高中數(shù)學(xué)選修21第三章《空間向量與立體幾何》單元測試題

1、- -高中數(shù)學(xué)選修2-1第一章單元測試題空間向量與立體幾何時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若A,B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（）AB+2BC+2CD+DC；2AB+2BC+3CD+3DA+AC；AB+CA+BD；ABCB+CDAD.A.B.C.D.2.已知向量a=(2,4,5)、b=(3,x,y）分別是直線1、l的方向向量，若12ll，貝H)121515A.x=6,y=15B.x=3,y2C.x=3,y=15D.x=6,y=2已知空間三點O（0,0,0）,A（1,1,

2、0），B（0,1,1），在直線OA上有一點H滿足BH丄OA,則點H的坐標(biāo)為（）A.(2,2,0)O2-2已知A（2，5,1），B（2，2,4）,C（1，4,1），貝JAB與AC的夾角為（）30B.45C.60D.90在以下命題中，不正確的個數(shù)為（）|a|b|=|a+b|是a，b共線的充要條件；若ab，則存在唯一的實數(shù)入，使a=hb；對空間任意一點0和不共線的三點A,B，C，若OP=2OA2OBOC,則P,A，C四點共面;若a,b,c為空間的一個基底，則a+b,b+c,c+a構(gòu)成空間的另一個基底；丨(ab)c|=|a|b|c|.TOC o 1-5 h zA.5B.4C.3D.2 HYPERLIN

3、K l bookmark16f,1f,1已知向量AM=0,1,2,AN=1,2,1,則平面AMN的一個法向量是 HYPERLINK l bookmark222丿2丿()A.(3,2,4)B.(3,2,4)(3,2,4)D.(3,2,4)已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).若|a|=*,且a分別與AB,AC垂直，則向量a為（）A.（1,1,1）B.（一1,一1,一1）或（1,1,1）C.（一1,一1,一1）D.（1,一1,1）或（一1,1,1）已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC,SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正

4、弦值為（）c邁d3C.449直三棱柱ABCABC中，若ZBAC=90,AB=AC=AA，則異面直線BA1與AC所成的角等于()1A.90B.60C.45D.30CC的中點,1且PA=AB,10.已知E、F分別是棱長為1的正方體ABCDABCD的棱BC、1111則截面AEFD與底面ABCD所成二面角的正弦值是（）1A.|B.半C.審D11.在三棱錐PABC中，AABC為等邊三角形，PA丄平面ABC,則二面角APBC的平面角的正切值為（）- -12.已知0A=(l,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2)，點Q在直線OP上運動,則當(dāng)QAQB取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為（）A.，13辺，4

5、，3,13噸，24,448c-C.3，33丿D.于.二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若A(x,5x,2x1),B(1,x+2,2x),則當(dāng)|AB|取最小值時，x的值等14.15.正方體ABCDABCD中，直線BC與平面ABD夾角的正弦值是.111111已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,入)，右a,b,c共面,則16.如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為AABC的重心，E是BD上一點，BE=3ED,以AB,AC,AD為基底，則GE=- #- -三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（本小題滿

6、分10分）如圖，在直棱柱ABCDABCD中，ADBC,ZBAD=111190,AC丄BD,BC=1,AD=AA=3.1（1）證明:AC丄BD；1求直線BC與平面ACD所成角的正弦值.111(本小題滿分12分)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，直三棱柱ABCABC的111底面是以ZABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB=3a,D是AC的中點，在111線段AA上是否存在點F,使CF丄平面BDF，若存在，求出AF,若不存在，說明理11由.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABCABC中，AB丄AC，AB=AC=1112，AA=4，點D是BC的中點.1求異面直線AB與CD所成角的余弦值；11求平面A

7、DC與平面ABA所成二面角的正弦值.11- -（本小題滿分12分）如圖1,在RtAABC中，ZC=90,BC=3,AC=6,E分別為AC，AB上的點，且DEBC,DE=2,將厶ADE沿DE折起到ADE的位1置，使AC丄CD,如圖2.1求證：AC丄平面BCDE；1若M是AD的中點，求CM與平面ABE所成角的大小.11A- #- #-(本小題滿分12分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=-J。,AF=1,- -(1)求證：AM平面BDE；試在線段AC上確定一點P,使得PF與CD所成的角是60.22.(本小題滿分12分)如圖，在圓錐PO中，已知PO=J2,0的直徑A

