2022年專升本高數(shù)解題方法與技巧匯總

1、PAGE PAGE 542022年專升本高數(shù)解題方法與技巧匯總共包含5類內(nèi)容：不等式的方法與技巧定積分及重積分的方法與技巧極值的方法與技巧曲線、曲面積分的方法與技巧中值定理的應(yīng)用方法與技巧1.不等式的方法與技巧不等式是高等數(shù)學(xué)中的一個重要工具。運(yùn)用它可以對變量之間的大小關(guān)系進(jìn)行估計，并且一些重要的不等式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中發(fā)揮著重要作用。這里首先介紹幾個常用的不等式，然后再介紹證明不等式的一些方法。幾個重要的不等式1平均值不等式 設(shè)非負(fù)，令（當(dāng)r0，t-1，那么當(dāng)0a1時，有，當(dāng)a1時，有，等式成立的充要條件是x=0。6有關(guān)e的不等式 （1）， （2）， （3） 二、證明不等式的方法1利用求導(dǎo)法

2、證明不等式（1）利用單調(diào)性例. 求證當(dāng)時，。證明：令，則f在上連續(xù)，且，令，則當(dāng)時，因此h在上嚴(yán)格遞減，又因?yàn)閔(0)=0，故對任意，有h(x)0，由此即知對任意，有，故f在上嚴(yán)格遞減，故對任意，有，即，證畢。（2）利用最值例. 設(shè)，且，則，且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b。證明：令，則， 由此即知，當(dāng)0 x1時， 因此， 故當(dāng)x0時，（*），且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1。 令，代入(*)式即可得，且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1,即a=b。證畢。（3）利用中值定理例. 設(shè)f在0，c上可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)單調(diào)下降，又f(0)=0，試證當(dāng)時，有。證明：由中值定理知：，其中； ，其中，由單調(diào)下降知：，再由a0知，即。證畢。

3、例.若函數(shù)f(x)是0，1上的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的函數(shù)，f(0)=f(1)=0，且，證明：。 證明：由題意知f(x)在(0,1)上同號，不妨設(shè)f(x)0， 又因?yàn)閒(0)=f(1)=0，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知， 在上分別用拉格朗日中值定理，使得 ，從而有 ， 證畢。（4）利用凸函數(shù)例. 設(shè)，且，則。證明：由于lnx是上凸函數(shù)，故， 故。證畢。（5）利用Taylor公式（級數(shù)）來證明例. 設(shè)，u(t)是任意的連續(xù)函數(shù)，求證：當(dāng)a0時，有。證明：因?yàn)? 取x=u(t)，則有， 所以。證畢。（6）利用已知的不等式例. 設(shè)f連續(xù)可微，f(1)-f(0)=1，求證。證明：, 由此即得。證畢。利用積分證明不等式利用

4、分部積分和換元積分法估計積分值例. 證明 證明：將原式記為I，則 因?yàn)樵谏?，又，所以，但是不恒等?，故0，證畢。構(gòu)造積分進(jìn)行證明例. 若函數(shù)f(x)是0，1上的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的函數(shù)，且，證明：。證明：反證法：若對，則對有 ，矛盾，故假設(shè)不成立。（3）利用積分的單調(diào)性例. 證明不等式。證明：令， 則， 令， 則， 故g在上嚴(yán)格上升，因此對任意的， 有，由此即知，對任意的，有， 故f在上嚴(yán)格上升，因此對任意的，有，即，因此。 證畢。例. 設(shè)函數(shù)f(x)在0，1上可導(dǎo)，且當(dāng)時，有，證明：證明：方法一、只需證明。 令，則，因?yàn)?，所以f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升，且f(x)f(0)=0，令，則，所以G(t)是

5、嚴(yán)格單調(diào)上升的，又G(0)=0，故，所以，F(xiàn)(t)嚴(yán)格單調(diào)上升，所以F(1)F(0)=0，即。 證畢。 方法二、因?yàn)?，所以f嚴(yán)格單調(diào)上升，從而對任意的1x0,有f(x)0,令，由柯西中值定理，有 即。 證畢。利用配方法證明不等式要證，若a-b能表示成完全平方，或者a-b能表示成有限個完全平方的和，則例. 求證，等式成立的充要條件是。證明：且等式成立的充要條件是，即。證畢。利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例. 設(shè)，試證。證明：利用如下命題：設(shè)，且b,d為正數(shù)，則來證明。 當(dāng)n=1時顯然成立。 設(shè)當(dāng)n=k時成立，那么當(dāng)n=k+1時，令，則由歸納假設(shè)知，于是由命題知同樣可證即當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立。證畢。利

6、用正定或非負(fù)二次型證明不等式證明一個正定或非負(fù)二次型，使其判別式所滿足的條件為所證明的不等式。例. 求證，等式成立的充要條件是。證明：令，則 由,知。易知等式成立的充要條件是f有實(shí)根a，即f(a)=0，亦即。證畢。6雜例例. 證明不等式。證明：顯然當(dāng)時，不等式成立。 令，易知， 令，易知，因此g在上嚴(yán)格增加，又因?yàn)間(0)=0，故當(dāng)時，g(x)0，從而當(dāng)時，因此，f在上嚴(yán)格增加，而f(0)=0，故當(dāng)時，即有。證畢。例. 當(dāng)時，試證。證明：令， 對任意，由， 解得。 易知，當(dāng)時，；當(dāng)時，由此即知，當(dāng)時，f對固定的y取最大值。 對任意，由， 解得。 易知，當(dāng)時，；當(dāng)時，由此即知，當(dāng)時，f對固定的x

