第11章梁的彎曲應(yīng)力(共25頁)

1、- PAGE 34 - PAGE 34 -第11章 梁的彎曲應(yīng)力教學(xué)(jio xu)提示(tsh)：梁純彎曲和橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力；梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力；提高(t go)彎曲強(qiáng)度的若干措施、薄壁桿件的切應(yīng)力流和彎曲中心。教學(xué)要求：掌握梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，理解橫力彎曲正應(yīng)力計(jì)算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。熟練掌握彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算。了解什么情況下需要對梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的若干措施。在外荷載作用下，梁截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面

2、上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩；而剪力是切于橫截面的分布內(nèi)力的合力。本章研究正應(yīng)力和剪應(yīng)力的分布規(guī)律，從而對平面彎曲梁的強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算。11.1梁的彎曲正應(yīng)力平面彎曲情況下，一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力，如圖11.1所示梁的AC、DB段。而在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而只有彎矩，這種情況稱為純彎曲。下面推導(dǎo)梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式。應(yīng)綜合考慮變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系等三個方面。11.1.1 彎曲正應(yīng)力一般公式1、變形幾何關(guān)系為研究梁彎曲時(shí)的變形規(guī)律，可通過試驗(yàn)，觀察彎曲變形的現(xiàn)象。取一具有對稱截面的矩形截面梁，在其中段的側(cè)面上，畫兩條垂直于梁軸

3、線的橫線mm和nn，再在兩橫線間靠近上、下邊緣處畫兩條縱線ab和cd，如圖11.2(a)所示。然后按圖11.1(a)所示施加荷載，使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗(yàn)中可以觀察到圖11 .2(b)情況：（1）梁表面的橫線仍為直線，仍與縱線正交，只是橫線間作相對轉(zhuǎn)動。（2）縱線變?yōu)榍€，而且(r qi)靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長。（3）在縱線伸長區(qū)，梁的寬度(kund)減小，而在縱線縮短區(qū)，梁的寬度則增加，情況與軸向拉、壓時(shí)的變形相似。根據(jù)上述現(xiàn)象，對梁內(nèi)變形與受力作如下假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交；同時(shí)，梁內(nèi)各縱向(zn xin)纖維僅承受軸向拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。前者

4、稱為彎曲平面假設(shè)；后者稱為單向受力假設(shè)。根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上各點(diǎn)處均無剪切變形，因此，純彎時(shí)梁的橫截面上不存在剪應(yīng)力。根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時(shí)部分纖維伸長，部分纖維縮短，由伸長區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一長度不變的過渡層，稱為中性層，如圖11.2(c)所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。對于具有對稱截面的梁，在平面彎曲的情況下，由于荷載及梁的變形都對稱于縱向?qū)ΨQ面，因而中性軸必與截面的對稱軸垂直。綜上所述，純彎曲時(shí)梁的所有橫截面保持平面，仍與變彎后的梁軸正交，并繞中性軸作相對轉(zhuǎn)動，而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx，取梁橫截面的對稱軸為y軸，且向下為正，如圖11.3 (b)

5、所示，以中性軸為y軸，但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距為dx的兩個橫截面，變形后各自繞中性軸相對旋轉(zhuǎn)了一個角度d，并仍保持為平面。中性層的曲率半徑為，因中性層在梁彎曲后的長度不變，所以又坐標(biāo)為y的縱向纖維ab變形前的長度為變形后為故其縱向線應(yīng)變?yōu)?（a）可見，縱向纖維的線應(yīng)變與纖維的坐標(biāo)y成正比。2、物理關(guān)系因?yàn)榭v向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都處于單向受力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知將(a)式代入上式，得 (b)這就是橫截面上正應(yīng)力(yngl)變化規(guī)律的表達(dá)式。由此可知，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)

6、力均相等，這一變化規(guī)律可由圖11.4來表示(biosh)。3、靜力學(xué)關(guān)系(gun x)以上已得到正應(yīng)力的分布規(guī)律，但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未確定，所以仍不能確定正應(yīng)力的大小。這些問題需再從靜力學(xué)關(guān)系來解決。如圖11.5所示，橫截面上各點(diǎn)處的法向微內(nèi)力dA組成一空間平行力系，而且由于橫截面上沒有軸力，僅存在位于x-y平面的彎矩M，因此， (c) (d) (e) 以式(b)代入式(c)，得 (f)上式中的積分代表截面對z軸的靜矩Sz。靜距等于零意味著z軸必須通過截面的形心。以式(b)代入式(d)，得 (g)式中，積分是橫截面對y和z軸的慣性積。由于y軸是截面的對稱軸，必然有Iy