8、B=2,證明：平面POD丄平面PAC；(2)求二面角B-PA-C的余弦值.C是麗的中點，D為AC的中點.高中數(shù)學(xué)選修2-1第一章單元測試題空間向量與立體幾何參考答案時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.若A,B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是()AB+2BC+2CD+DC；2AB+2BC+3CD+3DA+AC；AB+CA+BD；AB-CB+CD-AD.A.B.C.D.解析：中，原式二AB+2BD+DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC,不符合題意；中，原式=2(AB+BC+CD+D

9、A)+(AC+CD+DA)=0；中，原式=CD，不符合題意；中，原式=(ABAD)+(CDCB)=0故選C.答案：CX，已知向量a=(2,4,5)、b=(3,x,y)分別是直線1、l的方向向量，若l121i,則(2A.x=6,y=15B.x=3,今C.x=3,y=15D.x=6,丫今3xyab，貝片=4=515x=6,丫二-.答案：D已知空間三點O(0,0,0),A(-1,1,0)，B(0,1,1)，在直線OA上有一點H滿足BH丄0A,則點H的坐標(biāo)為()A.(2,2,0)B.(2,2,0),11,11C.2,2,0JD.(2，2,0丿解析：由0A=(l,l,0)，且點H在直線0A上，可設(shè)H(入

10、，入，0),貝JBH=(一入，入一1，一1).又BH丄OA，BH0A=0，即(一入，入一1，1)*(1,1,0)0，即入+入一1=0，1,11解得入一2，片一2，2，0，故選c.答案：CTOC o 1-5 h z已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則AB與AC的夾角為()A.30B.45C.60D.90解析：AB(0,3,3)，AC(1,1,0)，|AB|.,2，|AC|=J2，ABAC3，cos=ABAC価，AC=三三=2,|AB|AC|AB，AC60.答案：C在以下命題中，不正確的個數(shù)為()|a|b|=|a+b|是a，b共線的充要條件；若ab，則存在唯一的實數(shù)入，使a

11、入b；對空間任意一點0和不共線的三點A，B，C，若0P20A20B0C，則P,A,B，C四點共面；若a，b，c為空間的一個基底，貝Va+b，b+c，c+a構(gòu)成空間的另一個基底;|(ab)c|=|a|b|c|.A.5B.4C.3D.2解析：|a|b|=|a+ba與b的夾角為n,故是充分不必要條件，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因為221工1,由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確，故選B.答案：Bf,1f,1已知向量AM=0，1，2，AN=1，2，1，則平面AMN的一個法向量是2丿2丿()A.(3，2,4)B.(3,2，4)C.(3，2，4)D.(3,

12、2，4)解析：設(shè)平面AMN的法向量n=(x，y，z)，TOC o 1-5 h zf=zJnAM=O，J，2，貝心即1。f35AN=O，lx=4z，令z=4，則n=(3，2,4)，由于(一3,2，4)=(3，2,4)，可知選項D符合.答案：D已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6)，C(1，1,5).若|a|=i；3,且a分ff別與AB,AC垂直,貝恫量&為()A.(1,1,1)B.(1,1,1)或(1,1,1)C.(1,1,1)D.(1,1,1)或(一1,1,1)ff解析：設(shè)a=(x,y,z),AB=(2,1,3),AC=(1,3,2)X2+y2+z2=3,貝并一2xy+3z=0,解得a

13、=(1,1,1)或(一1,1,1).lx3y+2z=0.答案：B已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC,SA_3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為()A至A.4B込4C近C.43D.4解析：建系如圖，則S(0,0,3),A(0,0,0)，BG/3，1,0)，C(0,2,0).- -.AB=GJ3,1,0)，SB=(-J3,1，3)，SC=(0,2，3).設(shè)面SBC的法向量為n=(x,y，z).叮nSB=Aj3x+y-3z=0，nSC=2y3z=0.令y=3,則z=2，x=j3：n=(羽,3,2).設(shè)AB與面SBC所成的角為。，則sin0=|nAB

