線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)線性空間

1、第五章 線性空間一、內(nèi)容提要.線性空間封鎖概念1設(shè)丫是一個(gè)非空集合P是一個(gè)數(shù)域.若在丫中概念的加法和數(shù)乘運(yùn)算對(duì)集合丫且加法與數(shù)乘運(yùn)算知足線性運(yùn)算的，八條運(yùn)算規(guī)則則稱(chēng)集合V為數(shù)域P上的線性空間.線性空間又稱(chēng)為向量空間,線性空間的元素亦稱(chēng)為向量.設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,亞是丫的非空子集,若亞關(guān)于丫的加法和數(shù)乘運(yùn)算也組成數(shù)域P上的線性空間，則稱(chēng)亞為線性空間丫的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱(chēng)子空間.基、維數(shù)和坐標(biāo)概念2若線性空間丫中有門(mén)個(gè)線性無(wú)關(guān)向.而沒(méi)有更多數(shù)量的線性無(wú)關(guān)的向.則稱(chēng)丫是門(mén)維線性空間,稱(chēng)丫中門(mén)個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量為丫的一組基稱(chēng)為丫的維數(shù)，記作dimV =n .注 向量組a1, % , a 是丫的一

2、組基oa1,a2, ,%是丫中的門(mén)個(gè)線性無(wú)關(guān)向量且丫中的任一貫量a可由 a1,a2, %線性表示.向量組a1,a2,。生成的空間1（%a2,。）的一組基確實(shí)是a1,a2, ,a的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其維數(shù)確實(shí) 是向量組a , a , , a,的秩.概念3設(shè)a ,a , ,a是n維線性空間丫的一組基，a為丫中的任一貫.若 12 na = xa + x a + + x a則稱(chēng)數(shù)x1,x2, ,xn為向量a在基a1,a2, ,an下的坐標(biāo)，記作（xx2, ,xn）.向量的坐標(biāo)可寫(xiě)成行的形式也可寫(xiě)成列的形式,但在利用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算時(shí),則要以運(yùn)算式的具體情形來(lái)確信坐標(biāo)的形式.概念4設(shè)a1,a2, ,a用外P2

3、, , Pn是n維線性空間丫的兩組基，且（P1，P2， ，Pn）=（ a1,a2, ,an ） C（1）稱(chēng)C為由基a ,a , ,a到基P , P9, ,p的過(guò)渡矩陣,（1）式稱(chēng)為由基a ,a , ,a到基P , R, ,p的基 1212n .12 n12n變換公式定理1 設(shè)a1,a2，,a押/, , Pn是n維線性空間丫的兩組且由基a1,a2, ,an到基八吃, , Pn的過(guò)渡矩陣為C = (c ) 同 ij n二n(,p2, pn ) = ( a1,a2, ,a )C若向量a在這兩組基下的坐標(biāo)別離為,x2,xn)與(y 1, y2,/ ,則3.線性空間同構(gòu)概念5設(shè)V與W都是數(shù)域P上的線性空

4、間,若是由丫到W有一個(gè)雙射(一對(duì)應(yīng))。，且o具有如下性質(zhì):Va, p e 匕 k e Po(a + P) =o(a) + o(P)o (ka)= ko (a)則稱(chēng)線性空間V與W同構(gòu)，并稱(chēng)o為由V到W的同構(gòu)映射.注數(shù)域P上任意兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充要條件是它們的維數(shù)相同.定理2設(shè)線性空間V與W同構(gòu),o是由線性空間V到W的同構(gòu)映射，則V中向量a1,a2,as線性相關(guān)的充要條件是它們的像o(a1),o(a2),o(a )線性相關(guān). .向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、距離、夾角概念6設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，若是在V上概念了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱(chēng)為內(nèi)積，記作(a, P),且它具有以下性質(zhì)：a, P，丫是V中任意向

5、量/是任意實(shí)數(shù)(a,p) = (p,a)(k a, p) = k (a, p)(a + p, Y) = (a, Y) + (p, Y)(a,a) 0,當(dāng)且僅當(dāng)a = 9 時(shí)，(a ,a)= 0那個(gè)概念了內(nèi)積的線性空間V稱(chēng)為歐幾里得空間，簡(jiǎn)稱(chēng)歐氏空間.當(dāng)Rn的向量為列向量時(shí)，上述內(nèi)積可記為乘積形式(a, P) = atp .當(dāng)Rn的向量為行向量時(shí)，上述內(nèi)積可記為乘積形式(a, P )=ap t .設(shè)a是歐氏空間v中任一向量，稱(chēng)非負(fù)實(shí)數(shù)waar為向量a的長(zhǎng)度或模，記作ia 11,即iaii=-a,a).a向量丁是單位向量，將非零向量化為單位向量稱(chēng)為將向量a單位化-用|稱(chēng)為向量a與P的距離，記作d(