7、取最大值。 綜上所述，可知f在滿足方程組 （*）的點(diǎn)（x,y）上取最大值。 由(*)式可得因此當(dāng)時，試證。證畢。例. 設(shè)x0，試證。證明：令T=, 則,其中。 令，則，利用極坐標(biāo)變換，易得， 因此，即。證畢。2. 定積分及重積分的方法與技巧一、定積分的計算例1 用定積分定義求極限.解 原式=.例2 求極限 .解法1 由，知，于是.而，由夾逼準(zhǔn)則得=0.解法2 利用廣義積分中值定理（其中在區(qū)間上不變號）， 由于，即有界，故=0.注 （1）當(dāng)被積函數(shù)為或型可作相應(yīng)變換.如對積分，可設(shè)；對積分，由于，可設(shè).對積分，可設(shè)（2）的積分一般方法如下：將被積函數(shù)的分子拆項(xiàng)，分子=A分母+B分母，可求出，.

8、則積分例3 求定積分分析 以上積分的被積函數(shù)中都含有根式，這是求原函數(shù)的障礙.可作適當(dāng)變換，去掉根式.解法1 解法2 小結(jié) （定積分的換元法）定積分與不定積分的換元原則是類似的，但在作定積分換元時還應(yīng)注意：（1）應(yīng)為區(qū)間上的單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)；（2）換限要伴隨換元同時進(jìn)行；（3）求出新的被盡函數(shù)的原函數(shù)后，無需再回代成原來變量，只要把相應(yīng)的積分限代入計算即可.例4 計算下列定積分（1）， ； （2）解 （1） =故 =.（2） 這里用到了偶函數(shù)在對稱取間上的積分公式以及公式： 小結(jié) （1）常利用線性變換把原積分化為可抵消或可合并的易于積分的形式。積分區(qū)間為0，a時，設(shè);積分區(qū)間為-a,a時

9、，設(shè)?？墒剐碌姆e分區(qū)間與原積分區(qū)間相同，以利于合并或產(chǎn)生原積分。（2）利用例10.6(2)中同樣的方法易得例5 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求解 故 小結(jié) （1）定積分與不定積分的分部積分法有同樣的選擇的原則； （2）當(dāng)被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式時，常用分部積分法求解.例6 計算定積分（為自然數(shù)）.解 是以為周期的偶函數(shù).例7 證明積分與無關(guān)，并求值.解 ，于是 小結(jié) 收斂的廣義積分的計算和證明依據(jù)與定積分完全類似的換元積分法和分部積分法.二、含定積分的不等式的證明例8 證明（1）；.證 （1）在上連續(xù)，令，得.比較與的大小，知在上的最大值為，最小值為，故 （2）由于以為周期， 而 ，因

10、為 ，所以 事實(shí)上，（2）中所給變上（下）限定積分與無關(guān)，僅為取正值的常數(shù).例9 設(shè)是上單調(diào)減少的正值連續(xù)函數(shù)，證明 證 利用積分中值定理， （因?yàn)檫f減取正值）.即 例10 設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明：當(dāng)時，有 （101）分析 將定積分不等式（101）視為數(shù)值不等式，可利用相應(yīng)的函數(shù)不等式的證明方法證明。將要證的不等式兩端做差，并將換成，作輔助函數(shù)，即需證證 作 ，則 （因?yàn)檫f增，）于是，由拉格朗日中值公式，有 即式（101）成立.例11 設(shè)在上連續(xù)，且，證明 分析 利用條件，生成改變量，借助于拉格朗日中值公式估計證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，故有界，即存在，使， 故 例12 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，證明 分

11、析 已知二階可導(dǎo)，可考慮利用的一階泰勒公式估計；又所證的不等式中出現(xiàn)了點(diǎn)，故考慮使用處的泰勒公式.證 在處的一階泰勒公式為，其中，在與之間.利用條件，可得 ，兩邊從到取積分，得 小結(jié) 關(guān)于含定積分的不等式的證明，常用的有兩種方法：利用定積分的保序性；利用積分上限函數(shù)的單調(diào)性.三、定積分的應(yīng)用例13 求由曲線與直線及所圍成的圖形分別繞軸、軸及旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解 （1）繞軸旋轉(zhuǎn)，積分變量為 （2）繞軸旋轉(zhuǎn) （3）繞1旋轉(zhuǎn) 解法1 取為積分變量，直線及和雙曲線的交點(diǎn)及的縱坐標(biāo)分別為和.設(shè)平面圖形，及（見圖118）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積分別為和，則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 解法2 取為積分變量