14、|_3+3_3_42_4.|n|AB|答案：D9直三棱柱ABCABC中，若ZBAC_90,AB_AC_AA，則異面直線BA11111與AC所成的角等于()1A.90B.60C.45D.30解析：建系如圖，設(shè)AB_1,則B(1,0,0),A(0,0,1),C(0,1,1),A(0,0,0).11BA=(1,0,1),AC=(0,1,1).1一.cosBA,1AC1BAAC11- -|BA|AC|11BA,AC=60。，即異面直線BA與AC所成的角等于60.1111答案：B已知E、F分別是棱長為1的正方體ABCDABCD的棱BC、CC的中點,則截面AEFD與底面ABCD所成二面角的正弦值是(1B遲

15、311112a3)解析：以D為坐標(biāo)原點，以DA、DC、DD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角1,1,坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0),E-,1,0,F0,2丿,121,12丿叫01)C.AKJ.所以AD=(-1,0,1),AE=1設(shè)平面AEFD的法向量為n=(x,y,z).- #- #-nAD=0,1knAE=O,x+z=O,x- #- #-.x=2y=z,取y=1,則口=(2,1,2)，而平面ABCD的一個法向量為口=(0,0,1),cos.2n,u=3,：sinn,u=亍.答案：C在三棱錐P-ABC中，AABC為等邊三角形，PA丄平面ABC,且PA=AB,則二面角A-PB-C的平面角的正切

16、值為()解析:設(shè)PA=AB=2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,- #- #-則B(0,2,0),CG；3,1,0),P(0,0,2).- -BP=(0,2,2),BC=GJ31,O).設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的一個法向量.則,BPn=0.kBCn=0.2y+2z=0,屈xy=O.令y=1,則x=乎，z=1.- #- #-即n=易知m=(1,0,0)是平面PAB的一個法向量.則cosm,n正切值tanm,口=叮6答案：A已知OA=(1,2,3),0B=(2,1,2),0P=(1,1,，點Q在直線OP上運動,則當(dāng)QAQB取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為()A.(121)B.(13)4丿C.D.(

17、437)- #-解析:VQ在OP上，可設(shè)Q(x,x,2x),則QA=(1x,2x,32x),QB=(2x,1x,22x).QAQB=6x216x+10,.x=4時，QA.QB最小，- -、,448這時Q3，3，3答案：c二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若A(x,5x,2x1),B(1,x+2,2x)，則當(dāng)|AB|取最小值時，x的值等于.解析：AB=(1x,2x3,3x+3)，則|AB|=.j1一x2+2x一32+一3x+3214x232x+19=14x72+5,7丿7- -軸建立空間直角坐標(biāo)系,cosAC,BC11_1+1;3X羽3所以BC與平面ABD夾角的正弦值為11

18、8故當(dāng)x=7時，|AB|取最小值.正方體ABCDABCD中，直線BC與平面ABD夾角的正弦值是111111解析：如圖，以DA、DC、設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,1),1易證AC是平面ABD的一個法向量.11AC=(1,1,1),BC=(1,0,1).11- #- #-答案：晉- -已知a(2,1,3),b(1,4,2),c(7,5,入)，右a,b,c共面，貝y入一.解析：由已知可發(fā)現(xiàn)a與b不共線，由共面向量定理可知,要使a,b,c共面，則必存在實數(shù)X,y,使得cxa+yb,2xy7即x+4y53x2y入33x217，解得y65T- #- -65答案：如

19、圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，GABC的重心，E是BD上一點，BE3ED,以AB,AC,AD為基底，則GE.Q解析：GEAEAGAD+DE3AM3fL1ffAD+-DB-(AB+AC)43f1f1f1f1fAD+AB-AD-AB-AC44331ff3fAB3AC+4Ad-1ff3f答案：遼ab3ac+4ad三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（本小題滿分10分）如圖，在直棱柱ABCDABCD中，ADBC,ZBAD111190,AC丄BD,BC=1,AD=AA=3.1B證明：AC丄BD；1求直線BC與平面ACD所成角的正弦值.111解析