6、a,p),即d(a,p) = |a-Pl|.柯西-布捏柯夫斯基不等式：|(a,p)|h|.|p| ,當(dāng)且僅當(dāng)a與P線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.概念7 設(shè)a, p為歐氏空間V中的非零向量，概念a , P的夾角3為=arccos若(a, p) = 0,則稱(chēng)a與p正交(或垂直)，記作alp .向量組的正交化一組兩兩正交的非零向量組稱(chēng)為正交向量組.正交向量組必然線性無(wú)關(guān).概念8 設(shè)a1,a2, ,a是n維線性空間V的一組基，若a1,a2, ,%兩兩正交且都為單位向量，則稱(chēng)它為V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.向量組匕,汽, ,a是n維歐氏空間V中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是()0 , i 豐 j .a ,a = 2的基

7、和維數(shù).分析先找出向量空間V的一組基，即找出一組線性無(wú)關(guān)的向量，使得V中任一貫量可由這組向量線性表示. 解 在向量空間 V 中取 n -1 個(gè)向量a 1 = (1,-1,0,0, ,0), a2 = (1,0,-1,0, ,0),ani = (1,0,0, ,0,-1),顯然a1,a2, ,an 1線性無(wú)關(guān).對(duì) V中任一貫量a =(x 1,x2,xn),以a1,a2,an1,a為行構(gòu)造矩陣A,則|a| =-100-1,a ,a線性相關(guān)，又因?yàn)閍n-11,a2, ,an1線性無(wú)關(guān)，因此a可i=1x, nt,a線性表示.n-1故a , a , , a是V的基，V的維數(shù)是n -1. 1. 2n-1注

8、 那個(gè)向量空間V確實(shí)是齊次線性方程組x + x12+ + x =0的解空間，V的一組基確實(shí)是齊次線性方程組的 n一個(gè)基礎(chǔ)解系.例3設(shè)t,t , ,t是互不相同的實(shí)數(shù)，證明向量組a = (1,t,12,tn-1),i = 1,2, ,n是n維向量空間Rn中的一組基.12 n并求出向量p=(b,b, ,b)在這組基下的坐標(biāo).分析aa2,a是n維向量空間Rn中的n個(gè)向量，只需證明a ,a2, , a n線性無(wú)關(guān)即可.L. a2t1 t2t21t22t1n-1t n-1,因?yàn)閠,t , ,t是互不相同的實(shí)數(shù), 12 nt2ntn-1) n=n (t -1 )w 0 = a ,a , ,a 線性無(wú)關(guān).1

9、 i j nji12ntn-11t n -12tn-1 n因此aa 2,設(shè)3在基a1,a2,a下的坐標(biāo)為(x1，X 2,x ),則有P =x a + x a + + x a1122nn,an是n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維向量，組成n維向量空間Rn中的一組基.,xn因?yàn)锳可逆，因此(x1, x2,(xx 2,)=PA-1.故P在基aja2,an下的坐標(biāo)為pa-1.例4設(shè)R3中的向量a在基a” -2(011l),a3 = 2下的坐標(biāo)為1lx3 7，在基P , P , P下的坐標(biāo)為y ,且（1）求由基B平平到基a ,a ,a的過(guò)渡矩陣；（2）求基P平，。.123123解（1）由題有a = (a ,a , a

10、)%1%2%3=(P 平，B) y = (P 平平)-1123n (a1,a2,a3) = (B1, B2, B3) -1I1-110-10223(*),I1-110-102%1 0.12故方程組(*)只有零解k=k =0,將其代入(*),由已知P4 線性無(wú)關(guān)，得人=入=0. 121212于是得a,a ,p,p線性無(wú)關(guān).1212例7將心的一組基氣 =1化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.OJ解(1)利用施密持正交化方式將其正交化1/2=OC=a()()=OL(%)(P2，P2)(% %)OJ1/23/2-1/2J1/2(21 八2/3-1/2J2/3則% %是正交向量組1/76 一(2)將小昨單位化-1/ E1/

