近世代數(shù)教學課件

1、 近世代數(shù)課程是現(xiàn)代數(shù)學的基礎,既是中學代數(shù)的繼續(xù)發(fā)展，也是高等代數(shù)課程的繼續(xù)和發(fā)展,同時它又同拓撲學、實變函數(shù)與泛函分析構成現(xiàn)代數(shù)學的三大基石，是進入數(shù)學王國的必由之路，是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生必修的重要基礎課。 同學應當具備有初等代數(shù)，高等代數(shù)的背景，此外還有初等數(shù)論等方面的知識背景。近 世 代 數(shù) 高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點，它的基本概念：群、環(huán)、域，對初學者也是很抽象的概念，因此，在本課程的學習中，大家要多注意實例,以加深對概念的正確理解。 近世代數(shù)的習題，因抽象也都有一定的難度，但習題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié)，因此，應適當做一些習題，為克服做習題的困難，應注意教材內(nèi)容和方

2、法以及習題課內(nèi)容。主要參考書1BL瓦德瓦爾登著：代數(shù)學、卷，科學出版社，1964年版2N賈柯勃遜著：抽象代數(shù)1、2、3卷，科學出版社，1987年出版3. ，張禾瑞 ，高等教育出版，1978年修訂本。4劉紹學著：近世代數(shù)基礎，高等教育出版社，1999年出版 5石生明著：近世代數(shù)初步、高等教育出版社，2002年出版6.近世代數(shù)，吳品山，人民教育出版社，1979。7.抽象代數(shù)學，謝邦杰，上?？茖W技術出版社， 1982。8.抽象代數(shù)基礎，劉云英，北京師范大學出版 社，1990年。 近世代數(shù)理論的三個來源 代數(shù)方程的解(2) Hamilton四元數(shù)的發(fā)(3) Kummer理想數(shù)的發(fā)現(xiàn)（1） 代數(shù)方程的解

3、兩千多年之前古希臘時代數(shù)學家就能夠利用開 方法解二次方程ax2+bx+c=0 。16世紀初歐洲文藝復興時期之后，求解高次方程成為歐洲代數(shù)學研究的一個中心問題。1545年意大利數(shù)學家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作大術（Ars Magna）中給出了三、四次多項式的求根公式，此后的將近三個世紀中人們力圖發(fā)現(xiàn)五次方程的一般求解方法，但是都失敗了。 直到1824年一位年青的挪威數(shù)學家 N.Abel (1802-1829) 才證明五次和五次以上的一般代數(shù)方程沒有求根公式。但是人們?nèi)匀徊恢朗裁礂l件之下一個已知的多項式能借助加、減、乘、除有理運算以及開方的方法求出它的所有根,什么條件之

4、下不能求根。 最終解決這一問題的是一位法國年青數(shù)學家E.Galois(18111832)，Galois引入了擴域以及群的概念，并采用了一種全新的理論方法發(fā)現(xiàn)了高次代數(shù)方程可解的法則。在Galois之后群與域的理論逐漸成為現(xiàn)代化數(shù)學研究的重要領域，這是近世代數(shù)產(chǎn)生的一個最重要的來源。加羅華阿貝爾 被譽為天才數(shù)學家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質(zhì)條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最杰出的數(shù)學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決

5、了困擾數(shù)學家們長達數(shù)百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y構觀念研究的思維方式，并把數(shù)學運算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學分支，對近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時這種理論對于物理學、化學的發(fā)展，甚至對于二十世紀結構主義哲學的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。(2)Hamilton四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)長期以來人們對于虛數(shù)的意義存在不同的看法，后來發(fā)現(xiàn)可以把復數(shù)看成二元數(shù)(a,b)=a+bi，其中i2= -1

6、。二元數(shù)按(a,b)(c,d)=(ac,bd)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法則進行代數(shù)運算，二元數(shù)具有直觀的幾何意義；與平面上的點一一對應。這是數(shù)學家高斯提出的復數(shù)幾何理論。二元數(shù)理論產(chǎn)生的一個直接問題是：是否存在三元數(shù)？經(jīng)過長時間探索，力圖尋求三元數(shù)的努力失敗了。但是愛爾蘭數(shù)學家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。四元數(shù)系與實數(shù)系、復數(shù)系一樣可以作加減乘除四則運算，但與以前的數(shù)系相比，四元數(shù)是一個乘法不交換的數(shù)系。從這點來說四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)使人們對于數(shù)系的代數(shù)性質(zhì)的認識提高了一大步。四元數(shù)代數(shù)也成為抽象代數(shù)研究的一個新的起點，它是近世