7、z=0,所示上式是自然滿足的。以式(b)代入式(e)，得 （h）式中積分 （i）是橫截面對z軸（中性軸）的慣性矩。于是，(h)式可以寫成 （11.1）此式表明(biomng)，在指定的橫截面處，中性層的曲率與該截面上的彎矩M成正比，與EIz成反比。在同樣(tngyng)的彎矩作用下，EIZ愈大，則曲率愈小，即梁愈不易(b y)變形，故EIz稱為梁的抗彎剛度。再將式(11.1)代入式(b),于是得橫截面上y處的正應(yīng)力為 （11.2）此式即為純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式。式中M 為橫截面上的彎矩；Iz 為截面對中性軸的慣性矩；y 為所求應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。當(dāng)彎矩為正時(shí)，梁下部纖維伸長，故產(chǎn)生拉應(yīng)力，上

8、部纖維縮短而產(chǎn)生壓應(yīng)力；彎矩為負(fù)時(shí)，則與上相反。在利用（11.2）式計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，可以不考慮式中彎矩M和y 的正負(fù)號，均以絕對值代入，正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可以由梁的變形來判斷。應(yīng)該指出，以上公式雖然是純彎曲的情況下，以矩形梁為例建立的，但對于具有縱向?qū)ΨQ面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圓形截面梁等仍然可以使用。同時(shí)，在實(shí)際工程中大多數(shù)受橫向力作用的梁，橫截面上都存在剪力和彎矩，但對一般細(xì)長梁來說，剪力的存在對正應(yīng)力分布規(guī)律的影響很小。因此，（11.2）式也適用于非純彎曲情況。 最大彎曲正應(yīng)力由式(11.2)可知，在y=ymax即橫截在由離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大，其值為

9、式中，比值Iz/ymax僅與截面的形狀與尺寸有關(guān)，稱為抗彎截面系數(shù)，也叫抗彎截面模量。用Wz表示。即為 （11.3）于是，最大彎曲正應(yīng)力即為 （11.4）可見，最大彎曲正應(yīng)力與彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。抗彎截面系數(shù)綜合(zngh)反映了橫截面的形狀與尺寸對彎曲正應(yīng)力的影響。圖11.6中矩形(jxng)截面與圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為 (11.5) (11.6)而空心圓截面(jimin)的抗彎截面系數(shù)則為 (11.7)式中=d/D，代表內(nèi)、外徑的比值。至于各種型鋼截面的抗彎截面系數(shù)，可從型鋼規(guī)格表中查得（見附錄）。例11.1 圖11.7所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=1

10、8cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。解 先計(jì)算截面上的彎矩截面對中性軸的慣性矩則A 截面上的彎矩為負(fù)，K 點(diǎn)是在中性軸的上邊(shng bin)，所以為拉應(yīng)力。11.2 平面(pngmin)圖形的幾何(j h)性質(zhì)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，都與構(gòu)件的截面的形狀和尺寸有關(guān)。反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，如拉伸時(shí)遇到的截面面積、扭轉(zhuǎn)時(shí)遇到的極慣性矩和這一章前面遇到的慣性矩、抗彎截面系數(shù)等，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。為了計(jì)算彎曲應(yīng)力和變形，需要知道截面的一些幾何性質(zhì)?，F(xiàn)在來討論截面的一些主要的幾何性質(zhì)。11.2.1形心和靜矩若截面形

11、心得坐標(biāo)為yC和zC（C 為截面形心），將面積得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均質(zhì)薄板的重力，根據(jù)合力矩定理可得形心坐標(biāo)公式 （a）靜矩又稱面積矩。其定義如下，在圖11.8中任意截面內(nèi)取一點(diǎn)M（z,y）,圍繞M點(diǎn)取一微面積dA，微面積對z軸的靜矩為ydA，對y軸的靜矩為zdA，則整個截面對z和y軸的靜矩分別為： (b)有形心坐標(biāo)公式知： (c)上式中yC和zC是截面形心C的坐標(biāo)，A是截面面積。當(dāng)截面形心的位置已知時(shí)可以用上式來計(jì)算截面的靜矩。從上面可知，同一截面對不同軸的靜矩不同，靜矩可以(ky)是正負(fù)或是零；靜矩的單位是長度的立方，用m3 或cm3 、mm3等表示(biosh)；當(dāng)坐標(biāo)軸