11、V2n2IIP2II2/76-1/6里HP3II1/731/73則n ,T| ,r|為衣3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 123(pQ)，其中P,。別離是m , n階矩陣,O為零矩陣.證明：若A為正交矩陣，則尸和。也是正交矩陣且K為零矩陣.分析用正交矩陣的概念證證由題知At =PtRtAt A =PtOt QtRtYp.因A為正交矩陣，因此PtP + RtR RtQ(EQ)QtRQtQ)上式最后一個(gè)等號(hào)兩邊比較得QtQ = e =Q為n階正交矩陣.PtP + RtR = E 且 R = O=PtP = E =P 是 m 階正交矩陣.五、習(xí)題解析習(xí)題5. 1.判定全部n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘是不是組

12、成實(shí)數(shù)域上的線性空間.答是.因?yàn)槭峭ǔＲ饬x的矩陣加法與數(shù)乘，因此只需查驗(yàn)集合對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算的封鎖性.由n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)知，n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣加n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣仍然是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，數(shù)乘n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩 陣仍然是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，因此集合對(duì)矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算封鎖，組成實(shí)數(shù)域上的線性空間.全部正實(shí)數(shù)R+,其加法與數(shù)乘概念為a b = abk a = ak其中a,b e R +,k e Ro判定R+按上面概念的加法與數(shù)乘是不是組成實(shí)數(shù)域上的線性空間.答是.設(shè)九,2R.因?yàn)?Va, b e R + n a b = ab e R + ,V九 e R, a e R + n 九 a = a 九 e R +,因此R

13、 +對(duì)定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封鎖.O下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律a b = ab = ba = b a ;(a b) c = (ab) c = (ab)c = abc = a (bc) = a (b c);R +中存在零元素1, V a e R +,有a1 = a - 1 = a ;(4)對(duì)R +中任一兀素a , 存在負(fù)元素a-i e Rn,使a a-i = aa-i = 1 ；(5) 1 a = a1 = a ;(6)九(N a)=九 a=(7)(九+ 以)a = a + = /a = a a*=九 a a ;(8)九(ab) = (ab) = (ab斗=ab = ab九二九a九b. ooo因

14、此R+對(duì)概念的加法與數(shù)乘組成實(shí)數(shù)域上的線性空間.OOOO.全部實(shí)n階矩陣，其加法概念為A B = AB - BA按上述加法與通常矩陣的數(shù)乘是不是組成實(shí)數(shù)域上的線性空間.答否.A B = AB - BA,B A = BA - AB = -(AB - BA)j AB與BA不一定相等.故概念的加法不知足加法的互換律即運(yùn)算規(guī)則（1）,全部實(shí)n階矩陣按概念的加法與數(shù)乘不組成實(shí)數(shù)域上 的線性空間.在P 2x2中，W = / |a| = 0, A e P 2.,判斷W是否是P 2x2的子空間.答否.例如(1 2、33Jl J)的行列式都為零，(24 l的行列式不為零，也確實(shí)是說(shuō)集合對(duì)加法不封鎖.習(xí)題1.討論

15、P2x2中(a1 l1J，A2(11l，a、1J，A3 =(1 1、，A4 =(1 1 、J a ,的線性相關(guān)性.解 設(shè) % A + % A + % A + % A = O,a% + % + % + % = 0% + a% + % + % = 0234%1 + %2 + a%3 + %4 = 0%1 + %2 + %3 + a%4 = 0a1111a1111a1111a由系數(shù)行列式=(a + 3)(a 一 1)3知，a。-3且a牛1時(shí)，方程組只有零解,這組向量線性無(wú)關(guān);a = -3或a = 1時(shí),方程組有非零解,這組向量線性相關(guān).在R4中，求向量a在基a , a , a , a下的坐標(biāo).其中(

16、0、(1、(2、(1、(001111,a =，a =，a =，a =01023304-111l1J0-1v-Jl，JlJlJl La =7解 設(shè) a = % a + % a + % a + % a由(a1a)=2 1 00、(1 0 0 011 1 1 ： 00 10 0： 0初等行變換3 0 -1 ： 00 0 10; -11 0 -1 ： 1 7、0 0 0 1: 07下的坐標(biāo)為(1,0 , - 1,0 ).(110i1得a =aa133.在P2x2中求a =在基a = 11Ja=2(0 -1、10l1 J J(1 -1、10 O ,(1、0下的坐標(biāo).解 設(shè)a = %a + % a + %