12、，將分成兩部分區(qū)間：和.在上，體積元素為 在上，體積元素為 故所求體積為 解法3 選為積分變量，.將旋轉(zhuǎn)體分割成以軸為中心的圓柱形薄殼，以薄殼的體積作為體積元素，這一方法稱為柱殼法.對應(yīng)于區(qū)間的窄曲邊梯形可近似地看做高為，寬為的舉矩形，它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱形薄殼的體積，即體積元素為 因此有 （3）繞旋轉(zhuǎn)選為積分變量，.體積元素為 所求體積為 小結(jié) （1）在直角坐標(biāo)系中求旋轉(zhuǎn)體體積時，被積函數(shù)總是正的，定限時要注意積分下限一定小于上限. （2）選取哪個變量作為積分變量，才能使運(yùn)算更為簡便，要根據(jù)具體問題，靈活選取.一般地若平面中的平面圖形是由曲線 與直線所圍成，則分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為

13、 第二部分 二重（三重）積分一、重積分的計算及技巧總結(jié)計算二重積分的基本方法是化為二次積分，其關(guān)鍵是確定積分次序和確定積分限.所遵循的原則是：直角坐標(biāo)系下確定積分次序的原則（1）函數(shù)原則內(nèi)層積分能夠求出的原則.例如一定應(yīng)先對積分，后對積分.例如一定應(yīng)先對積分，后對積分.（2）區(qū)域原則 若積分區(qū)域?yàn)樾停从闷叫杏谳S的直線穿過區(qū)域，它與的邊界曲線相交最多為兩個點(diǎn)），應(yīng)先對積分，后對積分.若積分區(qū)域?yàn)樾停从闷叫杏谳S的直線穿過區(qū)域，它與的邊界曲線相交最多為兩個點(diǎn)），應(yīng)先對積分，后對積分.若積分區(qū)域既為型區(qū)域，又為型區(qū)域，這時在函數(shù)原則滿足的前提下，先對積分或先對積分均可以；在這種情況下，先對哪個變量

14、積分簡單，就先采用該積分順序.（3）少分塊原則 在滿足函數(shù)原則的前提下，要使分塊最少，從而計算簡單.直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分時，確定積分限的原則（1）每層積分的下限都應(yīng)小于上限.（2）一般而言，內(nèi)層積分限可以是外層積分變量的函數(shù)，也可以是常數(shù).（3）外層積分限必須為常數(shù).3當(dāng)二重積分的積分域?yàn)閳A域、扇形域或圓環(huán)域，被積函數(shù)具有的函數(shù)形式，即時，可考慮用極坐標(biāo)計算該二重積分.用極坐標(biāo)計算二重積分一般均采用先后的積分次序.4極坐標(biāo)下積分限的確定當(dāng)極點(diǎn)在積分域之外時 當(dāng)極點(diǎn)在積分域的邊界曲線上時 當(dāng)極點(diǎn)在積分域內(nèi)時 小結(jié) 化二重積分為二次積分的關(guān)鍵在于確定二次積分的上、下限.確定積分限采用穿

15、線法，若先對后對積分，則將積分區(qū)域投影在軸上，可得的變化范圍.再過固定的點(diǎn)作一平行于軸的直線從下向上穿過區(qū)域，則可得到的變化范圍.從而可將積分域用不等式組表示出來，這種確定上、下限的方法比較直觀.二重積分化為二次積分，一般而言，內(nèi)層積分的上、下限是外層積分變量的函數(shù)或者常數(shù)，而外層積分的上、下限一定為常數(shù).小結(jié) 極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分一般選擇的積分次序是先后，定限時仍采用“穿線法”。為確定的變化范圍，從極點(diǎn)出發(fā)作射線穿過區(qū)域，并使射線沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線與積分域開始接觸時的角即為的下限，離去時的角即為上限；又由于極徑，穿入時碰到的的邊界曲線為下限，穿出時離開的的邊界曲線為上限.小結(jié)

16、計算二重積分時，選擇坐標(biāo)系和積分次序是非常重要的，它不但影響到計算的繁簡，甚至還會影響到計算能否進(jìn)行下去.選擇坐標(biāo)系要從積分域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個方面來考慮，為便于記憶，現(xiàn)列表181表示.表181積分區(qū)域的形狀被界函數(shù)的形狀應(yīng)選坐標(biāo)系為矩形、三角形、或其他形狀直角坐標(biāo)系為圓域、圓環(huán)域、扇形域或環(huán)扇形域或極坐標(biāo)系小結(jié) 利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對稱性，常常使二重積分的計算簡化許多，避免容易出錯的繁瑣計算，而且使一些無法直接積分的問題得以解決.但必須注意：利用這種方法，計算時一定要同時兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性兩個方面，否則就會導(dǎo)致錯誤.小結(jié) 計算絕對值函數(shù)的積分，一般應(yīng)先

17、將積分區(qū)域分塊，將被積函數(shù)分段表示，以去掉絕對值符號，然后利用二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，進(jìn)行分塊計算，最后把計算結(jié)果相加.5計算三重積分時，有一種稱為“先二后”一的算法，什么樣的情況適合選用這種算法？“先二后一”法是計算三重積分的一個很有效的方法，該方法通過計算一個二重積分和一個定積分來得到結(jié)果.在有些場合下，其中的二重積分是不需要計算的，因此大大簡化了計算三重積分的計算量和難度. “先二后一”方法是這樣的：如果域界于平面和之間，用任一平行于面的平面去截域得平面區(qū)域，則有.當(dāng)被積函數(shù)僅是的函數(shù)，而截得的區(qū)域的面積很容易求得時，特別合用“先二后一”方法.小結(jié) 用不等式組表示空間區(qū)域的“穿線法

