第2章連續(xù)時間信號的分析ppt課件

1、2.1 延續(xù)時間信號的時域分析 2.1.1 根本延續(xù)時間信號 2.1.2 延續(xù)時間信號的沖激表示2.2 周期信號的傅里葉分析 2.2.1 周期信號的傅里葉級數(shù) 2.2.2 典型周期信號的頻譜2.3 非周期信號的傅里葉變換 2.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 2.3.2 典型非周期信號的傅里葉變換 2.3.3 傅里葉變換的性質(zhì)2.4 周期信號的傅里葉變換2.5 延續(xù)信號的拉普拉斯變換 2.5.1 拉普拉斯變換的定義 2.5.2 拉普拉斯逆變換第二章 延續(xù)時間信號的分析 時域分析 以沖激函數(shù)為根本信號，恣意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t) = h(t)*f(t)。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)

2、立變量是時間。 頻域分析 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejt為根本信號，恣意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。2.1 延續(xù)時間信號的時域分析2.1.1 根本延續(xù)時間信號1、單位斜變信號數(shù)學(xué)描畫：2、單位階躍信號忽然接入的直流電壓忽然接通又馬上斷開電源1階躍信號的物理背景開關(guān)作用n 函數(shù)序列n(t)階躍信號和沖激信號都是奇特信號, 階躍信號與沖激信號是兩種最根本的理想信號模型。階躍信號和沖激信號在信號分析與處置中占有重要位置。2階躍信號的數(shù)學(xué)描畫延遲時間的階躍函數(shù) 單位階躍函數(shù)3階躍信號的單邊特性對函數(shù) t0 部分的截取 5用階躍函數(shù)閉式

3、表示分段光滑信號x(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) 4階躍信號的加窗特性對脈沖范圍內(nèi)的截取 6單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號1沖激信號的物理背景 沖激信號反映一種繼續(xù)時間極短，函數(shù)值極大的脈沖信號的極限，如：雷擊電閃、短促而劇烈的干擾信號、瞬間作用的沖擊等等。3、單位沖激信號單位沖激信號的特征：寬度無窮小脈寬、高度無窮大脈高、面積為1強(qiáng)度為1的窄脈沖。留意：圖中K為強(qiáng)度，要括?。?沖激信號(t)的數(shù)學(xué)描畫 延遲單位沖激1(t)的狄拉克定義單位沖激函數(shù)普通沖激信號2 脈沖函數(shù)極限定義法矩形脈沖逼近： 脈沖逼近：對n(t)求導(dǎo)矩形脈沖pn(t) 3沖激函數(shù)的性質(zhì) 1 與普通函數(shù)

4、 x(t) 的乘積篩分性質(zhì)假設(shè)x(t)在 t = 0 、 t = t0處存在，那么 x(t)(t) = x(0)(t) ， x(t)(t t0) = x(a) (t t0) 沖激函數(shù)把信號在充激時辰的值“篩分出來，賦給沖激函數(shù)作為沖激強(qiáng)度。延續(xù)信號與沖激函數(shù)相乘再積分，等于沖激時辰的信號值,這就是抽樣性質(zhì)。 2 與普通函數(shù) x(t) 的乘積再積分抽樣性質(zhì)4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，延續(xù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如x(t) = 2(t +1)-2(t -1)x(t) = 2(t +1)-2(t -1)求導(dǎo)nn 4、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(t) 也稱沖激偶信號 ( t) = (t) 為偶函數(shù)

5、( t) = (t) 為奇函數(shù)1沖激偶信號的數(shù)學(xué)描畫2沖激偶信號的性質(zhì) 1 與普通函數(shù) x(t) 的乘積篩分性質(zhì) 2 抽樣性質(zhì) 0(t)例：簡化以下表達(dá)式。 5、指數(shù)信號1指數(shù)信號的數(shù)學(xué)描畫1實指數(shù)信號指數(shù)規(guī)律增長指數(shù)規(guī)律衰減直流2復(fù)指數(shù)信號增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信號是延續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中運(yùn)用的根本信號。其中復(fù)頻率s中的實部絕對值的大小反映了信號增長或衰減的速率，虛部的大小反映了信號振蕩的頻率。2用復(fù)指數(shù)信號表示正余弦信號 6、抽樣信號抽樣信號的數(shù)學(xué)描畫：2.1.2 延續(xù)時間信號的沖激表示恣意延續(xù)信號可以表示為無限多個不同加權(quán)的沖激信號之和。 傅里葉生平1768年生于法國180

6、7年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示拉格朗日反對發(fā)表1822年初次發(fā)表在“熱的分析實際一書中1829年狄里赫利第一個給出收斂條件非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示 傅立葉的兩個最主要的奉獻(xiàn)周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和2.2 周期信號的傅里葉分析傅里葉分析的工程意義各種頻率的正弦信號的產(chǎn)生、傳輸、分別和變換容易工程實現(xiàn)。正弦量只需三要素即可描畫，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的差別只需兩要素，即系統(tǒng)的作用只改動信號的振幅和相位。 是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，呼應(yīng)易求且簡單。1、傅里葉分析的根本信號單元2、適用于廣泛的信號 由虛指數(shù)或正弦信號的線性組合可以組成工程中各種信號，使得對

