充分感知積累表象理解本質(zhì)(共5頁(yè))

1、PAGE PAGE 8充分感知 積累表象(bioxing) 理解本質(zhì)源于一道平行四邊形特性(txng)試題的思考【摘 要】2012年，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿終于面世，他帶著課改十年來(lái)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)重新步入(b r)廣大教師的視野。他指出，在數(shù)學(xué)課程中要注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力等。因此，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該順應(yīng)發(fā)展，把握時(shí)代要求，幫助學(xué)生積累過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)，真正掌握多視角的、有過(guò)程的、相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)，在積累豐富空間表象的基礎(chǔ)上發(fā)展空間觀念，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)?！娟P(guān)鍵詞】試題；平行四邊形特性；空間觀念；數(shù)學(xué)本質(zhì)；緣起在2012年四年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末檢測(cè)中，有一道考查學(xué)生關(guān)于平

2、行四邊形特性掌握程度的試題。當(dāng)我翻閱試卷，大范圍的錯(cuò)誤現(xiàn)象深深地刺痛了我的神經(jīng)。隨即，我便進(jìn)行了抽樣調(diào)查，可是調(diào)研的數(shù)據(jù)（正確率僅為19%）卻讓我陷入了沉思，它促使我重新對(duì)小學(xué)生空間觀念的發(fā)展進(jìn)行考量。我開(kāi)始翻閱教材和歷年的檢測(cè)卷，試圖對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)分析：到底是什么因素阻礙了學(xué)生思維的運(yùn)作，關(guān)于這個(gè)內(nèi)容學(xué)生能想到什么，學(xué)生怎么會(huì)想不到運(yùn)用平行四邊形特性的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題呢？教材解讀如圖，是人教版四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形特性”的教學(xué)過(guò)程。教學(xué)參考指出，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)物操作體會(huì)平行四邊形的不穩(wěn)定性。同時(shí)，也讓學(xué)生進(jìn)一步看到了平行四邊形和長(zhǎng)方形的聯(lián)系和區(qū)別。學(xué)生通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方形框架的操作，能夠體會(huì)：在拉動(dòng)

3、長(zhǎng)方形框架變?yōu)槠叫兴倪呅蔚倪^(guò)程中，平行四邊形具有易變性，容易變形；長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形；在拉到過(guò)程中，圖形的周長(zhǎng)不變，形狀、面積發(fā)生了變化。同時(shí)，這也能夠幫助學(xué)生以后進(jìn)一步體會(huì)三角形的穩(wěn)定性；更重要的是，這是學(xué)生以后學(xué)習(xí)平行四邊形面積，破解“平行四邊形面積不等于鄰邊乘鄰邊”的有利證據(jù)。因此，該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)意義重大。另外，在“拉動(dòng)”過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)：“改變平行四邊形的位置（呈傾斜狀）然后向相反方向拉”與“在平放狀態(tài)下向相反方向拉”所產(chǎn)生的教學(xué)效果是不一樣的。因?yàn)?，?duì)于四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們關(guān)于“位置”和“形狀”兩個(gè)概念的理解存在偏差，有所混淆（見(jiàn)調(diào)查表）。試題分析經(jīng)檢索，我將本市自2008年至

4、2012年的小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)卷中的此類(lèi)試題（其中2009年、2011年未涉及此知識(shí)點(diǎn)）作為問(wèn)題研究的對(duì)象，借此進(jìn)一步分析近年來(lái)課程改革對(duì)于培養(yǎng)小學(xué)生空間觀念提出的新要求。例1：把一個(gè)木制的平行四邊形框架拉成一個(gè)長(zhǎng)方形，（ ）A、周長(zhǎng)和面積都不變 B、周長(zhǎng)變了，面積不變C、周長(zhǎng)不變，面積變了D、周長(zhǎng)和面積都變了 （200801選擇）例2：把一個(gè)平行四邊形框架拉成長(zhǎng)方形，面積不變，周長(zhǎng)變大。（ ）（201001判斷）例3：用4cm、4cm 、7cm 、7cm 四根小棒可以搭（ ）個(gè)形狀不同的平行四邊形。A、1 B、2 C、無(wú)數(shù) （201201選擇）自2008年以來(lái)(yli)，試題的改變?cè)?/p>