18、”是這樣進(jìn)行的：假設(shè)空間區(qū)域向面投影得到的投影區(qū)域是，過中任一點(diǎn)由下向上作平行于軸的直線穿過空間區(qū)域時可以碰到兩個曲面：穿入時碰到的曲面和穿出時離開的曲面，于是變量的變化范圍是，然后再根據(jù)區(qū)域在面上的投影區(qū)域確定變量與的變化范圍.當(dāng)然，用“穿線法”時，也可以將空間區(qū)域向面或面投影，分析方法類似.由于計算三重積分時首先要將三重積分化為三次積分，而化三重積分為三次積分的第一步就是用不等式組表示空間區(qū)域，因此，學(xué)會用不等式組表示空間區(qū)域是非常重要的。小結(jié) 三重積分的計算，可化為先計算一個定積分再計算一個二重積分（或先計算一個二重積分再計算一個定積分），從而也化為計算三個定積分的問題，因此，其計算步驟

19、與二重積分相似：（）作出積分區(qū)域的草圖，根據(jù)其特點(diǎn)和被積函數(shù)的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系極適當(dāng)?shù)姆e分次序；（）確定積分區(qū)域在某一坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，找出投影區(qū)域的邊界曲線方程；（）確定積分限，化為三次積分；（）計算積分可見，三重積分計算，其關(guān)鍵仍是正確確定積分分限，而畫好積分區(qū)域的圖形則有助于正確地確定積分限 3求極值的方法與技巧極值一般分為無條件極值和條件極值兩類。無條件極值問題即是函數(shù)中的自變量只受定義域約束的極值問題；條件極值問題即是函數(shù)中的自變量除受定義域約束外，還受其他條件限制的極值問題。一、求解無條件極值的常用方法1利用二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和符號判斷取不取極值及極值的類型定理1(充分條

20、件) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 則f (x, y)在(x0, y0)處是否取得極值的條件如下： (1) AC-B20時具有極值, 且當(dāng)A0時有極小值； (2) AC-B20時沒有極值； (3) AC-B2=0時可能有極值, 也可能沒有極值。 極值的求法： 第一步 解方程組fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切實(shí)數(shù)解, 即可得一切駐點(diǎn)。 第二步 對于每一個駐點(diǎn)(x0, y

21、0), 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。 第三步 定出AC-B2的符號, 按定理1的結(jié)論判定f(x0, y0)是否是極值、是極大值 還是極小值。應(yīng)注意的幾個問題： = 1 * GB2 對于二元函數(shù)z=f(x, y),在定義域內(nèi)求極值這是一個比較適用且常用的方法, 但是這種方法對三元及更多元的函數(shù)并不適用； = 2 * GB2 AC-B2=0時可能有極值, 也可能沒有極值，還需另作討論； = 3 * GB2 如果函數(shù)在個別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)，討論函數(shù)的極值問題時這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮。例1求函數(shù)的極值。解 令得駐點(diǎn)及又由 故為極小值。由于 ，此時有通常的方法無法判定

22、。令，則，由得駐點(diǎn)又故在處取極大值，即函數(shù)在圓周上取極大值2對于三元及更多元的函數(shù)定理1并不適用，而在實(shí)際問題中經(jīng)常要遇到求三元以上函數(shù)的極值問題，對此可由二次型的正定性加以解決。定義1 設(shè)元函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 記, 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度。定義2 滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。定義3 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的黑塞矩陣。顯然是由的個二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實(shí)對稱矩陣。定理2(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且為該函數(shù)的極值點(diǎn)，則。定理3(極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則(1)當(dāng)為正定矩陣時，為的極小值 (2)當(dāng)為負(fù)定矩陣時，為的極大值

23、(3)當(dāng)為不定矩陣時，不是的極值。應(yīng)注意的問題：利用二次型的正定性來判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個很好的方法,但也有一定的局限性,因?yàn)槌浞謼l件對正定和負(fù)定的要求是很嚴(yán)格的,若條件不滿足,那結(jié)論就不一定成立. 例1求三元函數(shù)的極值。解先求駐點(diǎn)，由 得所以駐點(diǎn)為。再求(Hessian)黑塞矩陣因?yàn)樗?，可知是正定的，所以在點(diǎn)取得極小值：.當(dāng)然，此題也可用初等方法求得極小值，結(jié)果一樣。二、求解條件極值的常用方法1代入法化為無條件極值問題從一道錯誤的例題談條件極值的代入法1 (這里全文引用)同濟(jì)大學(xué)出版的教材(高等數(shù)學(xué)(第二版下).上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1998.8)在介紹條件極值時舉了這樣的一道例題:

24、“例10:某公司的兩個工廠生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品,但所需成本不同,第一個工廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品和第二個工廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品時的總成本是。若公司的生產(chǎn)任務(wù)是500個單位產(chǎn)品,問如何分配任務(wù)才能使總成本最小?解:根據(jù)題意,是求函數(shù)在在條件下的極值。作輔助函數(shù)令，解得，所以根據(jù)題意知,當(dāng)?shù)谝粋€工廠生產(chǎn)125個單位產(chǎn)品、第二個工廠生產(chǎn)375個單位產(chǎn)品時總成本最小?！鄙鲜鼋夥?粗看起來好象沒有什么毛病,但卻是經(jīng)不起推敲的。簡單的驗(yàn)證可知,本例求出的總成本為,但卻不是最小,譬如,就比求得的“最小值”小了一半還要多!事實(shí)上,點(diǎn)(125,375)不是最小值點(diǎn),而是最大值點(diǎn)。究其原因,主要是解題方法選擇不當(dāng)造成的。我們知道,求解

25、自變量不超過三個的條件極值問題,既可以用拉格朗日乘數(shù)法,也可以用代入法。用拉格朗日乘數(shù)法雖然很方便,但極值點(diǎn)的判定卻比較麻煩。對這個問題,幾乎所有的教材都沒有作出正面的回答,只指出了用這種方法求出的極值點(diǎn)是“可能的”極值點(diǎn),“至于如何確定所求得的點(diǎn)是否為極值點(diǎn),在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定”。然而許多實(shí)際問題中,根據(jù)問題本身的性質(zhì)卻無法確定究竟是極大還是極小。在這種情況下,采用代入法則可以有效地解決極值點(diǎn)的判定問題。本例中,由于總成本究竟是最小還是最大并不好判定,因而采用代入法求解就可以避免產(chǎn)生上述的錯誤。若令并代入目標(biāo)函數(shù)中,可得總成本，于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間0,500上的

26、最小值。由,可得惟一駐點(diǎn)=125(顯然是極大值點(diǎn)),計算該駐點(diǎn)及兩端點(diǎn)處的函數(shù)值,有C(125)=531950C(0)=500700C(500)=250700比較即知=500是所求之最小值點(diǎn),此時=0。即把500個單位產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)都分配給第一個工廠生產(chǎn)時總成本最小。應(yīng)注意的幾個問題： = 1 * GB2 在討論二元函數(shù)在約束條件的極值問題時，如果由能解(或)就把求二元函數(shù)的條件極值轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值了。使用代入法時，減少了變量，給判別極值帶來了方便，但有時在約束條件中不易將(或)解出，使用這種方法就困難了。 = 2 * GB2 我們知道在求解約束條件比較簡單的條件極值問題時,既可以用拉格

27、朗日乘數(shù)法,也可用代入法,但在用代入法求解時,如果不注意代入的條件,則可能導(dǎo)致不完整甚至錯誤的解答3。例如求在條件下的極值。用代入法求解時,如果將代入式,則得,通過求解方程組得,但將代入時,無解。因而在條件下似乎無極值。但如果用拉格朗日乘數(shù)法,則可得到二個可能的極值點(diǎn),分別為(1,0,0)與(-1,0,0),且通過幾何意義(乃是求原點(diǎn)到柱面的最短距離),不難得出(1,0,0)與(-1,0,0)都是極小值點(diǎn),極小值都是1。原因是求在條件下的極值時,的取值范圍是,而將代入,求的極值時, 的取值范圍已是。2更一般的方法是利用拉格朗日乘數(shù)法求解“乘數(shù)法”所得到的點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn),到底是否是極值點(diǎn)以及

28、其類型要依據(jù)拉格朗日函數(shù)的二階微分的符號來判斷.例 求函數(shù)在條件()下的極值.分析:通過求簡單函數(shù)的極值點(diǎn)從而達(dá)到求復(fù)雜函數(shù)極值點(diǎn)的方法,是在實(shí)際解題中經(jīng)常使用的.解 先求令得駐點(diǎn)又由 ,故為即的極大值點(diǎn), 此時.3運(yùn)用梯度法求條件極值2將梯度法用于求條件極值的問題。方程組的解,就是所求極值問題的可能極值點(diǎn)。例1.試求個正數(shù),其和為定值的條件下,什么時候乘積最大,并證明證明:本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的最大值問題。根據(jù)本文定理,列出下列方程組,求解可能的極值點(diǎn)。進(jìn)一步求解得容易得到,根據(jù)題意,則是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)。所以,即這一方法當(dāng)然適合于二元函數(shù)和三元函數(shù)的條件極值問題。例如:求在條

29、件下的極值, 只要列出方程組再求出相應(yīng)的,則其中是可能的極值點(diǎn).例2從斜邊之長為的一切直角三角形中,求最大周長的直角三角形。解:設(shè)兩條直角邊為本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的極值問題。根據(jù)本文定理,列出方程組: 進(jìn)一步求解得容易解出,所以,根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),因而也是最大值點(diǎn)。當(dāng)兩條直角邊都為時,直角三角形的周長最大。4利用二次方程判別式的符號求某些條件極值4例 若,試求的極值.解 因?yàn)?代入得即 (1)這個關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解, 必須:即 解關(guān)于的二次不等式,得: 顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 (2)或 (3)的極值.由(2)得 (4)這個關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須, 即解此關(guān)于的二