7、恣意信號作用下的LTI系統(tǒng)進(jìn)展頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、緊縮處置。3、頻域分析的優(yōu)勢恣意信號分解成不同頻率虛指數(shù)正弦信號的線性組合，分析LTI系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號作用的呼應(yīng)特性的過程就是頻域分析。頻率分析可以方便求解系統(tǒng)呼應(yīng)。 例如相量法。頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果?？芍苯釉陬l域內(nèi)設(shè)計可實現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計。狄里赫利條件1、在一個周期內(nèi)只需有限個延續(xù)點(diǎn)；2、在一個周期內(nèi)有有限個極值點(diǎn)；3、在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)：假設(shè)兩個函數(shù)g1(t)、g2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足那么闡明這

8、兩個函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或稱它們是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)集：假設(shè)函數(shù)集gi(t) 在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)且函數(shù)g1(t) ，. gn(t) 滿足那么這個函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當(dāng)ki=1時為歸一化正交函數(shù)集。滿足一定條件的信號可以被分解為正交函數(shù)的線性組合假設(shè)正交函數(shù)集是完備的，那么：三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)是根本函數(shù)；用三角函數(shù)表示信號，建立了時間與頻率兩個根本物理量之間的聯(lián)絡(luò)；單頻三角函數(shù)是簡諧信號，易于產(chǎn)生、傳輸、處置；三角函數(shù)信號經(jīng)過LTI系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號。三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集：1、傅里葉級數(shù)

9、的三角方式設(shè)周期信號x(t)，其周期為T1，角頻率1=2/T1，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為x(t)的傅里葉級數(shù) 系數(shù)ak , bk稱為傅里葉系數(shù) 可見， ak 是k的偶函數(shù)， bk是k的奇函數(shù)。2.2.1 周期信號的傅里葉級數(shù)式中，C0 = a0上式闡明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， C0為直流分量； C1cos(1t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號一樣； C2cos(2 1t +2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；普通而言，Ckcos(k 1t+k)稱為k次諧波。 可見Ck是k的偶函數(shù)， k是k的奇函數(shù)。ak

10、= Ckcosk， bk = Cksin k，k=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級數(shù)2、傅里葉級數(shù)的指數(shù)方式三角方式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因此經(jīng)常采用指數(shù)方式的傅里葉級數(shù)。可從三角方式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。 (k = 0, 1, 2，) 闡明：恣意周期信號x(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 X0 = C0為直流分量。兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系: 3、三角方式與指數(shù)方式的比較三角方式便于電路計算，便于對稱性分析指數(shù)方式是本課程研討的主要方式可推出傅里葉變換 表

11、達(dá)最簡練 k = 0, 1, 2， 指數(shù)方式的優(yōu)勢 代表頻譜2.2.2 典型周期信號的頻譜 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將Ck和k的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。由于k0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Xk|和k的關(guān)系，稱為雙邊譜。假設(shè)Xk為實數(shù)，也可直接畫Xk 。1、周期矩形脈沖信號的頻譜周期矩形脈沖信號的脈沖寬度為，脈沖幅度為A，周期為T1，求頻譜。 離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各

12、分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化；過零點(diǎn)為： ；主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為：周期矩形脈沖信號頻譜的特點(diǎn)：譜線的構(gòu)造與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T1一定，變小，此時1譜線間隔不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。周期不變時，脈沖寬度越窄，其頻譜包絡(luò)線第一個零值點(diǎn)的頻率越高，即信號的帶寬越大，頻帶內(nèi)所含的分量越多 。假設(shè)周期無限增長這時就成為非周期信號，那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的延續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。 (b) 一定，T1增大，間隔1減小，頻譜變密。幅度減小。2、周期三角脈沖信號的頻譜2.3 非

13、周期信號的傅里葉變換2.3.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 非周期信號x(t)可看成是周期T1時的周期信號。 前已指出當(dāng)周期T1趨近于無窮大時，譜線間隔1趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檠永m(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。 為了描畫非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 (單位頻率上的頻譜 稱X()為頻譜密度函數(shù)。思索到：T1，1無窮小，記為d； k 1 由離散量變?yōu)檠永m(xù)量，而同時， 于是，傅里葉變換式“-傅里葉反變換式X()稱為x(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。x(t)稱為X()的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)也可簡記為或 x(t)

14、 X()X()是一個密度函數(shù)的概念X() 是一個延續(xù)譜X() 包含了從零到無限高頻的一切頻率分量各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系非周期信號FT的物理意義X()普通是復(fù)函數(shù)，寫為闡明： (1)前面推導(dǎo)并未遵照嚴(yán)厲的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)x(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用以下關(guān)系還可方便計算一些積分。|X()|幅度譜 ()相位譜非周期信號的幅度頻譜是頻率的延續(xù)函數(shù)，其外形與相應(yīng)周期信號頻譜的包絡(luò)線一樣。 2.3.2 典型非周期信號的頻譜單邊指數(shù)信號 x(t) = et(t)， 0實數(shù)2. 矩形脈沖信號 門函數(shù) 3. 符號函數(shù) 4. 單位沖激信號 5. 直流信號(t)1代入反變換定義式，有將t