5、一定程度上表明：不能簡(jiǎn)單地將“拉一拉”視為學(xué)生(xu sheng)已經(jīng)理解了平行四邊形的易變性，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程缺少思維含量。另外，這樣的操作也不利于學(xué)生充分理解它與長(zhǎng)方形之間的密切聯(lián)系；學(xué)生不僅要根據(jù)(gnj)操作經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言描述或通過(guò)想象得到圖形，還要能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析圖形的變化以及與相關(guān)圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；教師要通過(guò)各種手段強(qiáng)化學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的“第一印象”，使學(xué)生對(duì)幾何圖形的特征、性質(zhì)有充分的感知與理解；當(dāng)然，從試題的發(fā)展中我們也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解決問(wèn)題的要求在逐步提高。在以往教學(xué)中，我將此知識(shí)點(diǎn)作為重點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，效果也盡如人意。但是，19%的出現(xiàn)卻成了心中的一種隱痛。因

6、此，我對(duì)隨機(jī)抽樣的四年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行了深入的試題分析與學(xué)生訪談，結(jié)果如下：201201試題分析表（樣本：100人）試題選項(xiàng)比例典型思路原因分析用4cm、4cm 、7cm 、7cm 四根小棒可以搭（ ）個(gè)形狀不同的平行四邊形。A、127%生1：我覺(jué)得不管怎么搭都是邊長(zhǎng)為4、4、7、7的平行四邊形。平行四邊形對(duì)邊相等的概念深入學(xué)生心中，在強(qiáng)烈的數(shù)據(jù)刺激下，學(xué)生輕視了形狀的變化。生2：因?yàn)槲矣X(jué)得不可能是無(wú)數(shù)個(gè)，我畫(huà)出了一個(gè)，轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去（轉(zhuǎn)紙）就這么一個(gè)。學(xué)生思維定勢(shì)，對(duì)于形狀不同有自己“獨(dú)特的”觀點(diǎn)，概念理解存在偏差。生3：我搭的是長(zhǎng)方形，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)還是長(zhǎng)方形。學(xué)生在思考形狀不同時(shí)并不是很深入，對(duì)平行

7、四邊形的嘗試并不完善。B、254%生1：我畫(huà)了一個(gè) ，然后把它反著豎起來(lái)過(guò)來(lái) ，所以是兩種。學(xué)生認(rèn)為形狀不同就是位置不同，對(duì)“形狀不同”的理解存在明顯偏差。（注：調(diào)查中學(xué)生人數(shù)最多。）生2：我想到了一個(gè)平行四邊形和一個(gè)長(zhǎng)方形。學(xué)生搭出了這兩個(gè)圖形，從形狀不同的思考說(shuō)明學(xué)生已關(guān)注了長(zhǎng)方形和平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系。生3：我想到了一個(gè)平行四邊形，拉到另一個(gè)平行四邊形，所以是兩種。學(xué)生體會(huì)到平行四邊形的易變性，但是缺少對(duì)拉動(dòng)過(guò)程中各種圖形的分析，缺少變化的圖形表象。C、無(wú)數(shù)19%生1：四根小棒搭一個(gè)平行四邊形，有的大，有的扁，所以有無(wú)數(shù)個(gè)。學(xué)生通過(guò)畫(huà)出不同的形狀平行四邊形來(lái)分析問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生的思維需要