7、代數(shù)的另一個重要理論來源。 （3）Kummer理想數(shù)的發(fā)現(xiàn)17世紀初法國數(shù)學家費馬(P.Fermat 1601-1665）研究整數(shù)方程時發(fā)現(xiàn)當n3時，方程 xn+yn=zn 沒有正整數(shù)解，費馬認為他能夠證明這個定理，但是其后的三百多年中人們研究發(fā)現(xiàn)這是一個非常困難的問題，這一問題被后來的研究者稱為費馬問題或費馬大定理，此定理直到1995年才被英國數(shù)學家A.Wiles證明。對費馬問題的研究在三個半世紀內(nèi)從未間斷過，歐拉、高斯等著名數(shù)學家都對此作出過重要貢獻。但最重大的一個進展是由E.Kummer作出的。 Kummer的想法是：如果上面的方程有正整數(shù)解，假定是一個n次本原單位根，那么 xn+yn=

8、zn 的等式兩邊可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y),象整數(shù)中的因子分解一樣，如果等式右邊的n個因子兩兩互素，那么每個因子都應是另外一個“復整數(shù)”的n次方冪,進行適當?shù)淖儞Q之后有可能得到更小的整數(shù)x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，從而導致矛盾。如果上面等式右邊的n個因子有公因式，那么同除這個公因式再進行上面同樣的討論。 Kummer方法的前提是形如a+b的復整數(shù)也象整數(shù)一樣具有唯一的素因子分解，其中a與b是通常整數(shù)。并不是對于每個整數(shù)n,復整數(shù)a+b都具有唯一分解性，Kummer把這種復整數(shù)的因子分解稱為理想數(shù)的分解。 用這種方法 Kummer證明了n100時費

9、馬大定理成立,理想數(shù)的方法不但能用于費馬問題研,實際上是代數(shù)數(shù)論的重要研究內(nèi)容，其后德國數(shù)學家R.Dedekind(1831-1916)把理想數(shù)的概念推廣為一般的理想論，使它成為近世代數(shù)的一個重要的研究領域。 近世代數(shù)是在19世紀末至20世紀初發(fā)展起來的數(shù)學分支。 1930年荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根據(jù)該學科領域幾位創(chuàng)始人的演講報告,綜合了當時近世代數(shù)的研究成果, 編著了近世代數(shù)學(Moderne Algebra）一書,這是該學科領域第一本學術專著，也是第一本近世代數(shù)的教科書。 諾特, 1882年3月23日生于德國埃爾朗根，1900年入

10、埃朗根大學，1907年在數(shù)學家哥爾丹指導下獲博士學位。1916年后，她開始由古典代數(shù)學向抽象代數(shù)學過渡。1920年，她已引入左模、右模的概念。1921年寫出的是交換代數(shù)發(fā)展的里程碑。建立了交換諾特環(huán)理論，證明了準素分解定理。1926年發(fā)表，給戴德金環(huán)一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論，一般認為抽象代數(shù)形式的時間就是1926年，從此代數(shù)學研究對象從研究代數(shù)方程根的計算與分布，進入到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運算規(guī)律和各種代數(shù)結構，完成了古典代數(shù)到抽象代數(shù)的本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。諾特當之無愧地被人們譽為抽象代數(shù)的奠基人之一

11、。第一章 基本概念1 集 合2 映射與變換3 代數(shù)運算4 運算率5 同態(tài)與同構6 等價關系與集合的分類1集 合 表示一定事物的集體，我們把它們稱為集合或集，如“一隊”、“一班”、“一筐”. 組成集合的東西叫這個集合的元素. 我們常用大寫拉丁字母A，B，C，表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作 ；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作 ； 例如，設A是一切偶數(shù)所成的集合，那么4A， 而 . 一個集合可能只含有有限多個元素，這樣的集合叫做有限集合. 如，學校的全體學生的集合；一本書里面的所有漢字的集合等等這些都是有限集合. 如果一個集合是由

12、無限多個元素組成的，就叫做無限集合. 如，全體自然數(shù)的集合；全體實數(shù)的集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示為：枚舉法:例如,我們把一個含有n個元素 的集合的有限集合表示成： . 前五個正整數(shù)的集合就可以記作 .擬枚舉：自然數(shù)的集合可以記作 , 擬枚舉可以用來表示能夠排列出來的的集合, 像自然數(shù)、整數(shù)描述法:如果一個集A是由一切具有某一性質(zhì)的元素所組成的，那么就用記號來表示. 表示一切大于-1且小于1的實數(shù)的所組成的集合. 常用的數(shù)集：全體整數(shù)的集合，表示為Z全體有理數(shù)的集合，表示為Q全體實數(shù)的集合，表示為R全體復數(shù)的集合，表示為C 設A，B是兩個集合，如果A 的每一元素都是B 的元素，那么

