南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地試卷

1、2013屆南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地試卷 數(shù) 學(xué)I注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）本卷滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用05毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠

2、筆 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答卷紙的相應(yīng)位置上1 ,若對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限,則m的取值范圍為 2.已知全集，集合，則中最 大的元素是 3已知，若函數(shù)的最小正周期是2, 則 4.執(zhí)行以下語(yǔ)句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是: While 10End WhilePrint “”5已知函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間是 6在數(shù)軸上區(qū)間內(nèi)，任取三個(gè)點(diǎn)，則它們的坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式：的概率為 7P為拋物線上任意一點(diǎn)，P在軸上的射影為Q，點(diǎn)M（4，5），則PQ與PM長(zhǎng)度之和的最小值為： 8、設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列正確命題序號(hào)是 (1)若m,n,則mn， (2)若則(3)

3、若，且，則；(4)若，則9. 定義在上滿(mǎn)足:，當(dāng)時(shí)，=，則= 10.過(guò)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記，則當(dāng)最小時(shí) 11.如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個(gè) 數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：，則第行第3個(gè)數(shù)字是 12. 已知正方形的坐標(biāo)分別是,，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足： 則 13. “”是“對(duì)正實(shí)數(shù)，”的充要條件，則實(shí)數(shù) 14.函數(shù)的定義域?yàn)?若滿(mǎn)足在內(nèi)是單調(diào)函數(shù),存在,使在上的值域?yàn)?那么叫做對(duì)稱(chēng)函數(shù),現(xiàn)有是對(duì)稱(chēng)函數(shù), 那么的取值范圍是 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證

4、明過(guò)程或演算步驟15(本題滿(mǎn)分14分) 已知二次函數(shù)f (x)=x2+mx+n對(duì)任意xR，都有f (x) = f (2x)成立，設(shè)向量 eq o(sup6(),a)= ( sinx , 2 ) ， eq o(sup6(),b)= (2sinx , eq f(1,2)， eq o(sup6(),c)= ( cos2x , 1 )， eq o(sup6(),d)=(1,2)，（）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)x0,時(shí)，求不等式f ( eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)f ( eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)的解集.16(本題滿(mǎn)分14分)在如圖的

5、多面體中，平面，,，是的中點(diǎn)() 求證：平面；() 求證：；()求多面體的體積. 17(本題滿(mǎn)分14分) 已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為，為動(dòng)點(diǎn)，若（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）若，設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與軌跡交于、兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)試問(wèn)：當(dāng)直線在變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由18(本題滿(mǎn)分16分) 如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過(guò)細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A1，A2，A3。點(diǎn)C為上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A1，A2，A3，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA1，CA2，

6、CA3的長(zhǎng)度相等。設(shè)細(xì)繩的總長(zhǎng)為（1）設(shè)CA1O = (rad)，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)，當(dāng)角正弦值的大小是多少時(shí)，細(xì)繩總長(zhǎng)y最小，并指明此時(shí) BC應(yīng)為多長(zhǎng)。BA1A2COA319(本題滿(mǎn)分16分) 已知，數(shù)列有（常數(shù)），對(duì)任意的正整數(shù)，并有滿(mǎn)足。（1）求的值；（2）試確定數(shù)列是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式。若不是，說(shuō)明理由；（3）令，是否存在正整數(shù)M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說(shuō)明理由。20(本小題滿(mǎn)分16分) 已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式對(duì)一切都成立，求范圍；(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù)使，試問(wèn)：他的判斷是否正確；若正確，

7、請(qǐng)寫(xiě)出的范圍；不正確說(shuō)明理由數(shù)學(xué)（附加題）23【必做題】本題滿(mǎn)分10分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟1（矩陣與變換）求矩陣M=的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量.2. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).以O(shè)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.求橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值.二必做題 每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟3. 如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，AC，M是的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，且滿(mǎn)足.（）當(dāng)取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角最大？PNM

8、ABC（）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為，試確定點(diǎn)P的位置.4. 已知數(shù)列滿(mǎn)足：.（）求證：使；（）求的末位數(shù)字.數(shù)學(xué)參考答案1. 2. 3 3.1 4. 28 5.6.的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)在點(diǎn)之間，故考慮它們的排列順序可得答案為7. 解析：焦點(diǎn)=,而的最小值是 8. (3) (4) 9.2 10當(dāng)離圓最遠(yuǎn)時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：記，則，計(jì)算得= 11. ， 12.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 整理，得（），發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是橢圓，其焦點(diǎn)恰為兩點(diǎn)，所以13. 若則不符合題意，若則于是，亦可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立展開(kāi)討論。14.由于在上是減函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同實(shí)根。通過(guò)換元結(jié)合圖象可得15解；（1

9、）設(shè)f(x)圖象上的兩點(diǎn)為A(x,y1）、B(2x, y2），因?yàn)?eq f(x)(2x),2)=1 f (x) = f (2x)，所以y1= y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，x1時(shí)，f(x)是增函數(shù) ；x1時(shí)，f(x)是減函數(shù)。（2） eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)=（sinx，2）（2sinx, eq f(1,2)）=2sin2x11， eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)=（cos2x，1）(1,2)=cos2x21，f(x)在是1，+）上為增函數(shù)，f ( eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)f

10、( eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)f(2sin2x1) f(cos2x2) 2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2 cos2x02k2x2k,kzkxk, kz 0 x x綜上所述，不等式f ( eq o(sup6(),a) eq o(sup6(),b)f ( eq o(sup6(),c) eq o(sup6(),d)的解集是： x|x 。16解：()證明：，. 又,是的中點(diǎn)， ， 四邊形是平行四邊形， . 平面，平面，平面. ()證明：平面，平面， 又，平面，平面. 過(guò)作交于，則平面.平面， . ，四邊形平行四邊形，又，四邊形為正方形， 又平面，平面

11、,平面. 平面, . () 平面，平面， 由（2）知四邊形為正方形，. ， 17解法一：（）由題意知：，又，動(dòng)點(diǎn)必在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，又，橢圓的方程為（）由題意，可設(shè)直線為：取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上事實(shí)上，由，得即，記，則設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得，即與重合，這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上解法二：（）同解法一（）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上事實(shí)上，由，

12、得即，記，則的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上解法三：（）同解法一（）由，得即記，則的方程是的方程是由得即這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上18. （）解：在COA1中，BA1A2COA3， 2分=（）7分（）， 令，則 12分當(dāng)時(shí)，；時(shí)，在上是增函數(shù)當(dāng)角滿(mǎn)足時(shí)，y最小，最小為；此時(shí)BCm 16分19解：（1）由已知，得， （2）由得則，即，于是有，并且有，即，而是正整數(shù)，則對(duì)任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是。 （3）；由是正整數(shù)可得，故存在最小的正整數(shù)M=3，使不等式恒成立。20（1）定義域 在遞增，遞減（2）由題 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，數(shù)學(xué)（附加題）參考答案1解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為=.令得矩陣M的特征值為1和3 .當(dāng)所以矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為.當(dāng)所以矩陣M的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為.2解：直線l的普通方程為：，設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離為