8、形象的支撐。生2：先搭一個(gè)平行四邊形，然后角度斜一下就行了，這樣就有無(wú)數(shù)個(gè)。學(xué)生對(duì)于平行四邊形的易變性理解地十分透徹，在頭腦中留下了明顯的表象，還能夠通過(guò)推理來(lái)解決問(wèn)題。生3：我畫(huà)了一下，比2個(gè)多，所以有無(wú)數(shù)個(gè)。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖解決了問(wèn)題，但沒(méi)有真正明白“無(wú)數(shù)”的含義，即學(xué)生對(duì)“無(wú)限”的理解是有難度的。從表中可見(jiàn)：學(xué)生能夠通過(guò)操作、想象畫(huà)出平行四邊形（包括長(zhǎng)方形），這和學(xué)生這一學(xué)期的知識(shí)經(jīng)歷有關(guān)；大部分學(xué)生對(duì)于“形狀不同的平行四邊形”的理解存在偏差，即對(duì)圖形的形狀和圖形的位置兩個(gè)概念有所混淆，是造成錯(cuò)誤的主要原因；通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解決此問(wèn)題是學(xué)生主要的解題策略，合理推理也是一種有效的途徑，但這只是個(gè)別學(xué)

9、生的“專(zhuān)利”；學(xué)生不能運(yùn)用平行四邊形的易變性來(lái)解決問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生對(duì)“容易變形”理解不深入，心中缺少表象支撐，思維還不夠靈活。另外，相關(guān)數(shù)據(jù)信息的強(qiáng)刺激、較明顯要素的影響也給學(xué)生解題造成了干擾。綜上分析(fnx)，學(xué)生(xu sheng)并沒(méi)有(mi yu)完全理解、掌握平行四邊形的易變性?？臻g想象能力的缺失導(dǎo)致學(xué)生的知識(shí)形成過(guò)程出現(xiàn)斷層，缺乏必要的表象支撐使得學(xué)生思維基礎(chǔ)脆弱。當(dāng)然，這與學(xué)生缺少“應(yīng)用平行四邊形的易變性解決問(wèn)題或分析生活現(xiàn)象”的經(jīng)歷也有關(guān)系。同樣，教材也只提出了一個(gè)研究問(wèn)題“說(shuō)一說(shuō)日常生活中運(yùn)用平行四邊形容易變形這一性質(zhì)的例子?！币蚨覀兊慕虒W(xué)決不能浮于表面的“拉一拉”，要更

10、多地幫助學(xué)生借助操作或想象理解“平行四邊形容易變形，在拉動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生無(wú)數(shù)種形狀?！苯虒W(xué)建議培養(yǎng)小學(xué)生的空間觀念，不僅要強(qiáng)化學(xué)生的操作與想象，使其充分感知對(duì)象的特點(diǎn)，給學(xué)生留下充足的思考經(jīng)驗(yàn)，還應(yīng)該提倡學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”，實(shí)現(xiàn)操作、語(yǔ)言和思維的統(tǒng)一，幫助學(xué)生真正理解概念的核心。根據(jù)教材與試題的分析，筆者提出兩方面的教學(xué)建議，與大家共同商榷。一、關(guān)于教師方面的建議第一，深入挖掘教材深度與廣度，讓學(xué)生“拉”得有價(jià)值。由于學(xué)生在三年級(jí)就認(rèn)識(shí)了平行四邊形，知道了它的基本特征：平行四邊形對(duì)邊相等。因此，本知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)起點(diǎn)可定為“想一想平行四邊形有什么特點(diǎn)？然后選擇合適的小棒，搭出你心中的平行四邊形。拉一拉，

11、你發(fā)現(xiàn)了什么？”然后，學(xué)生從提供的、長(zhǎng)度不一的幾種小棒中（如1cm、2cm、4cm、8cm各3根）選擇四根搭出平行四邊形，教師相機(jī)反饋以下三個(gè)層次的問(wèn)題：層次1.為什么同學(xué)們搭出了不同形狀的平行四邊形？層次2.為什么有些同學(xué)選擇了長(zhǎng)度不一樣的小棒，卻搭出了形狀相同的平行四邊形？層次3.為什么有些同學(xué)選擇了長(zhǎng)度一樣的小棒，卻搭出了形狀不同的平行四邊形？通過(guò)以上3個(gè)問(wèn)題主要解決：選擇的小棒長(zhǎng)度不同，搭出的平行四邊形（形狀、大小）自然也不同，這樣的起點(diǎn)符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律；選擇的小棒長(zhǎng)度不同，只要鄰邊的角度相同，搭出的平行四邊形的形狀就可能相同；選擇的小棒的長(zhǎng)度相同，由于鄰邊的角度不同，搭出的平行