30、次不等式,得.所以把代入(4)得,再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,當(dāng),時,函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),時,函數(shù)達(dá)到極小值-3.也可以從(3)作類似討論得出的極大值3和極小值-3.5利用標(biāo)準(zhǔn)量代換法求函數(shù)極值5求某些有多個變量的條件極值時,我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個變量之和的形式,一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例 設(shè),求的最小值.解 取為標(biāo)準(zhǔn)量, 令,則(為任意實(shí)數(shù)),從而有 (等號當(dāng)且僅當(dāng)即時成立). 所以的最小值為.1

31、李天勝，從一道錯誤的例題談條件極值的代入法J，高等數(shù)學(xué)研究,2002(3):22.2 肖翔，許伯生，運(yùn)用梯度法求條件極值J，上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006(1)：35-37.3 莫國良，關(guān)于用代入法求條件極值的一點(diǎn)注記J，高等數(shù)學(xué)研究，2004(3):42-49.4 王延源, 條件極值的六種初等解法J, 臨沂師專學(xué)報, 1999(12):21-24.5 李瑛華, 標(biāo)準(zhǔn)量代換法求函數(shù)極值,實(shí)戰(zhàn)實(shí)例.4.求曲線、曲面積分的方法與技巧一.曲線積分的計算方法與技巧計算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積

32、分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無關(guān)的條件通過改變積分路徑進(jìn)行計算、利用全微分公式通過求原函數(shù)進(jìn)行計算等方法。例一計算曲線積分其中是圓上從原點(diǎn)到的一段弧。本題以下采用多種方法進(jìn)行計算。解1：的方程為由由分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進(jìn)行計算的，選用的參變量為因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解法中應(yīng)注意參變量積分限的選定，應(yīng)選用對應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解2：在弧上取點(diǎn)，的方程為由由的方程為由由分析：解2是選用參變量為利用變量參數(shù)化直接計算所求曲線積分的，在方法類型上與解1相同。不同的是以為參數(shù)時，路徑不能用一個方程表示，因此原曲線積

33、分需分成兩部分進(jìn)行計算，在每一部分的計算中都需選用在該部分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解3：的參數(shù)方程為由由 解4：的極坐標(biāo)方程為因此參數(shù)方程為由由 分析：解3和解4仍然是通過采用變量參數(shù)化直接計算的?？梢娨粭l曲線的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解5：添加輔助線段，利用格林公式求解。因于是而故得分析：在利用格林公式將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分計算時，當(dāng)所求曲線積分的路徑非封閉曲線時，需添加輔助曲線,采用“補(bǔ)路封閉法”進(jìn)行計算再減去補(bǔ)路上的積分，但必須在補(bǔ)路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。是的正向邊

34、界曲線。解5中添加了輔助線段使曲線為正向封閉曲線。解6：由于于是此積分與路徑無關(guān)，故分析：由于在閉區(qū)域上應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)因此所求積分只與積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因此可改變在上的積分為在上積分，注意點(diǎn)對應(yīng)的起點(diǎn)。一般選用與坐標(biāo)軸平行的折線段作為新的積分路徑，可使原積分得到簡化。解7：由全微分公式分析：此解根據(jù)被積表達(dá)式的特征，用湊全微分法直接求出。例二計算曲線積分其中是曲線從軸正向往軸負(fù)向看的方向是順時針的。解1：設(shè)表示平面上以曲線為邊界的曲面，其中的正側(cè)與的正向一致，即是下側(cè)曲面，在面上的投影區(qū)域：由斯托克斯公式解2：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另一

35、形式求得出 而平面：的法向量向下，故取于是上式分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計算的。在利用斯托克斯公式計算時首先應(yīng)驗(yàn)證函數(shù)在曲面連同邊界上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則。在計算空間曲線積分時，此法也是常用的。解3：將積分曲線用參數(shù)方程表示，將此曲線積分化為定積分。設(shè)則從例三計算其中為曲線解1：由于當(dāng)積分變量輪換位置時，曲線方程不變，而且第一類曲線積分與弧的方向無關(guān)，故有由曲線是球面上的大圓周曲線，其長為故由于關(guān)于原點(diǎn)對稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得 于是解2：利用在上，原式再由對稱性可得（同解1），于是上式分析：以上解1解2利用對稱性，簡化了

36、計算。在第一類曲線積分的計算中，當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對稱性（即變量輪換位置，曲線方程不變）時，采用此法進(jìn)行計算常常是有效的。例四求其中為橢圓曲線上在上半平面內(nèi)從的弧。解：添加輔助線 為的順時針方向的上半圓周以及有向線段，其中是足夠小的正數(shù)，使曲線包含在橢圓曲線內(nèi)。由于 ，由格林公式，有設(shè)有再由 于是分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件。由于本題中在點(diǎn)附近 無定義，于是采用在橢圓內(nèi)部附近挖去一個小圓，使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件。這種采用挖去一個小圓的方法是常用的，當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個小橢圓也是可行的。同

37、時在用格林公式時，也必須注意邊界曲線取正向。例五求八分之一的球面的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度解：設(shè)邊界曲線在三個坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為則的質(zhì)量為設(shè)邊界曲線的重心為，則由對稱性可知分析：這是一個第一類曲線積分的應(yīng)用題。在計算上要注意將曲線分成三個部分： 另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對稱性，利用可簡化計算。二.曲面積分的計算方法與技巧計算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號”的法則將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等。例六計算曲面積分其中為錐面在柱體內(nèi)的部分。解