12、過形心時(shí)，截面對該軸的靜矩為零。當(dāng)截面由幾個規(guī)則圖形(txng)組合而成時(shí)，截面對某軸的靜矩，應(yīng)等于各個圖形對該軸靜矩的代數(shù)和。其表達(dá)式為 (d) (e)而截面形心坐標(biāo)公式也可以寫成 (f) (g)11.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理在圖11.8中任意截面上選取一微面積dA，則微面積dA對z軸和y軸的慣性矩為z2dA和Y2dA。則整個面積對z軸和y軸的慣性矩分別記為Iz和Iy，而慣性積記為Izy，則定義： (h) (i)極慣性矩定義為： (j)從上面可以看出，慣性矩總是大于零，因?yàn)樽鴺?biāo)的平方總是正數(shù)，慣性積可以是正、負(fù)和零；慣性矩、慣性積和極慣性矩的單位都是長度的四次方，用m4 或cm4

13、、mm4等表示。同一截面對不同的平行的軸，它們的慣性矩和慣性積是不同的。同一截面對二根平行軸的慣性矩和慣性積雖然不同，但它們之間存在一定的關(guān)系。下面討論二根平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。圖11.9所示任意截面對任意軸對z軸和y軸的慣性矩、慣性積分別為Iz、Iy 和Izy 。過形心C有平行于z、y的兩個坐標(biāo)軸z和y，截面對z、y軸的慣性矩和慣性積為Iz、Iy 和Izy。對ozy坐標(biāo)系形心坐標(biāo)為C（a,b）。截面上選取微面積dA，dA的形心坐標(biāo)為則按照(nzho)慣性矩的定義有上式中第一項(xiàng)為截面對過(dugu)形心坐標(biāo)軸y軸的慣性矩；第三項(xiàng)為面積的a2倍；而第二項(xiàng)為截面(jimin)過形心坐標(biāo)

14、軸y軸靜矩乘以2a 。根據(jù)靜矩的性質(zhì)，對過形心軸的靜矩為零，所以第二項(xiàng)為零。這樣上式可以寫為 (k)同理可得： (l) (m)也就是說，截面對于平行于形心軸的慣性矩，等于該截面對形心軸的慣性矩再加上其面積乘以兩軸間距離的平方；而截面對于平行于過形心軸的任意兩垂直軸的慣性積，等于該面積對過形心二軸的慣性積再加上面積乘以相互平行的二軸距之積。這就是慣性矩和慣性積的平行移軸定理。例11.2 計(jì)算圖11.10 所示T 形截面的形心和過它的形心z軸的慣性矩。解 （1）確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系ozy，如圖11.10所示。將截面分解為上面和下面兩個矩形部分，截面形心C的縱坐標(biāo)為（2）計(jì)算截面慣性矩上面矩

15、形與下面矩形對形心軸z的慣性矩分別為11.3 梁的彎曲(wnq)剪應(yīng)力當(dāng)進(jìn)行平面彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般來說，彎曲正應(yīng)力是支配梁強(qiáng)度計(jì)算的主要因素(yn s)，但在某些情況上，例如，當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時(shí)梁的最大彎矩比較小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時(shí)剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，剪應(yīng)力就不能忽略了。下面介紹幾種常見截面上彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律和計(jì)算公式。11.3.1矩形截面(jimin)梁的彎曲剪應(yīng)力圖11.11(a)所示矩形截面梁，在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)承受荷載作用。設(shè)橫截面的高度為h，寬度為b，為研究彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律，現(xiàn)作如下假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)處的剪

16、應(yīng)力的方向都平行于剪力，并沿截面寬度均勻分布。有相距dx的橫截面從梁中切取一微段，如圖11.12(a)。然后，在橫截面上縱坐標(biāo)為y處，再用一個(y )縱向截面m-n，將該微段的下部切出，如圖11.12(b)。設(shè)橫截面上y處的剪應(yīng)力為，則由剪應(yīng)力互等定理可知(k zh)，縱橫面m-n上的剪應(yīng)力在數(shù)值(shz)上也等于。因此，當(dāng)剪應(yīng)力確定后，也隨之確定。如圖11.12(a)所示，由于存在剪力FQ，截面1-1與2-2的彎矩將不相同，分別為M和M+dM ,因此，上述兩截面的彎曲正應(yīng)力也不相同。設(shè)微段下部橫截面m1與n2的面積為,在該兩截面上由彎曲正應(yīng)力所構(gòu)成的軸向合力分別為N1與N2，則由微段下部的軸

