大地測量學基礎(chǔ)-7分解

1、第七章橢球面上的測量計算 7-1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系一、地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球參考橢球具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地 球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測元素都應歸算到參考橢球面上，并在該面上進行計 算，它是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關(guān)元素：O為橢球中心；NS為旋轉(zhuǎn)軸；a為長半軸；b為短半軸；子午圈（或 徑圈或子午橢圓）；平行圈（或緯圈）；赤道。旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)（元素）來決定的，即: TOC o 1-5 h z 橢圓的長半軸：a橢圓的短半軸：ba-hQf -橢圓的扁率：a二

2、八2橢圓的第一偏心率a,_ 5/6Z2 b橢圓的第二偏心率。=一衛(wèi)一其中：a、b稱為長度元素；扁率 反映了橢球體的扁平程度，如a=o時，橢球變?yōu)榍蝮w； a=l時，那么為平面。e和e是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比,它們也反映了橢球體的 扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。五個參數(shù)中，假設(shè)知道其中的兩個參數(shù)就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應已 知一個長度元素（如a或b）,人們習慣于用a和 a 表示橢球的形狀和大小，為了便 于級數(shù)展開。引入以下符號：a2C = T ttgB T；2 = er2 cos2 B式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點處的子午線曲率半徑），兩個常用的輔助函數(shù),

3、 W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)，W = l-e2sm2 BV = 71 + e2cos2B橢球參數(shù)年代長半徑m扁率分母采用國家、地區(qū)海福特19066378283297.8美、阿根廷、比 利時、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3蘇、東歐、中、 朝鮮等1975年大地坐 標系19756378140298. 2571975年國際第 三個推薦值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系統(tǒng)也就是說，卯酉圈曲率半徑恰好等于橢球面和短軸之間的一段法線的長度，亦即 卯酉圈的曲率中心位于橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。上述M和N是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，在微分幾何中統(tǒng)稱為主

4、曲率半徑。三、主曲率半徑的計算P12四、任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為00或1800；卯酉法截弧是東西方向，其方位 角為900或2700,這兩個法截弧在P點上是正交的?，F(xiàn)討論在P點方位角為A的任意法截 弧的曲率半徑計算公式。根據(jù)歐拉公式，由曲面上任意一點主曲率半徑計算該點任意方位角A的法截弧的1 cos2 A sin2 A=+曲率半徑的公式為：口人RaMNN cos1 A+ Af sin2 A=V2 =1+7/2RaRa那么有,l + z/2 cos2 A 1 + e2 cos2 75cos2 A上式即為任意方向為A的法截弧的曲率半徑的計算公式。為使用方便，將上式展 開級

5、數(shù)，Ra = NQ 口2 cos2 A + zy4 cos4 A L )N = 7?J1 + 77 Z?(l + - 772 )實際上，總是用平均曲率半徑R代替N,24R一e2 cosBcos2A = 7? + A 2R一e2 cosBcos2A = 7? + A 2并代入上式，略去項得,Ra = /?(1 + -772)(1-72cos2 A) = R RA =e2 cos5cos2A2上式即為任意方向法截弧曲率半徑的實用公式。從式中可以看出，不僅與點的緯 度B有關(guān)，還與過該點的法截弧的方位角有關(guān)。五、平均曲率半徑由于 對 的數(shù)值隨方位A的變化而變化，給測量帶來不便，在測量工作中，往往根據(jù)一

6、定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當作球面來處理，為此，就要推求該球 面的曲率半徑一平均曲率半徑(就是過橢球面上一點的一切法截弧(02 ),當其數(shù)目趨于無窮時，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，用R表示)。其公式為寵=6的即橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率 半徑N的幾何平均值。六、M、N、R的關(guān)系橢球面上某一點的M、N、R值均是自該點起沿法線向內(nèi)量取，其長度通常是不相 等的，由前面公式可知它們有如下關(guān)系，NRM只有在極點上，它們才相等，且均等于極曲率半徑c,即：N% =尺90 = Mo = C74橢球面上的弧長計算在研究與橢球有關(guān)的一些測量計算時，例如研究

