北京海淀外國語2021-2022學(xué)年高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知x，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必

2、要條件2已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）A2BCD3已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD4已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（ ）ABCD5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（ ）ABCD6設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（ ）A減小，減小B減小，增大C增大，減小D增大，增大7已知圓M:x2+y2-2ay=0a0截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是22，則圓M與圓N:x-12+y-12=1的位置關(guān)系是（ ）A內(nèi)切B相交C外切D相離

3、8已知雙曲線（，），以點(diǎn)（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）ABCD9直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1ab0的左焦點(diǎn)F，交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，若FC=2CA，則該橢圓的離心率是（）A3-1B3-12C22-2D2-110等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是（ ）A或BCD11已知集合，則的子集共有（ ）A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè)12函數(shù)在的圖像大致為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在正奇數(shù)非減數(shù)列中，每個(gè)正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、，對(duì)所有的整數(shù)滿足，其中表示不超過的最大整數(shù).則等于_.14設(shè)數(shù)

4、列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，則_15如圖，在平行四邊形中，,則的值為_.16將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是6的的概率是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，解不等式.（II）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點(diǎn)分別為、（、異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率時(shí)，求的最小值.19（12分）已知

5、函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.20（12分）設(shè)函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值21（12分）設(shè)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）對(duì)，證明：恒為定值22（10分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且(1)求角的大小(2)若,的面積,求的周長(zhǎng)參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤，當(dāng)時(shí)，不妨取，故時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不

6、充分也不必要條件，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.2D【解析】作出圖象，取AB中點(diǎn)E，連接EF2，設(shè)F1Ax，根據(jù)雙曲線定義可得x2a，再由勾股定理可得到c27a2，進(jìn)而得到e的值【詳解】解：取AB中點(diǎn)E，連接EF2，則由已知可得BF1EF2，F(xiàn)1AAEEB，設(shè)F1Ax，則由雙曲線定義可得AF22a+x，BF1BF23x2ax2a，所以x2a，則EF22a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2（2c）2，所以c27a2，則e故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)鍵是列出含有 中兩個(gè)

7、量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.3D【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長(zhǎng)為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率【詳解】由題意，又，在中，即，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式4B【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】在R上單調(diào)遞增，且，.的符號(hào)無法判斷，故與，與的大小不確定，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，對(duì)，則，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考

8、查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5A【解析】分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時(shí)的情況即可,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價(jià)于,進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當(dāng)時(shí),等價(jià)于,因?yàn)?所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以等價(jià)于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而，故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學(xué)生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】，判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可【詳解】解：根據(jù)題意在內(nèi)遞增，是以為對(duì)稱軸，開口向下

9、的拋物線，所以在上單調(diào)遞減，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題7B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a2M(0,a),r1=aM到直線x+y=0的距離d=a2 (a2)2+2=a2a=2M(0,2),r1=2，又N(1,1),r2=1|MN|=2|r1-r2|MN| |r1+r2|兩圓相交. 選B8A【解析】求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因?yàn)?，所以圓心到的距離為：，即，因?yàn)?，所以解得故選A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

10、的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題對(duì)于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.9A【解析】由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點(diǎn)F，得到左焦點(diǎn)為F(-3,0)，且a2-b2=3，再由FC=2CA，求得A32,32，代入橢圓的方程，求得a2=33+62，進(jìn)而利用橢圓的離心率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，令y=0，解得x=3，所以c=3，即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)，

11、且a2-b2=3 直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=3,OC=1,FC=2，因?yàn)镕C=2CA，所以FA=3，所以A32,32，又由點(diǎn)A在橢圓上，得3a2+9b2=4 由，可得4a2-24a2+9=0，解得a2=33+62，所以e2=c2a2=633+6=4-23=3-12，所以橢圓的離心率為e=3-1.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得e的值(范圍)10C【解析】設(shè)公差為，則由題意可得，解得，可得

12、.令，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設(shè)公差為，則，解得，.令，可得，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.11B【解析】根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以集合則所以的子集共有故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合中有元素時(shí)，集合子集的個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.12B【解析】由分子、分母的奇偶性，易于確

13、定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132【解析】將已知數(shù)列分組為（1），共個(gè)組.設(shè)在第組，則有，即.注意到，解得.所以，.因此，.故.14【解析】利用行列式定義，得到與的關(guān)系，賦值，即可求出結(jié)果?！驹斀狻坑?，令，得，解得。【點(diǎn)睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。15【解析】根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出，然后代入AB2，AD1

14、即可求出的值【詳解】AB2，AD1， 141故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16【解析】先求出基本事件總數(shù)6636，再由列舉法求出“點(diǎn)數(shù)之和等于6”包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此能求出“點(diǎn)數(shù)之和等于6”的概率【詳解】基本事件總數(shù)6636，點(diǎn)數(shù)之和是6包括共5種情況，則所求概率是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（） ;（）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值解不等式；（

15、2）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得，因此將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，借此不等式即可試題解析：（）由得，或，或 解得：所以原不等式的解集為 .（）由不等式的性質(zhì)得：，要使不等式恒成立，則 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，解不等式得 綜上 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解. (2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得，

16、，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1) 由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為），代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，即，曲線的參，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)

17、方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點(diǎn)互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19（1）見解析；（2）【解析】（1）設(shè)，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】（1）由已知，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）設(shè)，在單調(diào)遞增，即，從而，

18、因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上恒成立，令，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以一定存在，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.綜上，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問題，在處理恒成立問題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來處理，本題是一道較難的題.20（1）或（2）最小值為【解析】（1）討論，三種情況，分別計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得所以所求不等式的解集為或（2）根據(jù)函數(shù)圖像知：當(dāng)時(shí)，所以因?yàn)椋?，可知，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)