38、：在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，曲面的方程為因?對區(qū)域作極坐標(biāo)變換則該變換將區(qū)域變成坐標(biāo)系中的區(qū)域因此分析：以上解是按“一投，二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計算的。“一投”是指將積分曲面投向使投影面積不為零的坐標(biāo)面?！岸笔侵笇⒌姆匠滔然癁橥队懊嫔蟽蓚€變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭龘Q”是指將換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素，即或或上解中的投影區(qū)域在平面上，因此用代換由于投影區(qū)域是圓域，故變換成極坐標(biāo)計算。例七設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上，問為何值時，球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？解：不妨設(shè)的球心為，那么的方程為它 與定球面的交線為

39、即設(shè)含在定球面內(nèi)部的上那部分球面在面上的投影區(qū)域?yàn)?，那么且這部分球面的方程為則的面積為以下只需求函數(shù)在上的最大值。由令得唯一駐點(diǎn)且由問題的實(shí)際意義知在處取得最大值。即時，的面積最大，為分析：本題是第一類曲面積分的應(yīng)用題，在計算中關(guān)鍵是利用了球面的對稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的上那部分球面在面上的投影區(qū)域。在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。例八計算曲面積分其中為有向曲面 其法向量與軸正向的夾角為銳角。解1：設(shè)分別表示在平面，平面上的投影區(qū)域，則，其中令，又 所以 分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投，二代，三定號”法則將各單一型化為二重積分這里的“一

40、投”是指將積分曲面投向單一型中已指定的坐標(biāo)面?！岸笔侵笇⒌姆匠滔然癁橥队懊嫔蟽蓚€變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式。“三定號”是指依曲面的定側(cè)向量，決定二重積分前的“+”，“-”符號，當(dāng)?shù)亩▊?cè)向量指向坐標(biāo)面的上（右，前）方時，二重積分前面取“+”，反之取“-”。解2:利用化組合型為單一型. 因的法向量與軸正向的夾角為銳角,取故有于是原式因?yàn)樗陨鲜椒治觯河嬎愕诙惽娣e分，若是組合型，也可利用公式，先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，三定號”法則將單一型化為為二重積分求得。解3：以表示法向量指向軸負(fù)向的有向平面，為在平面上的投影區(qū)域，則設(shè)表示由和所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式

41、得因此 分析：利用高斯公式，可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足在閉區(qū)域上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是邊界曲面的外側(cè)。本題中的曲面不是封閉曲面，故添加了，使為封閉曲面，并使的側(cè)符合高斯公式對邊界曲面的要求。例九：計算曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與軸正向的夾角恒大于解：設(shè)表示上與軸正向同側(cè)的曲面，由和所圍立體記為由高斯公式得因此由于在面上的投影區(qū)域?yàn)樽⒁獾皆诿?，面上的投影不?gòu)成區(qū)域，且在上從而分析：是旋轉(zhuǎn)曲面且指向外側(cè)，在上補(bǔ)上曲面指向與軸正向相同，那么由高斯公式就可將原式化成三重積分和上的曲面積分進(jìn)行計算。例十設(shè)空間區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正常數(shù)。記表面的外側(cè)為的體積

42、為證明證明：設(shè) 則由高斯公式知 由于則因此分析：由于求證的是給定的曲面積分等于某個區(qū)域的體積值，而高斯公式給出了曲面積分與該曲面包含的區(qū)域上的某個三重積分間的關(guān)系，考慮到體積值可用相應(yīng)的三重積分表示，故選用高斯公式進(jìn)行證明。5.中值定理的應(yīng)用方法與技巧中值定理包括微分中值定理和積分中值定理兩部分。微分中值定理即羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等數(shù)學(xué)教科書上均有介紹，這里不再累述。積分中值定理有積分第一中值定理和積分第二中值定理。積分第一中值定理為大家熟知，即若在a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得。積分第二中值定理為前者的推廣，即若在a,b上連續(xù)，且在a,b上不變號，則

43、在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得。微分中值定理的應(yīng)用方法與技巧三大微分中值定理可應(yīng)用于含有中值的等式證明，也可應(yīng)用于恒等式及不等式證明。由于三大中值定理的條件和結(jié)論各不相同，又存在著相互關(guān)聯(lián)，因此應(yīng)用中值定理的基本方法是針對所要證明的等式、不等式，分析其結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合所給的條件選定合適的閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，套用相應(yīng)的中值定理進(jìn)行證明。這一過程要求我們非常熟悉三大中值定理的條件和結(jié)論，并且掌握一定的函數(shù)構(gòu)造技巧。例一設(shè)在0,1上連續(xù)可導(dǎo)，且。證明：任意給定正整數(shù)，必存在(0,1)內(nèi)的兩個數(shù)，使得成立。證法1：任意給定正整數(shù)，令，則在0,1上對應(yīng)用柯西中值定理得：存在，使得。任意給定正整數(shù)，再令，則在