13、就說是的子集，記作 ，或記作 . 根據(jù)這個定義，是的的子集當且僅當對于每一個元素x，如果 ，就有 . A是B的子集，記作：如果集合A與B的由完全相同的元素組成部分的，就說A與B 相等，記作：A=B. 即以集合A的所有子集為元素的集合，稱為A的冪集，記為P(A).并運算 設A，B是兩個集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A與B的并集（簡稱并），記作 . 如圖1所示. AB交運算 由集合A與B的公共元素所組成的集合叫做A與B的交集(簡稱交)，記作： ，如圖2所示.顯然，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，則我們有運算性質(zhì):交換律 :; 分配律 :結合律 :; 冪等率 :;

14、兩個集的并與交的概念可以推廣到任意n個集合上去，設 是給定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并； 由 的一切公共元素所成的集合叫做 的交. 的并和交分別記為： 和 . 我們有差運算：設A，B是兩個集合，令也就是說， 是由一切屬于A但不屬于B 的元素所組成的，稱為A與B 的差. 注意：并沒有要求B是A的子集. 例如，積運算：設A，B是兩個集合，令稱 為A與B的笛卡兒積（簡稱為積）. 是一切元素對（a, b ）所成的集合，其中第一個位置的元素a取自A，第二個位置的元素b取自B. 可以定義多個集合的笛卡兒積2 映射與變換定義1 設A，B 是兩個非空的集合，A到B 的一個映射指的是一個對應法則

15、，通過這個法則，對于集合A中的每一個元素 x，有集合B中一個惟一確定的元素 y 與它對應. 用字母f，g，表示映射. 用記號 表示f 是A到B的一個映射. 如果通過映射f，與A中元素x對應的B中元素是y，那么就寫作 這時y 叫做 x 在f 之下的象，記作 . 例1 設 這是A到B的一個映射. 例2 設A是一切非負數(shù)的集合，B是一切實數(shù)的集合. 對于每一 ，令 與它對應. f 不是A到B的映射， 因為當 時， 不能由x唯一確定. 定義2 設f 是A到B的一個映射，如果Imf=B，那么說稱f 是A到B上的一個映射，這里也稱f 是一個滿射 。設 是一個映射. 對于 ，x的像 . 一切這樣的象作成B的

16、一個子集，用 表示： ，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象. 定義3 設 是一個映射，如果對于A中任意兩個元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就稱f 是A到B的一個單射. 或A到B的一一映射 如果既是滿射，又是單射，即如果 f 滿足下面兩個條件， 就稱f是A到B的一個雙射. 或A到B上的一一映射 例3令 那么 . 設 ， 都是A到B的映射，如果對于每一 ，都有 ，那么就說映射f與g是相等的. 記作定義4： 設 是A到B 的一個映射， 是B 到C 的一個映射. 那么對于每一個 ， 是C中的一個元素. 因此，對于每一 ，就有C 中唯一的確定的元素 與它對應，這樣就得到A到C 的一個映射，這映射是由

17、 和 所決定的，稱為 f 與g 的合成（乘積），記作 . 于是有 對于一切 , f 與g 的合成可以用下面的圖示意：fgABC（交換圖）例4 設那么 例5 設 A=1，2，3 那么 映射 ， ， ，有 . 但是，一般情況下 . 設A是非空集合 稱為設A上的 恒等映射。 設A，B是兩個非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射. 設 是A到 B 的一個映射. 顯然有： ， .例6：f 是集合A到B的一個雙射的充要條件是存在B到A的一個映射g ，使得 ， 且映射g是由f 唯一確定的, 稱為f 的逆映射, 表示為證: (必要性) 因為f 是滿射，所以對于B中每一個y，有 ，使得 又因為f 是單射，所以這

18、個x 是由y唯一確定的：即如果還有 使得 ，那么 . 則g是B 到A 的一個映射. 我們規(guī)定任意 而 . 我們有任 ，而 . 那么 故 #所以（充分性) 任意 ,令 .由于 ， 所以即f是滿射.設 而 由于 ，所以這說證明了f 是單射. 因此，f 是A到B 的雙射. 最后，令 和 都具有性質(zhì):， 有 所以 g 是由 f 唯一確定的. #， 設f 是A到B 的一個映射，我們把滿足例6條件的映射 叫做 f 的逆映射. 一個映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的話，逆映射是由 f 唯一確定的，以后把 f 的逆映射記作 . 有 因此， 也是一個雙射，并且f 就是 的逆映射，即 . 例7: 設A是