7、高斯投影計算，往往要用到子午 線弧長及平行圈弧長，現(xiàn)推導其計算公式。一、子午線弧長計算公式子午橢圓的一半，其端點與極點相重合。而赤道又把子午線分成對稱的兩局部， 因此，我們只推導從赤道開始到緯度B子午線弧長的計算公式。積分后得由赤道至子午線上某點的子午弧長公式：X = 6/(1 e1) Asin 2 + - sin-Lp 24二、由子午線弧長求大地緯度利用子午線弧長反算大地緯度在高斯投影坐標反算公式中要用到，反算公式可以 采用迭代法和直接解法。公式參考教材P20。三、平行圈弧長公式旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個圓，其半徑就是圓上任意一點的子午面直角坐標X,r x N cos B =acosB如果平行

8、圈上有兩點，其經(jīng)差 / = 4 - 4,可寫出平行圈弧長公rS = NcosB式：P四、子午線弧長和平行圈弧長變化的比擬從表中可以看出，單位緯差的子午線弧長隨B的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差 的平行圈弧長那么隨B的增大而急劇縮短。同時還知，子午弧長1。約為HOKM,約為 1.8KM, 1約為30M；而平行圈弧長僅在赤道附近才與子午線弧長大體相當，隨著B的增 大它們的差值愈來愈大。五、橢球面梯形圖幅面積的計算B?Bi由兩子午線和兩條平行圈圍成的橢球外表稱為橢球面梯形?，F(xiàn)在我們來討論橢球 梯形面積的計算，計算公式如下：P = bL2-Li)234sin5 + / sin3 B + e4 sin5

9、B + e6 sin7 B+K357地球橢球的全面積:2PE = 47rb2 (1 + e2 7-5大地線一、相對法截線二、大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線） 另有這樣的定義“大地線上每點的密切面（無限接近三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的曲 線法線”亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故 大地線是一條空間的曲面曲線。.假如在橢球模型外表A、B兩點之間，畫出相對法截線，然后在A、B兩點上各插 一個大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間 沒有磨擦力。那么橡皮筋形成一條曲線，恰好

10、位于相對法截線之間，這就是一條大地線，由 于橡皮筋處于拉力之下，故它實際上是兩點的最短線。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的兩點的正反法截線是不重合的，它們之間 的夾角，在一等三角測量中可達千分之四秒，可見此時是不容忽視的。大地線是兩點間唯 一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為e 1A5 = A3在一等三角測量中，數(shù)值可達千分之一二秒，可見在一等或相當于一等三角測量 精度的工程三角測量中是不可忽視的。大地線與法截線長度之差只有百萬分之一毫米，所以在實際計算中，這種長度差 異可以忽略不計。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)可知，在橢球面上進行測量計算時，應以兩點 間的大地

11、線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等應歸算到相應大地線的方向、距離。 三、大地線的微分方程和克萊洛（克萊勞）方程設(shè)P為大地線上任一點，其經(jīng)度為L,緯度為B,大地方位角為A,當大地線增長 dS至!|P1點時，那么上述各量相應變化L+dL, B+dB, A+dAo對應于PP1的過P點的平行 圈變化為PP2, PP1P2為一橢球面直角三角形，由于該三角形無限小，可視為平面三角形, 因 MdB = dS cos A 克萊勞方程：Insin A + lnr = InC或 r - sin A = C式中c也叫大地線常數(shù)，該式即為著名的克萊洛方程，也叫克萊洛定理。它說明: 在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈

12、半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等 于常數(shù)?？巳R洛方程在橢球大地測量學中有重要意義，它是經(jīng)典的大地主題解算的基礎(chǔ)。某一大地線常數(shù)等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時的大地方位角的正弦乘積，或 者等于該大地線上具有最大緯度的那一點的平行圈半徑。 1-6將地面觀測的方向值歸算到橢球面參考橢球面是測量計算的基準面，而野外的各種測量工作都是在地面上進行的， 測站點和照準點一般都超過參考橢球面一定高度，觀測的基準線不是各點相應的橢球面的 法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線間存在著垂線偏差，因此，也就不能直接在地 面上處理觀測成果，而應將地面觀測元素（方向和距離）歸算至橢球面上。在歸算中有兩條基

13、本要求：（1）以橢球面的法線為基準；（2）將地面觀測元素化 為橢球面上大地線的相應元素。一、將地面觀測的水平方向歸算至橢球面-三差改正將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣 上稱此三項為三差改正。.垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上那么要求以該點的 法線為依據(jù)。因此在每三角點上，把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線 為依據(jù)的方向值而應加的改正定義為垂線偏差改正。垂線偏差的計算公式為：3： =CsinAm77cos AJagZ=一(J sin 4 _ 77cos Am )tga.標高差改正標高差改正又稱由照準點高度引起

14、的改正。我們知道，不在同一子午面或不在同 一平行圈上的兩點的法線是不共面的。因此，當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢 球面某一高度，那么照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差 的改正稱標高差改正以5/， 表示。A為測站點，假設(shè)測站點觀測值已加垂線偏差改正，那么可認為垂線與法線一致。這時 測站點在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因為測站點 法線不變，那么通過某一照準點只能有一個法截面，為此我們設(shè)A在橢球面上。標高差改正的計算公式為:式中B2為照準點大地緯度，A1為測站點至照準點的大地方位角；H2為照準點高 出橢球面的高程，它由三局部組成：常

15、 + J + “H常為照準點標石中心的正常高，自為高程異常，a為照準點的覘標高。其中2=夕/，河2是照準點緯度B2相應的子午圈曲率半徑。實用中為計算方便，設(shè)K=凡2 cos2 51N / Z乙那么（7-163）式變?yōu)?可=& sin 2AlKl在測量計算用表集（之一）中有表列數(shù)值，以照準點的高程H2 （單位米）和照準點 緯度B2為引數(shù)查取。由上可知，標高差改正主要與照準點的高程有關(guān)。經(jīng)此項改正后，便 將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應的法截弧方向。.截面差改正3g在橢球面上，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在橢球面上，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在對向觀測時相對法截弧不重合，

16、應當用兩點間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧 方向化為大地線方向應加的改正叫截面差改正，用且 表示。截面差改正計算公式為n式中S為AB間大地線長度，2為測站點緯度B1相對應的卯酉圈曲率半徑。.三差改正的計算為了在內(nèi)業(yè)計算時不影響外業(yè)觀測精度，各等三角測量在歸算時對取位的要求是 不同的。按作業(yè)中的有關(guān)規(guī)定：一等需算至0.001/；二等為0.01；三等和四等為0.1/。在一般情況下，一等三角測量應加三差改正；二等三角測量應加垂線偏差改正和 標高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正，但當或H2000m時，那么應分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。即對特殊情況應依 測區(qū)實際情況

17、具體分析，然后再確定是否加入三差改正。經(jīng)過三差改正后，最后得到橢球 面上相應的各大地線的方向值。4= 10二、將天文方位角歸化為大地方位角起始方位角將天文方位角歸化為大地方位角的計算公式是:A =戊 一 ( - L) sin o + 乩式中A為測站點到照準點的大地方位角，a為測站點處相應方向的天文方位角；L為測站 點的大地經(jīng)度；入為測站點的天文經(jīng)度；”為測站點的天文緯度；久為垂線偏差改正數(shù)。當照準點目標高度不大時，天頂距Z接近于900時，3 可勿略不計，因此上式可寫為:A = a (A L) sin cp該式又稱為拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角點上觀測天文經(jīng)度、天文緯度時