17、a + % ax + 0 x + x + x = 2x x x + 0 x = 31234x + x + 0 x + 0 x = 41234x + 0 x + 0 x + 0 x = -71111011011001000001023400017112130得 a = -7a+ 11a-21a + 30a .故向量 a在基a , a , a ,a彳下的坐標(biāo)為（-7, 11,10-1(1)求由基（I）到基（I）的過(guò)渡矩陣;4 .已知H3的兩組基(1、(I):11k )(II)：1、(2)已知向量a在基a ,a ,a下的坐標(biāo)為0 ,求a在基p ,p ,p下的坐標(biāo)；T、(3)已知向量p在基p ,p ,

18、p下的坐標(biāo)為-1 ,求p在基a ,a ,a下的坐標(biāo);(4)解（1）求在兩組基下坐標(biāo)互為相反數(shù)的向量Y .設(shè)C是由基（I）到基（II）的過(guò)渡矩陣，由(p , p , p )= Q ,a ,a ) C3、：1 10 10 0 1：1 110 j、0 0 0C.jr 0111i1100000011-100100-1101-11-11-10 1;3 Jr10 l-01101-11-11-10，1;3 J（2）設(shè)多項(xiàng)式fx）在基（I）下的坐標(biāo)為（牛x2, %, x4 M.據(jù)題意有Cx2x3Ix J4,=1 xjx2x3Ix J4n (C - E)I xjx2x3Ix4J=0(*)011 011 01 1

19、 0因?yàn)镃 - E| =01-1 1=-1 -1 1 =0 0 1 = 1一 010 -210 -21 0 -2-11-1 2因此方程組(*)只有零解，則fx)在基(I)下的坐標(biāo)為(0,0,0,0)T，因此fx) = 0習(xí)題證明線性方程組3 x + x - 6 x - 4 x + 2 x = 02 x + 2 x 一 3 x 一 5 x + 3 x = 01234的解空間與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rx同構(gòu).31 -6 -42)11 -5 -6 8 -6、2 -3 -5 3初等行加給 43 7 5-5 -68-6,0 0 0 0 0 J證明 設(shè)線性方程組為AX = 0,對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換.(3A

20、= 21R(A) = 2;.線性方程組的解空間的維數(shù)是5-R(A) = 3 .實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rq的維數(shù)也是3,因此此線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rq同構(gòu).習(xí)題.求向量a=(1,1,2,3 )的長(zhǎng)度.解IMI = 12 + (-1)2 + 22 + 32 = V15 .求向量0=(1,-1,0,1)與向量。=(2,0,1,3 )之間的距離.解d(a,p)二版一0|=虱1-2)2 + (-1 -0)2 + (0-1)2 + (1-3)2 :、:7.求下列向量之間的夾角a =(1,0,4,3), p=(-1,21,-1)a=(1,2,2,3), p=(3151 )a =(1,1,1,2),

21、 p =(3,1,-1,0)解（1）（a ,） = 1x（-D+ 0 x 2 + 4 x 1 + 3 x（-1）= ，: a, P-=2.（a, P）= 1 x 3 + 2 x 1 + 2 x 5 + 3 x 1 = 18, |a|= 12 + 22 + 22 + 32 = V18,IIP II = 32 +12 + 52 +12 = 6,.a，P ； = arccos=.（a，p） = 1 x 3 +1 x 1 +1 x （-1） + 2 x 0 = 3,iail= V1 +1 +1 + 4 =、行,|p 11= k9 +1 +1 + 0 = 11,/. - a, p ； = arccos

22、=.3.設(shè)a, p，丫為n維歐氏空間中的向量，證明：d（a, p） d（a，丫） + d（，p）.證明因?yàn)?|a - p II2 = |a -y + -p II2 = （a-y+y-p，a-y+y-p）=（a-y，a-y） + （a-y，y -P） + （y -P，a-y） + （y -P，y -P）=（a-y，a-y） + 2（a-y，y-P） + （y-P，y -P）|a-y|2 + 2 |a-y|H|y-P|+|y-P|2因此假-0|2 （依-丫| + |卜-0|）2,從而d（a，P） d（a，y） + d（y，P）.習(xí)題1.在R 4中，求一個(gè)單位向量使它與向量組。=G，1，-1，-1）

23、 , a2 =G，-1，-1，1） , a3 = G，-1，1，-1）正交.解 設(shè)向量a = （5，%2,%3,%J與向量aa2, a正交,（a, a ） = 0則有 J （a，a） = 0（a，a ） = 0%1 + % 2 - % 3 - %4 = 0即 % - % - % + % = 0（*）.1234% - % + % - % = 0齊次線性方程組（*）的一個(gè)解為%1 = %2 = %3 = %4 = 1.取a=（口，1，1），將向量a單位化所得向量a *=（殳，2,2）即為所求.2.將R 3的一組基a1，% = -1化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.解（1 ）正交化，取=a(P ,a )-1 x0+2