44、0,1上對應(yīng)用柯西中值定理得：存在，使得。兩式相加得：任意給定正整數(shù)，必存在(0,1)內(nèi)的兩個數(shù)，使得成立。證法2：任意給定正整數(shù)，令，則在0,1上對應(yīng)用柯西中值定理得：存在，使得。再令，則在0,1上對應(yīng)用柯西中值定理得：存在，使得。因此有，移項(xiàng)得：。分析：解1和解2都是應(yīng)用了柯西中值定理。鑒于所要證明的等式中含有兩個中值，并且中值處的導(dǎo)數(shù)位于分式中，因此考慮須用兩次柯西中值定理。證法1和解2的不同之處是解1分別從出發(fā)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。而證法2是先將移項(xiàng)得：，然后從兩邊出發(fā)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。例二設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且，試證明：存在，使得。證法1：根據(jù)條件，由拉格朗日中值定理，存在，

45、使得令，在a,b上對應(yīng)用柯西中值定理，得存在，使得 。證法2：令，在a,b上對應(yīng)用柯西中值定理，得存在，使得 。再令，在a,b上對應(yīng)用柯西中值定理，得存在，使得 。綜合兩式得到存在，使得。分析：鑒于所要證明的等式中含有兩個中值，并且中值處的導(dǎo)數(shù)位于分式中中，因此可考慮用兩次柯西中值定理，即證法2。也可用一次柯西中值定理后，分式中函數(shù)值差的部分改用拉格朗日中值定理進(jìn)行進(jìn)一步化簡，即為證法1的基本思想方法。例三設(shè)在a,b上二階可導(dǎo)，并且，試證：（1）在(a,b)內(nèi)，（2）在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證明：（1）用反證法。假設(shè)存在點(diǎn)，使。分別在上對運(yùn)用羅爾定理，可得存在，使得再在上應(yīng)用羅爾定理，

46、又可得存在，使得，這與題設(shè)矛盾。故在(a,b)內(nèi)，。（2）即證。為此作輔助函數(shù)：由于，故。在a,b上對應(yīng)用羅爾定理得：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，從而有。分析：該題的證明主要運(yùn)用了羅爾定理。由于題設(shè)中出現(xiàn)了，因此在（1）的證明中可考慮用反證法，通過反復(fù)運(yùn)用羅爾定理導(dǎo)出，從而推出矛盾，證得結(jié)論。而（2）的證明關(guān)鍵在于首先要將欲證的等式變形成某一函數(shù)在中值處的導(dǎo)數(shù)為零。從中選定一函數(shù)對其應(yīng)用羅爾定理導(dǎo)出結(jié)論。例四.設(shè)在-a,a上連續(xù)，在處可導(dǎo)，且。（1）求證：，（2）求證明：（1）令，則。根據(jù)拉格朗日中值定理，使得即（2）由于而運(yùn)用洛必達(dá)法則，。因此。分析：此題運(yùn)用的知識點(diǎn)和方法較為綜合。既用

47、到了積分上限的函數(shù)特性，又用到了拉格朗日中值定理另一種表達(dá)方式，以及洛必達(dá)法則、函數(shù)極限運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)概念等等。因此要求解題者需具備較扎實(shí)的微積分知識基礎(chǔ)和一定的函數(shù)構(gòu)造技巧。例五.證明下列不等式：（1）（2）當(dāng)時，證明：（1）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因此根據(jù)拉格朗日中值定理，有，。即，故（2）設(shè)，由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因此根據(jù)拉格朗日中值定理，有。即。由于，所以，從而當(dāng)時，。分析：本例是運(yùn)用拉格朗日中值定理證明不等式的典型實(shí)例。利用拉格朗日中值定理證明不等式的一般步驟為：（1）從所欲證的不等式中找到含函數(shù)值差的表達(dá)式，從中選定及一閉區(qū)間（2）運(yùn)用拉格朗日中值定理得到一等式（3）利用此等式及

48、導(dǎo)出欲證的不等式。例六.設(shè)在0,1上三階可導(dǎo)，且，試證：至少存在一點(diǎn)，使得， 證明：即證至少存在一點(diǎn)，使得。令，則，。所以可令：，下證：。令，則。根據(jù)羅爾定理，在的兩個零點(diǎn)之間存在的一個零點(diǎn)，因此在內(nèi)至少有三個零點(diǎn)。同理，在內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)，而在內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，記為即，從而。所以至少存在一點(diǎn)，使得， 分析：該題粗看貌似泰勒展開式的證明，但進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)并非泰勒展開式。其難點(diǎn)在于形式的導(dǎo)出。注意到此式中含有中值處的高階導(dǎo)數(shù)，因此可考慮反復(fù)用羅爾定理。證明的難點(diǎn)化解是通過將展開式移項(xiàng)、尋求函數(shù)零點(diǎn)，引進(jìn)輔助函數(shù)等手段實(shí)現(xiàn)。例七.設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且。試證存在，使得。證明：由于在a,b上滿足柯西中值定理，故必有，使。因?yàn)樵赼,b上滿足拉格朗日中值定理，所以存在，使得。于是有。所以存在，使得。分析：該題的解題思路為先將欲證等式中的兩處中值處導(dǎo)數(shù)拆