18、，該點叫拉普拉斯點。三、觀測天頂距受垂線偏差影響的改正用三角高程方法測定相鄰三角點的大地高差時，在三角點P1和P2上必須進行天=cosA + “sin A將地面觀測的長度歸算到橢球面根據(jù)測邊使用儀器的不同，地面長度的歸算可分為兩種：一是基線尺量距的歸算;二是電磁波測距的歸算，現(xiàn)分別進行研究。一、基線尺量距的歸算將基線尺測量求得的長度加入尺段傾斜改正后，可認為它是基線平均水準面上的 長度值，用SO表示。而我們所求的是橢球面上的大地線的長度S,因此產(chǎn)生了長度歸算問 題。.垂線偏差對長度歸算的影響由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準面不平行于橢球面。為此在 長度歸算中應首先消除這種影響。假

19、設(shè)垂線偏差沿基線是線性變化的，那么垂線偏差U對長 度歸算的影響式是：“2夕021.高程對長度歸算的影響二、電磁波測距的歸算此式即為電磁波測距的歸算公式。式中大地高H由兩項組成：一是正常高，一是 高程異常。為保證S的計算精度不低于10-6級，當D10KM時，高差Ah=H2-H1的精度必 須達0.1m;當DX0KM時，必須達1m。大地高H本身的精度應達5m級，而平均曲率半徑RA 達1公里即可?，F(xiàn)對上式進一步簡化如下1 A/z22 D1 A/z22 D“二（”+乩）式中2-顯然，上式右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項。經(jīng)過此項改正，測線已變成平距；第三項是由于平均測線高出參考橢 球面而

20、引起的投影改正，經(jīng)過此項改正后，測線已變?yōu)橄揖€；第四項那么是由弦長改化為弧長 的改正項。（7-177）式也可用下式表達：S = 7d2-AA2（1 -壇）+&24用式中第一項顯然是經(jīng)高差改化后的平距。將以上兩式同（7-177）式相比擬，我們便得兩點間的弦長為,（1+誓）（1+誓）此式在某些運算中有時用至IJ。經(jīng)過以上各項改正的計算，即將地面上用電磁波測距儀測得的兩點間的斜距化算到 參考橢球面上。 7-8橢球面上三角形的解算前面幾節(jié)的方法可以將地面上的方向、起始邊長及起始方位角歸化到橢球體面， 從而得到橢球面上由大地線組成的三角形。該網(wǎng)中少數(shù)的起始邊是的，但其余各邊長 度是未知的，因此需通過三角

21、形的解算求得。一、用勒讓德爾定理解算球面三角形橢球面上的三角形是由大地線組成的，而大地線是一條空間曲線，該曲線上每一 點處的曲率半徑各不相同，因此三角形解算就變得十分復雜了。經(jīng)研究說明：半徑為140KM 范圍內(nèi)的橢球面可當作球面上的一局部看待，球的半徑可選擇為三個曲面接觸點的平均曲 率半徑。假設(shè)在半徑為140KM的圓內(nèi)繪一內(nèi)接等邊三角形，那么每邊的長度為240KMo這就是說, 當三角形邊長小于240KM時，就可把它當作球面三角形解算，兩者對應的邊長相等，對應 角之差小于0.001。國家一等三角形的平均邊長在25KM左右，所以將其當作球面三角形來解算精度完全可以保證。大地測量學基礎(chǔ)勒讓德爾定理:

22、如果平面三角形和球面三角形對應邊相等，那么平面角等于對應球面角減去三分之一球面角超。設(shè)球面三角形Al。的三邊為 ahc角超為 8 ;另一平面三角形44cl ,其三邊也為 ahc ,但它們的角度與球面三角形的對應角度有如下關(guān)系：a an n * _ &A = 4 -B =B0-cx = c0 -即如果球面三角形的各角減去三分之一球面角超，就可得到一個對應邊相等的平 面三角形，從而到達解算球面三角形的目的。二、球面角超計算球面角超的計算公式為：S為平面三角形的面積。球面角超定義：= A + B + C-18O0 be sin AP 92R2 be sin AP 92R2,ac sin B p 二L