17、向平衡方程x=0可知，由此得 (a)由圖11-12(c)可知 式中，積分代表截面對z軸的靜矩，并用Sz*表示，因此有 (b) (c)將式(b)和式(c)代入式(a)，于是得 （11.8）式中：Iz代表(dibio)整個橫截面對中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面(jimin)對z軸的靜距。對于矩形截面，如圖11.13所示，其值為將上式及Iz=bh3/12代入式(11.8)得 （11.9）由此可見：矩形截面(jimin)梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布(圖11.13)；在截面的上、下邊緣()，剪應(yīng)力=0；在中性軸(y=0),剪應(yīng)力最大，其值為 （11.10）工字形截面梁的

18、彎曲剪應(yīng)力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖11.14所示。中間狹長部分為腹板，上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應(yīng)力主要分布于腹板上，翼緣部分的剪應(yīng)力情況比較復(fù)雜，數(shù)值很小，可以不予考慮。由于腹板比較狹長，因此可以假設(shè)：腹板上各點(diǎn)處的彎曲剪應(yīng)力平行于腹板側(cè)邊，并沿腹板厚度均勻分布。腹板的剪應(yīng)力平行于腹板的豎邊，且沿寬度方向均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y處的彎曲剪應(yīng)力為：式中，Iz為整個工字形截面(jimin)對中性軸z的慣性矩，Sz*為y處橫線一側(cè)的部分(b fen)截面對該軸的靜矩，b為腹板的厚度。由圖11.14(a)可以看出，y處橫線以下的截

19、面(jimin)是由下翼緣部分與部分腹板的組成，該截面對中性軸z的靜矩為因此，腹板上y處的彎曲剪應(yīng)力為 （11.11）由此可見：腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，如圖11.14(b)所示。在中性軸處(y=0)，剪應(yīng)力最大，在腹板與翼緣的交接處(y=h/2)，剪應(yīng)力最小，其值分別為或 （11.12） （11.13）從以上兩式可見，當(dāng)腹板的寬度b遠(yuǎn)小于翼緣的寬度B，max與min實(shí)際上相差不大，所以可以認(rèn)為在腹板直剪應(yīng)力大致是均勻分布的?？捎酶拱宓慕孛婷娣e除剪力FQ，近似地得表示腹板的剪應(yīng)力，即 （11.14）在工字形截面梁的腹板與翼緣的交接處，剪應(yīng)力(yngl)分布比較復(fù)雜，

20、而且存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，為了減小應(yīng)力集中，宜將結(jié)合處作成圓角。 圓形截面(jimin)梁的彎曲剪應(yīng)力對于圓截面(jimin)梁，在矩形截面中對剪應(yīng)力方向所作的假設(shè)不再適用。由剪應(yīng)力互等定理可知，在截面邊緣上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向必與圓周相切，因此，在水平弦AB的兩個端點(diǎn)上的剪應(yīng)力的作用線相交于y軸上的某點(diǎn)p，如圖11.15(a)。由于對稱，AB中點(diǎn)C的剪應(yīng)力必定是垂直的，因而也通過p點(diǎn)。由此可以假設(shè)，AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的作用線都通過p點(diǎn)。如再假設(shè)AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量y是相等的，于是對y來說，就與對矩形截面所作的假設(shè)完全相同，所以，可用公式來計(jì)算，即 （11.15）式中，b為AB弦的長度，Sz*

21、是圖11.15(b)中陰影部分的面積對z軸的靜矩。在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值max。其值為 （11.16）式中，F(xiàn)Q/A是梁橫截面上平均剪應(yīng)力。 例11.3 梁截面(jimin)如圖11.16(a)所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計(jì)算該截面的最大彎曲(wnq)剪應(yīng)力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩Iz=8.84106m4。解（1）最大彎曲(wnq)剪應(yīng)力。最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對中性軸的靜矩為所以，最大彎曲剪應(yīng)力為（2）腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。由圖11.16(b)可知，腹板、翼緣交接線一側(cè)的部發(fā)截面對中性軸z的靜矩為所以，該交接處的彎曲剪應(yīng)

22、力為11.4 梁的強(qiáng)度條件在一般情況下，梁內(nèi)同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力，為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。以下將據(jù)此建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而該處的剪應(yīng)力一般(ybn)為零或很小，因而最大彎曲正應(yīng)力作用點(diǎn)可看成是處于單向受力狀態(tài)，所以，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （11.16）即要求梁內(nèi)的最大彎曲(wnq)正應(yīng)力max不超過材料(cilio)在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力。對于等截面直梁，上式變?yōu)?（11.17）利用上述強(qiáng)度條件，可以對梁進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度