15、，t-再根據(jù)傅里葉變換定義式有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列xn(t)逼近x (t) ，即而xn(t)滿足絕對可積條件，并且xn(t)的傅里葉變換所構(gòu)成的序列Xn()是極限收斂的。那么可定義x(t)的傅里葉變換X ()為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 廣義傅里葉變換6. 單位階躍信號 7. 雙邊指數(shù)信號 x(t) = et , 0 2.3.3 傅里葉變換的性質(zhì)1. 線性(Linear Property)假設(shè)，那么對于恣意常數(shù)a1和a2，有 證明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)= a1

16、X1() + a2 X2() 2. 對偶性(Symmetrical Property)假設(shè) x (t) X() 那么證明:1in (1) t ，t then 2in (2) - then X(t) 2x () endX( t ) 2x ()3. 尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)假設(shè) x (t) X() 那么 其中 “a 為不等于零的實常數(shù)。證明：F x (a t ) =For a 0F x (a t ) for a 0時收斂域收斂邊境即單邊拉氏變換的ROC為：Res= 0可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：1. ROC是 S 平面上平行于 軸的帶狀區(qū)域。2. 在RO

17、C內(nèi)無任何極點(diǎn)。3. 時限信號的ROC是整個 S 平面。4. 右邊信號的ROC是 S 平面內(nèi)某一條平行于 軸的直線的右邊。The Region of Convergence for Laplace Transforms假設(shè) ，那么闡明 也在收斂域內(nèi)。假設(shè) 是右邊信號, , 在ROC內(nèi)，那么有 絕對可積，即：5. 左邊信號的ROC是S平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。 假設(shè) 是左邊信號，定義于 , 在 ROC 內(nèi)， ，那么闡明 也在收斂域內(nèi)。6. 雙邊信號的ROC假設(shè)存在，一定是 S 平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。例1.調(diào)查零點(diǎn)，令得例2.有極點(diǎn) 顯然 在 也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在

18、整個S平面上無極點(diǎn)。當(dāng) 時，上述ROC有公共部分，當(dāng) 時，上述 ROC 無公共部分，闡明 不存在。 當(dāng) 是有理函數(shù)時，其ROC總是由 的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足以下規(guī)律： 1. 右邊信號的ROC一定位于 最右邊極點(diǎn)的右邊。 2. 左邊信號的ROC一定位于 最左邊極點(diǎn)的左邊。 3. 雙邊信號的ROC可以是恣意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶狀區(qū)域。例3.可以構(gòu)成三種 ROC： ROC： 此時 是右邊信號。 ROC： 此時 是左邊信號。 ROC： 此時 是雙邊信號。(1) (t) 1， -(2) (t)或1 1/s ， 0利用0_系統(tǒng)，可以計算信號在 t=0 時發(fā)生的沖激。全 s 域內(nèi)均存在拉氏變換。留意：階

19、躍信號只在 的區(qū)域內(nèi)存在拉 氏變換， 是區(qū)域邊境。 是 的極點(diǎn)實部。當(dāng)s 的實部 時， ，故 3、常見信號的拉氏變換時，有留意：指數(shù)信號只在 的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換， 是區(qū)域邊境。cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j (3) 指數(shù)函數(shù)e-s0t -Res0= 04、拉氏變換的性質(zhì) 線性時移頻移尺度變換t 域微分s 域微分t 域積分s 域積分t 域卷積例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：x1(t) = (t) (t-1)， x2(t) = (t+1) (t-1)X1(s)=X2(s)= X1(s)留意: X2(s) 例2:求x(t)=

20、e-2(t-1)(t1) X (s)=?例3:求x(t)= e-2(t-1)(t) X (s)=?x(t)= e-2t e2(t)例4:知x1(t) X1(s), 求x2(t) X2(s)。解： x2(t) = x1(0.5t) x10.5(t-2)x1(0.5t) 2X1(2s)x1 0.5(t-2) 2X1(2s)e-2sx2(t) 2X1(2s)(1 e-2s)例5:知因果信號x(t)的象函數(shù)X(s)= 求e-tx(3t-2)的象函數(shù)。 解：e-tx(3t-2) 例6: (n)(t) ? 例7:例9: t2(t) ? 解:例8: t (t) ?例10：例11:知因果信號x(t)如圖 ,求X(s)。解:由于x(t)為因果信號，故 x(0-)=0結(jié)論：假設(shè)x(t)為因果信號，知x(n)(t) Xn(s) 那么 x(t) Xn(s)/sn2.5.2 拉普拉斯逆變換1、根本思想 根據(jù)線性性質(zhì)，把象函數(shù)分解為根本單元的組合，再求取拉普拉斯逆變換。 直接求取相當(dāng)困難！的根