important二階常系數(shù)線性微分方程的解法word版講課稿

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。important二階常系數(shù)線性微分方程的解法word版-第八章8.4講第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線形微分方程的概念形如(1)的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程.其中、均為實數(shù),為已知的連續(xù)函數(shù).如果,則方程式(1)變成(2)我們把方程(2)叫做二階常系數(shù)齊次線性方程,把方程式(1)叫做二階常系數(shù)非齊次線性方程.本節(jié)我們將討論其解法.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1解的疊加性定理1如果函數(shù)與是式(2)的兩個解,則也是式(2)的解,其中是任意常數(shù).證明因為與是方程(2)的解,所以有將代入方程

2、(2)的左邊,得=所以是方程(2)的解.定理1說明齊次線性方程的解具有疊加性.疊加起來的解從形式看含有兩個任意常數(shù),但它不一定是方程式(2)的通解.2.線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個函數(shù),若存在不全為零的常數(shù)使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有,則稱這n個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān),否則稱線性無關(guān).例如在實數(shù)范圍內(nèi)是線性相關(guān)的,因為又如在任何區(qū)間(a,b)內(nèi)是線性無關(guān)的,因為在該區(qū)間內(nèi)要使必須.對兩個函數(shù)的情形,若常數(shù),則,線性相關(guān),若常數(shù),則,線性無關(guān).3.二階常系數(shù)齊次微分方程的解法定理2如果與是方程式(2)的兩個線性無關(guān)的特解,則為任意常數(shù))是方程式(2)的通解.例如,是二階齊次線性方程,是

3、它的兩個解,且常數(shù),即,線性無關(guān),所以(是任意常數(shù))是方程的通解.由于指數(shù)函數(shù)(r為常數(shù))和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個常數(shù)因子,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的這個特點,我們用來試著看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù),使?jié)M足方程(2).將求導(dǎo),得把代入方程(2),得因為,所以只有(3)只要滿足方程式(3),就是方程式(2)的解.我們把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一個代數(shù)方程,其中的系數(shù)及常數(shù)項恰好依次是方程(2)的系數(shù).特征方程(3)的兩個根為,因此方程式(2)的通解有下列三種不同的情形.當(dāng)時，是兩個不相等的實根.,是方程(2)的兩個特解,并且常數(shù),即與線性無關(guān).根據(jù)定理2,得方程(2)的通解為當(dāng)時,是兩個

4、相等的實根.,這時只能得到方程(2)的一個特解,還需求出另一個解,且常數(shù),設(shè),即.將代入方程(2),得整理,得由于,所以因為是特征方程(3)的二重根,所以從而有因為我們只需一個不為常數(shù)的解,不妨取,可得到方程(2)的另一個解.那么,方程(2)的通解為即.當(dāng)時,特征方程(3)有一對共軛復(fù)根()于是利用歐拉公式把改寫為之間成共軛關(guān)系,取=,方程(2)的解具有疊加性,所以,還是方程(2)的解,并且常數(shù),所以方程(2)的通解為綜上所述,求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟如下:(1)寫出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的兩個根(3)根據(jù)的不同情形,按下表寫出方程(2)的通解.特征方程的兩個根方程的通

5、解兩個不相等的實根兩個相等的實根一對共軛復(fù)根例1求方程的通解.解:所給方程的特征方程為所求通解為.例2求方程滿足初始條件的特解.解所給方程的特征方程為通解為將初始條件代入,得,于是,對其求導(dǎo)得將初始條件代入上式,得所求特解為例3求方程的通解.解所給方程的特征方程為其根為所以原方程的通解為二、二階常系數(shù)非齊次方程的解法1.解的結(jié)構(gòu)定理3設(shè)是方程(1)的一個特解,是式(1)所對應(yīng)的齊次方程式(2)的通解,則是方程式(1)的通解.證明把代入方程(1)的左端:=使方程(1)的兩端恒等,所以是方程(1)的解.定理4設(shè)二階非齊次線性方程(1)的右端是幾個函數(shù)之和,如(4)而與分別是方程與的特解,那么就是方

6、程(4)的特解,非齊次線性方程(1)的特解有時可用上述定理來幫助求出.2.型的解法,其中為常數(shù),是關(guān)于的一個次多項式.方程(1)的右端是多項式與指數(shù)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)仍為同一類型函數(shù),因此方程(1)的特解可能為,其中是某個多項式函數(shù).把代入方程(1)并消去,得(5)以下分三種不同的情形,分別討論函數(shù)的確定方法:(1)若不是方程式(2)的特征方程的根,即,要使式(5)的兩端恒等,可令為另一個次多項式:代入(5)式,并比較兩端關(guān)于同次冪的系數(shù),就得到關(guān)于未知數(shù)的個方程.聯(lián)立解方程組可以確定出.從而得到所求方程的特解為(2)若是特征方程的單根,即,要使式(5)成立,則必須要是次多項式函數(shù),于是令用同樣的

7、方法來確定的系數(shù).(3)若是特征方程的重根,即.要使(5)式成立,則必須是一個次多項式，可令用同樣的方法來確定的系數(shù).綜上所述,若方程式(1)中的,則式(1)的特解為其中是與同次多項式,按不是特征方程的根,是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程的一個特解.解是型,且對應(yīng)齊次方程的特征方程為,特征根根為.=-2是特征方程的單根,令,代入原方程解得故所求特解為.例5求方程的通解.解先求對應(yīng)齊次方程的通解.特征方程為,齊次方程的通解為.再求所給方程的特解由于是特征方程的二重根,所以把它代入所給方程,并約去得比較系數(shù),得于是所給方程的通解為3.型的解法其中、均為常數(shù).此時,方程式(1)成為(7)這種類型的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),仍屬同一類型,因此方程式(7)的特解也應(yīng)屬同一類型,可以證明式(7)的特解形式為其中為待定常數(shù).為一個整數(shù).當(dāng)不是特征方程的根,取0;當(dāng)不是特征方程的根,取1;例6求方程的一個特解.解，不是特征方程為的根，.因此原方程的特解形式為于是將代入原方程，得解得原方程的特解為:例7求方程的通解.解先求對應(yīng)的齊次方程的通解.對