12、四邊形的形狀就可能不同。接著，以“誰(shuí)有本領(lǐng)利用手中的平行四邊形變出其他的平行四邊形？”從而，逐步揭示平行四邊形容易變形，具有易變性。這樣，學(xué)生通過(guò)選、搭、拉三個(gè)過(guò)程，對(duì)平行四邊形的特征、性質(zhì)和變化有了較為豐富、全面的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，教師在展示過(guò)程中，要有意識(shí)地通過(guò)變式將“位置”與“形狀”兩個(gè)概念作適當(dāng)?shù)膮^(qū)分，防止學(xué)生形成“形狀不同就是位置不同”的錯(cuò)誤觀念。最后，教師適當(dāng)拓展，以“如果給你5根小棒，你能搭出多少個(gè)形狀不同的五邊形呢？6根呢？”當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷想象之后，教師出示五邊形、六邊形學(xué)具，通過(guò)拉一拉進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)“易變性”的理解。這樣，也為以后學(xué)習(xí)三角形穩(wěn)定性埋下思維的種子。第二，類(lèi)比推理，明辨數(shù)

13、學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系。俗話說(shuō)，萬(wàn)變不離其宗。在溝通(gutng)長(zhǎng)方形與平行四邊形之間的聯(lián)系時(shí)，亦可在變中求不變。首先，在拉動(dòng)平行四邊形過(guò)程中，教師追問(wèn)“什么(shn me)變了，什么沒(méi)變？”學(xué)生(xu sheng)自然而然地明白“形狀、大小（面積）變了，周長(zhǎng)沒(méi)變?！比缓?，由一般到特殊，引導(dǎo)學(xué)生研究“從特殊位置的長(zhǎng)方形拉到平行四邊形（或者從平行四邊形拉到長(zhǎng)方形）是否也有這樣的關(guān)系呢？”此時(shí)，學(xué)生在推理的過(guò)程中牢牢抓住變化的核心，進(jìn)而明確兩者之間的聯(lián)系。第三，靜中有動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。學(xué)生通過(guò)實(shí)物操作對(duì)“面積變了，周長(zhǎng)不變”有了一定的認(rèn)識(shí)。但是，當(dāng)我們的教學(xué)脫離直觀，用語(yǔ)言描述呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)

14、生就好像 “忘了”。此時(shí)，教師要有機(jī)結(jié)合信息技術(shù)手段，輔以方格圖以及豐富的顏色，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化的演示、靜態(tài)圖形的展示來(lái)進(jìn)一步讓學(xué)生理解面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)變。同時(shí)，為五年級(jí)學(xué)習(xí)平行四邊形面積做合理地滲透。當(dāng)學(xué)生從實(shí)物直觀抽象到圖形直觀時(shí)，學(xué)生的思維水平也提高了，接著引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象變化過(guò)程來(lái)加深此知識(shí)點(diǎn)的理解。這樣由易到難、從局部到整體，動(dòng)靜相結(jié)合，使學(xué)生牢牢把握平行四邊形特性的本質(zhì)。第四，學(xué)以致用，讓學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)再次體會(huì)概念本質(zhì)。2012年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生獲得知識(shí)，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)接受學(xué)習(xí)的方式，也可以通過(guò)自主探索等方式；學(xué)生應(yīng)用知識(shí)并逐步形成技能，離不開(kāi)自己的實(shí)踐。有關(guān)