24、(P ,P)(P,P)-1-0-1(-1)+(- 3)x 1+ (- 3)2(2 )將可以總單位化13131點(diǎn)/ I=*1P6則P *, P *, P *為R 3的一組基標(biāo)準(zhǔn)正交基.3 .求齊次線性方程組的解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.分析因齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系確實(shí)是其解空間的一組基，因此只需求出一個(gè)基礎(chǔ)解系再將其標(biāo)準(zhǔn)正交化即可.解對(duì)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣(11 -1 1 -3、1 1 -1 0(11 -1 0可得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系由施密特正交化方式，取p1 刃1=5100ku 7(1/2 )，j % 二1/2100(-1/3 )-1/3I；7將

25、p1? p 2, p3單位化得單位正交向量組p；= *5100ku 7(1/2、(-1/3、1/2Q石-1/31p * 3 2后1/304k豐6.2.由向量a =(1,2,3 )所生成的子空間的維數(shù)為向量a =(1,2,3)所生成的子空間的維數(shù)為向量組a的秩，故答案為1.3.R 3中的向量 a =(3,7,1)在基 % =(1,3,5), a(6,3,2), % =(3,1,0)下的坐標(biāo)為依照概念，求解方程組就可得答案.設(shè)所求坐標(biāo)為(x1,x2,x3),據(jù)題意有a =為了便于計(jì)算，取下列增廣矩陣進(jìn)行運(yùn)算(a ,a ,a |a)=初等行變換 154：-82:33因此(x1, x2, x3)= (

26、33,-82,154).4. R沖的基e ,e ,e 到基a =(-2,1,3),a =(-1,0,1),a = (-2,-5,-1)的過(guò)渡矩陣為(-2 -1(-2解因?yàn)榘?a a3) = % E 2,E 3)1-5 ,因此過(guò)渡矩陣為1-1)-101.正交矩陣A的行列式為解 At A = |e| n |a| 2 = 1 n |a| = 1.已知5元線性方程組AX = 0的系數(shù)矩陣的秩為3,則該方程組的解空間的維數(shù)為解5元線性方程組AX = 0的解集合的極大無(wú)關(guān)組(基礎(chǔ)解系)含5 s =2個(gè)向量,故解空間的維數(shù)為2.已知笑二(2,1,1,1),a2 =(2,1,a, a),a3 =(3,2,1,

27、 a),a4 =(4,3,2,1)不是R4的基且a 豐 1,貝Ua 知足解 四個(gè)四維向量不是R4的一組基的充要條件是1,a2,%,a4| = 0,則故答案為a二2二、單項(xiàng)選擇題).下列向量集合按向量的加法與數(shù)乘不組成實(shí)數(shù)域上的線性空間的是（A）,0,：0,X )X ,X g R（B）:,x，,x )12 nX + X HF X = 0, X G r12（C）,X，,X )2nX + X FF X = 1, X G R12(D),0,0 )| g R （C ）選項(xiàng)的集合對(duì)向量的加法不封鎖,故選（C）.12.在P3*3中，由A =V）2生成的子空間的維數(shù)為（3J ）).(A) 1(B) 2(C)

28、3(D) 4解向量組A=V2生成的子空間的維數(shù)是向量組A的秩，故選（A）.3 73.已知?dú)馍荝3的基,則下列向量組（）是R3的基.(A) a +a ,a +a ,a -a(C) a. +a ,a +a ,aI + 2a +a(B)a + 2a ,2a + 3a ,3a +a(D) a，+a +a ,2a, -3a + 22a 3a. + 5a -5a1 0 1、解因(B )選項(xiàng)中(a + 2a ,2a + 3a ,3a +a )=(a ,a ,a ) I 2 2 0 I 122331123V 0 3 3J1 0 1、又因巴。2。3線性無(wú)關(guān)且2 2 0可逆，12 3V0 3 37因此 a +

