安徽省壽縣2021-2022學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（ ）ABCD2函數(shù)的圖象大致為ABCD3已知實(shí)數(shù)滿

2、足線性約束條件，則的取值范圍為（ ）A(-2,-1B(-1,4C-2,4)D0,44下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（ ）ABCD5如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（ ）AB1CD6已知是虛數(shù)單位，若，則實(shí)數(shù)（ ）A或B-1或1C1D7是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為（ ）ABCD8年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)

3、、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為ABCD9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）ABCD10若平面向量，滿足，則的最大值為（ ）ABCD11半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（ ）ABCD12已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.14已知集合，則_.15展開式中的系數(shù)為_.16 “六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”某校在周

4、末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長(zhǎng).18（12分）誠(chéng)信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠(chéng)信教育，并用“”表示每周“水站誠(chéng)信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個(gè)周期）的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（）計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)；（）

5、若定義水站誠(chéng)信度高于的為“高誠(chéng)信度”，以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研，計(jì)算恰有兩周是“高誠(chéng)信度”的概率； （）已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說(shuō)明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.19（12分）記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.20（12分）已知點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線（當(dāng)、重合時(shí)，直線約定為軸），垂足為，以為極點(diǎn)，

6、軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，連接并延長(zhǎng)交于，求的最大值.21（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，分別為，的中點(diǎn)（1）求證：（2）若，求二面角的余弦值22（10分） “綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí)，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.（1）設(shè)事件為 “選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來(lái)自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變

7、量的分布列和期望參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此當(dāng)時(shí)，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，

8、考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2D【解析】由題可得函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D3B【解析】作出可行域，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，觀察可行域可得最小值【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，過(guò)與直線平行的直線斜率為1，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論4C【解析】依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A. ，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除； B

9、. ，值域?yàn)?，奇函?shù)，排除；C. ，值域?yàn)椋婧瘮?shù)，滿足； D. ，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.5D【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)拋物線，代入點(diǎn)，可得焦點(diǎn)為，即焦點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為，.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).6B【解析】由題意得，然后求解即可【詳解】，.又，.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7

10、D【解析】首先由題意得，當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn)，的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設(shè)為梯形的外接圓圓心，當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過(guò)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)必在上，、分別為、的中點(diǎn)，則必有，即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形，如圖：因?yàn)槭堑冗吶切危?、分別為、的中點(diǎn)，必有，所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球

11、及體積問(wèn)題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置，這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.8B【解析】甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B9B【解析】列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.10C【解析】可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)，利用向量數(shù)量積

12、的性質(zhì)，化簡(jiǎn)為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.11B【解析】設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，利用，可得，進(jìn)一步得到側(cè)面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，則，在中，化為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱與球的切接問(wèn)題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.12B【解析】分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)

13、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】問(wèn)題函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn).故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.14【解析】根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并

14、集，知.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于容易題.15【解析】變換，根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16【解析】分步排課，首先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來(lái)全排列，同時(shí)它們內(nèi)部也全排列【詳解】第一步：先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為故答案

15、為：1【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問(wèn)題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）；（2）.【解析】（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導(dǎo)公式求得，進(jìn)而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長(zhǎng).【詳解】（1）在中，解得，.（2）在中，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.18（）；（）；（）兩次活動(dòng)效果均好，理由詳見

16、解析.【解析】（）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；（）設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機(jī)抽取兩周，則有兩周為“高誠(chéng)信度”事件為，利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可；（）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】（）表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù).（）設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠(chéng)信度”事件為，總的基本事件為共15種，事件所包含的基本事件為共10種，由古典概型概率計(jì)算公式可得，.（）兩次活動(dòng)效果均好.理由：活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度由和看出，后繼一周都有提升.【點(diǎn)睛】本題

17、考查平均數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式；考查運(yùn)算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.19（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項(xiàng)和.（2）推導(dǎo)出，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，從而，由，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，是遞增數(shù)列，的前項(xiàng)和.（2）證明：，的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，根據(jù)，的定義，得：，且兩個(gè)不等式中至少有一個(gè)取等號(hào)

18、，當(dāng)時(shí)，必有，是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則必有，是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，.是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，中必有一個(gè)為0，根據(jù)上式，一個(gè)為0，為一個(gè)必為0，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.20（1）；（2）【解析】（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，在中，有，即可得結(jié)果；（2）設(shè)射線：，圓的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立兩個(gè)方程，可求出，聯(lián)立可得，則計(jì)算可得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，在中，有，點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)射線：，圓的極坐標(biāo)方程為，由得：，由得：，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.21（1）見解析（2）【解析】（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角【詳解】（1）證明：連接，平面平面，平面平面，為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面，為斜邊的中點(diǎn)，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則易知平面的法向量為記