19、一切非負實數(shù)所成的集合；f 是A到B 的一個映射， 因為當 時， ，并且是由x 唯一確定的. 證明，f 是一個雙射. 證：任意 . 取 因為 ，所以 ，且 ，所以 . 且有 （f滿）設 而 . 那么 由此 ，所以f 是單射. 于是由例6，f 有逆映射. 易驗證， 一般地，設A是一個非空的集合，把AA到A的一個映射叫做集合A的一個代數(shù)運算. 定義5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一個變換。單射變換、滿射變換、雙射變換、恒等變換3.代數(shù)運算注(1)為什么叫運算？不妨設是映射，若，我們可以說a和b在的法則下運算得到d(2)一個代數(shù)運算可以用表示，并將(a,b)在像記作下的一般映射的描述: 作為運算

20、的記號: , .簡記: 例A所有正整數(shù)，下列運算是不是A的代數(shù)運算?A=Z?A=Q?A=R 例4：Aa, b,c規(guī)定A的兩個不同的代 數(shù)運算 T(M)表示非空集合M的全體變換作成的集合。 S(M)表示非空集合M的全體雙射變換作成的集合。 顯然變換的合成（乘法）是T(M)和S(M)的一個代數(shù)運算。 對有限集合的代數(shù)運算，常直觀地列成一個表（乘法表）？S(M)的乘法表一、結合率4運算律假如用一個加括號的步驟，當然也會得到一個結果加括號的步驟自然不止一種，但因為是一個有限整數(shù)，這種步驟的個數(shù)總是一個有限整數(shù)假定它是，我們把由這個步驟所得的結果用 , , , , 來表示。這樣得來的N個 ,當然未必相等

21、,但是它們也可能都相等。我們規(guī)定: 假如對于 的 個固定的元 來說,所有的 都相等, 我們就唯一的結果,用 來表示. 問題: 什么條件下, 所有的 都相等?定理: 假如一個集合 的代數(shù)運算適合結合律, 那么對于 的任意 個元 來說, 所有的 都相等；因此符號 也就總有意義證明對n用數(shù)學歸納法(第二型) (I) n=2,3，定理是對的 (II)假定個數(shù) ，定理是對的在這個假定之下，如果我們能夠證明:對于一個任意的 來說 (一個固定的結果)定理也就證明了. 這一個 是經(jīng)過一種加括號的步驟所得來的結果,這個步驟的最后一步總是對兩個元進行運算: 這里, 是前面的若干個,假定是 個元,，經(jīng)過一個加括號的

22、步驟所得的結果, 是其余的 個元 ，經(jīng)過一個加括號的步驟所得的結果。因為 和 都 ,由歸納法的假定,情況1 假定 ,那么上式就是要證明的情況2 假定 ，那么 即（）式仍然成立證完。 結合律成立，保證了可以應用 個符號。結合律的重要也就在此二、交換率三、分配率5 同態(tài)與同構 如何比較兩個代數(shù)系統(tǒng)?回憶兩個三角形全等的定義:經(jīng)過運動,頂點可以重合.這里涉及兩個步驟:第一,點間有一個對應(映射);第二,對應后可以重合. 我們比較兩個代數(shù)系統(tǒng) 和 . 第一,我們需要一個映射 ; 第二, 這個映射還能夠使“運算重合”或曰：保持運算.具體的說,假如 和 是 的兩個元,那么 和 都有意義,都是的元.保持運算

23、即下面等式成立: 上面的等式即:換一種表示，假定在 之下的像， 所有整數(shù), 的代數(shù)運算是普通加法. , 的代數(shù)運算是普通乘法. 定義1 一個 到 的映射 稱為對于代數(shù)運算 和 的同態(tài)映射,假如, ,都有: 定義與例子例1 證明 ( 是 的任一元)是一個到的同態(tài)映射. 證明 例2 : , 若是偶數(shù) , 若是奇數(shù) 證明: 是一個 到 的滿射的同態(tài)映射.證明: 顯然, 是 到 的滿射.對于 的任意兩個整數(shù) 和 來說,分三種情況:(1)若 , 都是偶數(shù),那么 也是偶數(shù) , , 所以, (2)若 , 都是奇數(shù)(3)若 和 奇偶性相反,.例3 : ( 是 的任一元)固然是一個 到 的映射,但不是同態(tài)映射.