29、 2a ,2a+ 3a3,3%+匕線性無(wú)關(guān).故選（B）.4.已知%叱戰(zhàn)是R3的基，則下列向量組()不是R3的基. TOC o 1-5 h z (A)a+a ,a +a ,a+a(B)a + 2a,a + 2a,a+ 2a(C)al-a ,a -a ,a.-a(D)a. -2a,a -2a,al-2a解 因(a1-a2) + (ajaj-q-aj = 0,因此(C )選項(xiàng)中向量組線性相關(guān)，故選(C). n元齊次線性方程組AX = 0的系數(shù)矩陣的秩為r,該方程組的解空間的維數(shù)為s,貝U().(A) s=r (B) s=n-r (C) sr (D) sr選(B).已知A, B為同階正交矩陣，則下列(

30、)是正交矩陣.(A) A+B (B) A-B (C) AB(D) kA (k 為數(shù))解A, B為同階正交矩陣n AB(AB)t = ABBtAt = AAt = E故選(C).線性空間中，兩組基之間的過(guò)渡矩陣().(A)必然不可逆 (B)必然可逆 (C)不必然可逆(D)是正交矩陣選(B)(B)1.已知R 4的兩組基(II)：, =a +a +a +a , p =a +a +a , p =a +a ,p =a(1)求由基(I)到(I)的過(guò)渡矩陣；(2 )求在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量.0 0 0、1 0 01101 1 1J解(1)設(shè)C是由基(I)到基(I)的過(guò)渡矩陣，已知1(P1,P2，P3，P

31、4) = (a1, a 2,a3, a4) 1I1因此由基(II)到基(I)的過(guò)渡矩陣為-1 10 -1001000 -1 1J(2)設(shè)在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量為a ,又設(shè)a在基(I)和基(1)下的坐標(biāo)均為(X1，X2,X3,X4)，由坐標(biāo)變換公式可得X1X2X3X4X1X2X3X4(E C)X1X2X3X4(*)齊次線性方程(*)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為“=(0,0,0,1),通解為X *= (0,0,0, k) (k g R).故在基(I)和基(II)下有相同坐標(biāo)的全部向量為a = 0a + 0a + 0a + ka = k a(k g R).2.已知。,a ,a是R 3的基，向量組B , p

32、, p滿足B + B =a. +a +a, B+B = a +a , p +p = a +a(1證明Bj P2,日：是R3的基；13求由基B；B：,B3到基aja2,a3的過(guò)渡矩陣；求向量a=+ 2a在基Bj B：, B3下的坐標(biāo).解(1)由題有0 )1171 1(B1，B2，B3)0 1(1 0 TOC o 1-5 h z 01 0、n (af, *) =(W* -1 -1 2(10 0 J001n(B1，B2，B3)=包1，100111_(222 J10120 01 01 12 2故B15 B2, B3是3個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，組成R3的基.(2 )因?yàn)? 1 0、(a1，a2, a3)= (B

33、1，B2，B3)-1-12(1 0 0 J0 1 0、因此從基彳平2平3到基a/a2,a3的過(guò)渡矩陣為-1 -1 211(1 0 0 7(3) a = a + 2a -a=(a ,a ,a ) 2 =(P ,P 平)-1l-1J因此向量a在基P ,P ,P下的坐標(biāo)為-5 .123l1 J3.設(shè)R4的兩組基a1,a2,a3, a4與P1 =(1 )20i0 J123且由基a ,a ,a ,a到基P , P , P ,P的過(guò)渡矩陣為1234求基a , a , a , a ；(2)求向量a = aI +a解（1）因?yàn)橛苫鵤1,a2,a3,因此1-102 2 =(P ,P_,P_) -5人-1JP4

34、二(0)(211011000031022J-2a4在基Pj/ P3,下的坐標(biāo).到基P, P , P ,P的過(guò)渡矩陣為C =(2100 )11000035l0012J,因此(a ,a ,a ,a ) = (P , P , P , P )C-112321000012(1-10Jl u-1200002-10 )0;3 J(-130000003-7 J(-1)(3)(0)(01000a =,a =,a =,a =10203041l0 Jl0 Jl3 Jl-77(2 ) aa +a+ a - 2a=(a , a ,a ,a )=(P1，P2, P3, P4)112-7 J1 )I11I-2 J=(P1，P2, P3, P4)JI-2 J012向量a =匕+ % + % - 2叱在基彳,R, 4,匕下的坐標(biāo)為-7)4.證明f (%) = 1 + % + %2, f (%) = 1 + % + 2%2,f (%) = 1 + 2% + 3%2是線性空間尸%的一組基, 并求1 (% ) = 6 + 9 % +14 % 2在這組基下的坐標(biāo).證明 設(shè) t f (%) +1 f (%) +1 f (%) = 0,1 12 23 3則有t1(1+ % + %2) +1 (1+ %