23、 P 二2R2ab sin C,27?2P設(shè)：于二J2R2f值可以以緯度為引數(shù)，在專門的數(shù)表中查取。e = / hesin A = /-6zcsinB1 = f absin C化算平面角需要用球面角超，而球面角超的計算又需要用平面角，因此可直接用 球面角代替平面角計算球面角超，雖然帶有誤差，但研究說明：當邊長不大于90km時，這 種誤差小于0.0005，可忽略。三、球面三角sin。_ sinb _ sine1、正弦公式 sin A sinB sinC2、余弦公式cos c = cos a cos Z? + sin a sin b cos C cos a - cos b cos c + sinb

24、 sin c cos A cos/? = cos c cos a + sin c sin a cos B cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cosC = - cos A cos B + sin A sin B cos c我國1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標系應用的是1975年國際橢球參數(shù)，而GPS應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。二、地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系1-a1b2b2(l-e2)(l + er2) = l，2于是有e2e1

25、l + e2關(guān)系式歸納如下b = al-e2-e2 = e，l + e2,e1V = Wl + e2,e2 -2a-a1 x 2a 7-2橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系通常采用以下四種坐標系：大地坐標系、空間直角坐標系（大地測量中兩種基本 坐標系）、子午平面直角坐標系及大地極坐標系。一、各種坐標系的建立1大地坐標系P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點大地經(jīng)度，P點的 法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示。假設(shè)點不在橢球面上，還要附加另一參數(shù)大地高H,它與正常高及正高的關(guān)系為：H = H正常+。（高程異常）H = H正+ N（大地水準面差跑假設(shè)

26、點在橢球面上，H=0o大地坐標系是大地測量的基本坐標系，其優(yōu)點為：它是整個橢球體上統(tǒng)一的坐標系，是全世界公用的最方便的坐標系統(tǒng)。它與同一點的天文坐標（天文經(jīng)緯度）比擬, 可以確定該點的垂線偏差的大小。2、空間直角坐標系以橢球中心。為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標系O-XYZ,在該坐標系中，P點的位 置用X、Y、Z表示。.3、子午面直角坐標系設(shè)P點的大地經(jīng)度為L,在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x, y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L, x, y表示。4、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系如圖7-5

27、所示。設(shè)橢球面上P點的大地經(jīng)度L,在此子午面上以橢圓中心0為原點 建立地心緯度坐標系。連接0P,那么NPOx二稱為地心緯度，而OP=p稱為P點向徑，在此 坐標系中，點的位置用L、p表示。圖7-5圖7/幻燈片11如圖7-6所示，設(shè)橢球面上P點的大地經(jīng)度為L,在此子午面上以橢圓中心。為圓心，以橢 球長半徑a為半徑作輔助圓，延長P2P與輔助圓相交于P1點，那么0P1與x軸夾角稱為P點 的歸化緯度，用u表示，在此歸化緯度坐標系中P點位置用L, u表示。在這兩種坐標中，如果點不在橢球面上，那么應先沿法線將該點投影到橢球面上, 此時的地心緯度、歸化緯度那么是此投影點的緯度值，并且增加坐標的第三量大地高H。

28、子午面直角坐標系及地心緯度、歸化緯度坐標系主要用于大地測量公式推導和某 些特殊的測量計算。.5、大地極坐標系M為橢圓體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地 極坐標系。P點位置用S、A表示。橢球面上的極坐標（S、A）與大地坐標（L、B）可以互相換算，這種換算叫大 地主題解算。二、各種坐標系間的關(guān)系同B的關(guān)系。.子午面直角坐標系同大地坐標系的關(guān)系 這兩個坐標系中，L相同，因此，只需推求過P點作法線Pn,與x軸之夾角為B,過P點作子午圈的切線TP,與x軸的夾 角為（900+B）。該夾角的正切

