)為當 時的無窮小量。17 七月 202241大學數(shù)學基礎.定理無窮小量階 17 七月 202242大學數(shù)學基礎17 七月 202243大學數(shù)學基礎下面是幾個常用的等價無窮?。?17 七月 202244大學數(shù)學基礎、無窮大量17 七月 202245大學數(shù)學基礎17 七月 202246大學數(shù)學基礎第三節(jié) 連 續(xù)1、連續(xù)的定義17 七月 202247大學數(shù)學基礎17 七月 202248大學數(shù)學基礎區(qū)間連續(xù)的定義17 七月 202249大學數(shù)學基礎連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)

6、的曲線。 17 七月 202250大學數(shù)學基礎17 七月 202251大學數(shù)學基礎2、初等函數(shù)的連續(xù)性定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù)。定理 初等函數(shù)在定義域上的區(qū)間上連續(xù)。17 七月 202252大學數(shù)學基礎解17 七月 202253大學數(shù)學基礎3、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有界。17 七月 202254最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有最大值和最小值即：大學數(shù)學基礎17 七月 202255大學數(shù)學基礎17 七月 202256大學數(shù)學基礎17 七月 202257大學數(shù)學基礎證明 17 七月 202258大學數(shù)學基礎如果記f(x

7、)在閉區(qū)間a, b上的最的大值為M，最小值為m, 且mcM，那么存在一點a, b使得 f()=c。17 七月 202259大學數(shù)學基礎17 七月 202260大學數(shù)學基礎第四節(jié) 函數(shù)的導數(shù)一、導數(shù)的概念 兩個例子 (1)、切線問題設A點是曲線c上的一點。如何確定曲線c在A點的切線AT呢？ 17 七月 202261大學數(shù)學基礎17 七月 202262大學數(shù)學基礎(2)、瞬時速度 設物體A沿著一條直線運動，我們用s=s(t)表示t時刻物體A離開初始位置的距離。求A在t0時刻的瞬時速度v(t0) ？17 七月 202263大學數(shù)學基礎1、定義存在，則稱這個極限為函數(shù) f(x)在點x0處的導數(shù)，并稱函

8、數(shù)f(x)在x0處可導或有導數(shù)。(點導數(shù))17 七月 202264大學數(shù)學基礎如果這個極限不存在，就稱函數(shù)f(x)在x0處不可導 。解：17 七月 202265大學數(shù)學基礎17 七月 202266大學數(shù)學基礎2、定義(區(qū)間導數(shù))17 七月 202267大學數(shù)學基礎導函數(shù)的定義式為17 七月 202268大學數(shù)學基礎解：17 七月 202269大學數(shù)學基礎3、 基本求導公式和求導法則基本求導公式17 七月 202270大學數(shù)學基礎導數(shù)的四則運算 17 七月 202271大學數(shù)學基礎解：解：17 七月 202272大學數(shù)學基礎解：17 七月 202273大學數(shù)學基礎復合函數(shù)的求導法則鏈鎖法則 17

9、 七月 202274大學數(shù)學基礎解：將函數(shù)分解的兩個簡單函數(shù) ， 根據(jù)鏈鎖法則，有17 七月 202275大學數(shù)學基礎解：將函數(shù)分解的兩個簡單函數(shù) ， 根據(jù)鏈鎖法則，有17 七月 202276大學數(shù)學基礎4、高階導數(shù) 二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù) 17 七月 202277大學數(shù)學基礎解：先求函數(shù)的一階導數(shù) 再求一階導數(shù)的導數(shù) 二階是一階導數(shù)的導數(shù) 17 七月 202278大學數(shù)學基礎17 七月 202279大學數(shù)學基礎第五節(jié) 函數(shù)的微分一、微分的概念 1.定義 設y=f(x)在點x處可導，則 稱為函數(shù) y=f(x)在點x處的微分，記作dy，即：dy= 。 微分的表達式2.定理：可導函數(shù)一定

10、可微，可微函數(shù)一定可導。17 七月 202280大學數(shù)學基礎二、微分的幾何意義xyOxAT是曲線y=f(x)上點A處的切線。其中 是切線AT和x軸正方向的夾角。當自變量從x變到x+dx時，曲線y=f(x)在點A處的切線的改變量是TC=dy。這就是微分的幾何意義。17 七月 202281大學數(shù)學基礎解：因為所以17 七月 202282大學數(shù)學基礎三、 基本微分公式17 七月 202283大學數(shù)學基礎四、 微分的運算17 七月 202284大學數(shù)學基礎解：用函數(shù)乘積的微分法則， 17 七月 202285大學數(shù)學基礎17 七月 202286大學數(shù)學基礎第六節(jié) 導數(shù)的應用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP17 七月 202287大學數(shù)學基礎17 七月 202288大學數(shù)學基礎二、洛必塔法則 17 七月 202289大學數(shù)學基礎解：因為所以17 七月 202290大學數(shù)學基礎17 七月 202291大學數(shù)學基礎大學數(shù)學基礎解：因為所以17 七月 202292大學數(shù)學基礎三、函數(shù)的單調(diào)性17 七月 202293大學數(shù)學基礎解：17 七月 202294大學數(shù)學基礎四、函數(shù)的極值函數(shù)的極大值和極小值都稱為函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值點和極小值點都稱為函數(shù)的極值點。 17 七月 202295大學數(shù)學基礎稱使 為零的點為函數(shù)的