15、學(xué)者的研究也表明，小學(xué)生偏向于用日常語(yǔ)言來(lái)表征空間概念。因此，教師應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探索，思考、交流生活中平行四邊形易變性的應(yīng)用實(shí)例，幫助學(xué)生積累思考、分析、應(yīng)用數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深入體會(huì)容易變形的價(jià)值。二、關(guān)于學(xué)生方面的建議第一，提高學(xué)生將“抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題”向“經(jīng)驗(yàn)化問(wèn)題”轉(zhuǎn)化的能力。解決問(wèn)題是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程，要提高學(xué)生的解決問(wèn)題的能力，必須提升學(xué)生提取、加工、處理信息的能力。從而，使學(xué)生運(yùn)用元認(rèn)知將分解后的信息整合成自己已經(jīng)研究過(guò)的、經(jīng)歷過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)回憶、再現(xiàn)，逐步化歸到原有的知識(shí)基礎(chǔ)或生活經(jīng)驗(yàn)之中，進(jìn)而解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二，提供變式，提升學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性與創(chuàng)造性。學(xué)生可以搭

16、出平行四邊形，卻很難想到不同的平行四邊形，較難遷移到“斜”一點(diǎn)，就“變”出了無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形。由此可見(jiàn)，學(xué)生無(wú)法將“搭”與“拉”通過(guò)“畫(huà)圖”的方式聯(lián)系在一起，進(jìn)一步聯(lián)想到運(yùn)用平行四邊形特性來(lái)解決問(wèn)題?；蛟S，以上這三組變式的試題和教學(xué)的思路能夠給我們的教學(xué)帶來(lái)更多的活力，提高學(xué)生思維的靈活性和深刻性。第三，豐富學(xué)生感知，提升學(xué)生的推理能力。推理是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。修訂稿明確要求：教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類(lèi)比、畫(huà)圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力。正如學(xué)生所說(shuō)“先搭一個(gè)平行四邊形，然后

17、角度斜一下就行了，這樣就有無(wú)數(shù)個(gè)。”當(dāng)學(xué)生得到充分的感知體驗(yàn)之后，學(xué)生能自動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)化，猜測(cè)可能的結(jié)果，然后通過(guò)推理得到“無(wú)數(shù)個(gè)”的結(jié)論。當(dāng)然，發(fā)展學(xué)生的推理能力是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。因此，在教學(xué)時(shí)，教師可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求，培養(yǎng)學(xué)生思考的有序性、邏輯性，積累推理的經(jīng)驗(yàn)，為發(fā)展合情推理能力積蓄力量。啟示(qsh)小小的一道(ydo)試題讓我對(duì)“平行四邊形特性(txng)”有了更為深刻的反思，讓我清醒地認(rèn)識(shí)到：我們的教學(xué)應(yīng)該要深入挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的知識(shí)價(jià)值與思想價(jià)值，設(shè)計(jì)出揭示概念的核心的、有深度的、有廣度的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生從直觀操作中感知對(duì)象，然后運(yùn)用語(yǔ)言進(jìn)行表征，在心中烙下豐富的“看得見(jiàn)、摸得著、想得到、畫(huà)得下”的空間表象，給學(xué)生一個(gè)立體的、相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)。從此，學(xué)生在一個(gè)充滿觀察、操作、想象和推理的過(guò)程中，通過(guò)自己的方式刻畫(huà)圖形，提高空間直覺(jué)和推理能力，最終發(fā)展空間觀念。當(dāng)然，在這段漫長(zhǎng)的探索旅程中，我也明白了，想要使學(xué)生全面地掌握知識(shí)，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教師一定要從歷史的視角加強(qiáng)對(duì)習(xí)題的研究與開(kāi)發(fā)，只有不斷地摸索，才能從小試題中獲得大智慧。【參考文獻(xiàn)】1.中華人民共和國(guó)教育部制定，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版），北京師范大學(xué)出版社。2.朱德江，小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)策略與案例，北京師范大學(xué)出版社，2008