29、值為曲線在P點處之斜率，它等于曲線在該點的一階導數(shù)。dydx=tg (90 + 6) = -ctgBP點在以O(shè)為中心的子午橢圓上，必須滿足: TOC o 1-5 h z 2匚+”=1a2 b2對X求導，得： HYPERLINK l bookmark124 o Current Document dyb2 HYPERLINK l bookmark126 o Current Document dxa1同（771）式比擬可得:xo x=(1-e )yy)2 ctgB =- a因此：y = x(l-e2)tgB上式代入(7-12),且用 a1 cos2 B乘上式兩邊，得:x2 cos2 B + (l e

30、2) sin2 b = a2 cos2 B或x2(l -e2 sin2 B) = a1 COs2 B由此可得：acosB acosB71-e2 sin2 B 卬7-16上式代入(774)式得:6z(l -e )sinB a 9 bsinB y = i = = (1-e ) sin B =1-e2 sin2B 卬V7-17(716)(717)兩式即為子午面直角坐標x、y同大地緯度B的關(guān)系式。2、空間直角坐標系與子午面直角坐標系的關(guān)系注意到圖7-3與圖7-4,空間直角坐標系中的P2P相當于子午平面直角坐標系中的 y,相當于x,且兩者之經(jīng)度相同，于是可得：X = xcosLK = xsinLZ =

31、y3、空間直角坐標系與大地坐標系的關(guān)系將(718)(720)兩式代入(724)式可得:X = N cos B cos L Y = Ncos B sin L Z = N(l e2)sin3假設(shè)將(7-16)(7-17)兩式代入上式，那么“ acosB rX =COSLW acosB . rY =sin LW_ bsinBZ =V設(shè)大地高為H, P點在橢球面上的投影為，那么矢設(shè)大地高為H, P點在橢球面上的投影為，那么矢假設(shè)p點不在橢球面上，如下圖。量為p = Po + Hn因為：p。cos B cos N cos 5 sin L(l-e2)sin B且外法線單位矢量cos B cos L n =

32、 cos B sin Lsin 8因此有:(N + H)cosBcosL(N + )cosBsinn(1 /)+ sin3該式展開即可得到由B、L、H計算X、Y、Z的公式。P點的空間直角坐標計算相應的大地坐標，對大地經(jīng)度L有：L=*云YxL = arcsin / . L = arccos、=Jx2 + y2或改+片大地緯度B的計算比擬復雜，通常采用迭代法進行計算，如下圖:PP0P”PP”=Z=叱 +Y?=0KP = Ne2 sin B 0Q= Ne2 cos3由圖可知n Z + Ne2smB ylX2+Y2ctgB =ctgB =Vx2+r2 -Ne1CQsBz tgB,= .1 Vx2 +

33、r2上式兩端都有B,需進行迭代計算，迭代計算時，B的初值B1由式確定，用B的初值計算出N1和sinBl,按(7-32)式進行第二次迭代，直到最后兩次B值之差小于允許誤差為止。當B時，按下式計算大地高：H =NQ-a)sin BH = ylx-+Y2 _NcosB由于7-32式左右兩端具有不同的三角函數(shù)，這對于迭代很不方便，為克服這一缺 陷，建議采用下面的迭代公式：Pti %+T =+ /,4 k +1；式中：ce2收+丫2 P +。2，2=l + e24、大地緯度B,歸化緯度u,地心緯度中之間的關(guān)系B與u之間的關(guān)系4、大地緯度B,歸化緯度u,地心緯度中之間的關(guān)系B與u之間的關(guān)系 J1 -j R sin u sin BWcosw = cosB W 2) u與之間的關(guān)系sin B = V sin ucos B = W cos utan =a/1-tan =a/1-e2 tan u7-36由微分三角形DKE可得:dS = -sin B_ -dxsinB3) B與之間的關(guān)系tan =(l-e2)tan B 7-3橢球面上的幾種曲率