24、因為,對于任意 的 和 來說,性質(zhì)1 （1）反身性: （2）傳遞性: 注: 對稱性不成立定義 和 是兩個代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個 到 的同態(tài)滿射 ,就稱 和 同態(tài).記號: 定理1 假定,對于代數(shù)運算 和 來說, 到 同態(tài).那么,（1）若 適合結合律, 也適合結合律；（2）若 適合交換律, 也適合交換律.于是證明 我們用 來表示 到 的同態(tài)滿射. （1）假定 是 的任意三個元. 由于 是同態(tài)滿射,我們在 里至少找得出三個元 , , 來,使得在 之下,(2)證明類似. 注: 這種通過同態(tài)映射過渡的方法在證明具有一般性定理2 假定, 都是集合 的代數(shù)運算, 都是集合 的代數(shù)運算,并且存在一個 到 的滿

25、射 ,使得 與 對于代數(shù)運算 來說同態(tài),對于代數(shù)運算 來說也同態(tài).那么 (1) 若 適合第一分配律, 也適合第一分配律. (2) 若 適合第二分配律, 也適合第二分配律.證明 注: , 由 的性質(zhì)可以推出 具有同樣的性質(zhì); 反過來不成立.定義（同構映射）定義 和 是兩個代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個 到 的同構映射 ,就稱 和 同構.記號: 自同態(tài)、自同構的概念可以自然的給出同構的代數(shù)系統(tǒng)意味什么例 , 0120 1 2 1 2 02 0 13 4 53453 4 54 5 35 3 40 1 2 與 的代數(shù)運算 與 的表請比較兩個運算表異同之處?在A的運算表, 進行變換: 變成了什么?它們可以統(tǒng)一成

26、為一個運算表.（矛盾）小結現(xiàn)在我們看兩個任意的，對于代數(shù)運算 和 來說是同構的集合 和 我們可以假定，并且在 與 間的同構映射 之下， ， ， ，由于同構映射的性質(zhì)，我們知道，抽象地來看， 與 這兩個代數(shù)系統(tǒng)，沒有任何區(qū)別（只有命名上的不同而已）.6 等價關系與集合的分類 第二章 群1 群的定義和初步性質(zhì)2 群中元素的階3 子群4 循環(huán)群5 變換群6 置換群7 陪集、指數(shù)和Lagrange定理1群的定義和初步性質(zhì)定義（第一定義）：稱G關于該運算作成一個群。定義（第二定義）：稱G關于該運算作成一個群。定義（第三定義）：稱G關于該運算作成一個群。定義：定義：一個群叫做有限群，假如這個群的元的個數(shù)是

27、一個有限數(shù)不然的話，這個群叫做無限群定義：一個群叫做交換群（Abel群），假如 對于 的任何兩個元 ， 都成立例1：例3：例5：例6：推論1群中消去律成立 若 ，那么 ； 若 ，那么 #1群中元素的階定義1： 群 的一個元素 ,使得的最小的正整數(shù) 叫做 的階若是這樣的一個 不存在，我們說， 是無限階的的階用符號 表示注 (1) 當 為加群時,其運算記為加法,單位元為0,則的最小正整數(shù)為元素a的階。(3) 群的階和元素的階不是一回事.(2) 例1：例2：（反例P43）3子 群 討論子對象是一個常用的代數(shù)方法.我們看一個群 假如由 里取出一個非空子集 來，那么利用 的乘法可以把 的兩個元相乘對于這

28、個乘法來說， 很可能也作成一個群定義1一個群 的一個非空子集 叫做 的一個子群，假如 對于 的乘法來說作成一個群, 用符號 表示 群 ，則 至少有兩個子群： ； 只包含單位元 的子集（平凡子群）定理2： 一個群 的一個非空子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件是：（）（）證明充分性：1）由于（）， 是閉的；2）結合律在 中成立， 在中自然成立；3）因為 至少有一個元 ，由（）， 也有 元 ，所以由（），4）由（），對于 的任意元 來說， 有 元 ，使得必要性顯然成立定理3:一個群 的一個非空子集 作成 的一個子群的充要條件是：（） 證明 I. 我們先證明，（）和（）成立，（）就也成立 假定 ， 屬于 ，由（）， ，由（）， II.現(xiàn)在我們反過來證明，由（）可以得到（）和（） 假定 由（）， ，于是 （）成立假定 ， 由剛證明的， ；由（）， ,即 (i) 成立 #例1： 一個群 的一個非空有限子集 作成 的一個子群的充要條件是：容易證明: , ,定義3：設A，B是群G的兩個非空子集,規(guī)定證明: 設H是G的子