20、：(1)易知，AB，AD，AA兩兩垂直.1z軸建立空如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB,AD,AA所在直線分別為x軸，y軸,1間直角坐標(biāo)系.- -C(t,1,0),設(shè)AB=t,則相關(guān)各點的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0),B(t,0,3),1C(t,1,3),D(0,3,0),D(0,3,3).11從而BD=(1,3,3),AC=(t,1,0),BD=(_t,3,0).1因為AC丄BD，所以ACBD=12+3+0=0.解得t=i；3或t=-J3(舍去).于是BD=(-.J3,3,3),AC=Gj31,0).因為ACBD=3+3+0=0,所以AC丄BD,11即AC丄BD.1(2)由知,AD=(0

21、,3,3),AC=G;3,1,0),BC=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD的一個法向量，1JnAC=0,則,nAD=0,1即N+y=0,3y+3z=0.令x=1,貝yn=（i,、.y3,羽）.設(shè)直線BC與平面ACD所成角為。，則111sin。=|cosn,BC|=11nBC11|n|B|11A- #- -7即直線BC與平面ACD所成角的正弦值為111（本小題滿分12分）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，直三棱柱ABC-ABC的111底面是以ZABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB=3a,D是AC的中點，在111線段AA上是否存在點F,使CF丄平面BDF，若存在，求出AF,若不存

22、在，說明理11由.解析：假設(shè)存在F點，使CF丄平面BDF,1不妨設(shè)AF=b,則F（、j2a,0,b）,CF=G.2a,2a,b),BF=G.2a,0,b3a),F1BD=1電,a,0.2丿*CFBD=a2a2+0=0,1CF丄BD恒成立.由BFCF=2a2+b(b3a)=b23ab+2a2=0,得b=a或b11=2a.當(dāng)AF=a或AF=2a時，CF丄平面BDF.1a.- #-(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABCABC中，AB丄AC,AB=AC=1112,AA=4,點D是BC的中點.1求異面直線AB與CD所成角的余弦值；11求平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值.11解析：(1)以A為

23、坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,Ci1- #-則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,O),A(0,0,4),C(0,2,4),11所以AB=(2,0,4),1CD=1- #- -ABCD11=因為cosAB,CD=1118=3寸10,720 x18=10|AB|CD|11所以異面直線ab與C1D所成角的余弦值為節(jié).設(shè)平面ADC的法向量為n=(x,y,z),11因為AD=(1,1,O),AC=(0,2,4),1所以nAD=0,nAC=0,111即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=2,所以，n=(2,2,1)是平面ADC的一個法向量.1

24、1取平面AAB的一個法向量為n=(0,1,0),12設(shè)平面ADC與平面ABA所成二面角的大小為0.11TOC o 1-5 h z.,Q,nn22由|cos0|=匸寸=-,|n1|n2|X13得sin0=f因此，平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值為申.113(本小題滿分12分)如圖1,在RtAABC中，ZC=90,BC=3,AC=6,D,E分別為AC,AB上的點，且DEBC,DE=2,將厶ADE沿DE折起到ADE的位1置，使AC丄CD,如圖2.1求證：AC丄平面BCDE；1若M是AD的中點，求CM與平面ABE所成角的大小.11解析：(1)證明：因為AC丄BC,DEBC,所以DE丄AC.所以

25、DE丄AD,DE丄CD.1所以DE丄平面ADC.所以DE丄AC.11又因為AC丄CD,所以AC丄平面BCDE.11(2)如圖，以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則A(0,0,；3)，D(0,2,0),M(O,1,班)，B(3,0,0),E(2,2,0).設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y，z)，1則nAB=O,nBE=O.1又AB=(3,0,2.J3),BE=(1,2,0),所以,3x-20,一x+2y=0,令y=1,則x=2,z=.j3.所以n=(2,1,j3).設(shè)CM與平面ABE所成的角為0.i因為CM=(0,1,.3),所以sin0=n所以CM與平面ABE所成角的大小為.i4（本小題滿分12分）如圖所示，