23、校核、截面選擇和確定容許荷載。 彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲剪應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，而該處的彎曲正應(yīng)力為零，因此，最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 （11.18）即要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力max不超過材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力。對于等截面直梁，上式變?yōu)?(11.19)在一般細(xì)長的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。因此，對于一般細(xì)長的非薄壁截面梁，通常強(qiáng)度的計(jì)算由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制。因此，在選擇梁的截面時(shí)，一般都是按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇，選好截面后再按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。但是，對于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在

24、支座附近的梁等，則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。例11.4 圖11.17(a)所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強(qiáng)度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm，慣性矩Iz=8.8410-6m4，許用拉應(yīng)力t=35MPa，許用壓應(yīng)力c=140Mpa。解（1）危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。梁的彎矩如圖11.17(b)所示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩，因此，該二截面均為危險(xiǎn)截面。截面D與B的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖11.17(c)與(d)所示。截面D的a點(diǎn)與

25、截面B的d點(diǎn)處均受壓；而截面D的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)處均受拉。由于(yuy)|MD|MB|，|ya|yd|,|因此(ync)|a|d|即梁內(nèi)的最在彎曲(wnq)壓應(yīng)力c,max發(fā)生在截面D的a點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力t,max, 究竟發(fā)生在b點(diǎn)處，還是c點(diǎn)處，則須經(jīng)計(jì)算后才能確定。概言之，a,b,c三點(diǎn)處為可能最先發(fā)生破壞的部位。簡稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。（2）強(qiáng)度校核。由式(11.2 )得a,b,c三點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力分別為由此得可見，梁的彎曲強(qiáng)度符合要求。例11.5 懸臂(xunb)工字鋼梁AB圖11.18(a)，長l=1.2m，在自由(zyu)端有一集中荷載F，工字鋼的型號為18號，已知鋼的許用應(yīng)力(y

26、ngl)=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計(jì)算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45 kN，拭確定工字鋼的型號。解（1）梁的彎矩圖如圖1118(c)所示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對值為Mmax=Fl=1.2F Nm由附錄中查得，18號工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185103mm3由公式(11.16)得1.2F(1510-6)(170106)因此，可知F的最大許可值為103N=26.2kN(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.245103Nm=54103Nm按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為查附錄可知，22b號工字鋼的抗彎截面模量為325cm3 ，所以可選用22b號工字鋼。例11.6

27、 例11.5中的18號工字鋼懸臂梁，按正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算，在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應(yīng)力=100Mpa。試按剪應(yīng)力校核梁的強(qiáng)度，繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應(yīng)力分布圖，并計(jì)算腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1。解（1）按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核。截面(jimin)上的剪力FQ =26.2kN。由附錄查得18號工字鋼截面(jimin)的幾個主要尺寸如圖11.19(a)所示，又由表查得Iz=1660104mm4,由公式(gngsh)(517),得腹板上的最大剪應(yīng)力可見工字鋼的剪應(yīng)力強(qiáng)度是足夠的。（2）沿腹板高度剪應(yīng)力的計(jì)算。將工字鋼截面簡化如圖11.19(b)所示，圖中h1=180210

28、.7=158.6(mm)b1=d=6.5mm由公式(11.14)得腹板上最大剪應(yīng)力的近似值為這個近似值與上面所得26.2Mpa比較，略偏小，誤差為3.9%。腹板上的最小剪應(yīng)力在腹板與翼緣的連接處，翼緣面積對中性軸的靜矩為由公式(11.8)得腹板上的最小剪應(yīng)力為得出了max和min值可作出沿著腹板高度的剪應(yīng)力分布圖如圖11.19(c)所示。（3）腹板所擔(dān)負(fù)(dnf)剪力的計(jì)算。腹板所擔(dān)負(fù)(dnf)的剪力FQ1等于(dngy)圖11.19(c)所示剪力分布圖的面積A1乘以腹板厚度b1。剪力分布圖面積可以用圖11.19(c)中虛線將面積分為矩形和拋物線弓形兩部分，得由此得可見，腹板所擔(dān)歲的剪力占整個

29、截面剪力FQ的96.6%。11.5 提高梁強(qiáng)度的措施前面已指出，在橫力彎曲中，控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 為設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)，由這個條件可看出，對于一定長度的梁，在承受一定荷載的情況下，應(yīng)設(shè)法適當(dāng)?shù)匕才帕核艿牧?，使梁最大的彎矩絕對值降低，同時(shí)選用合理的截面形狀和尺寸，使抗彎截面模量W值增大，以達(dá)到設(shè)計(jì)出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。關(guān)于提高梁的抗彎強(qiáng)度問題，分別作以下幾方面討論。合理安排梁的受力情況在工程實(shí)際容許的情況下，提高梁強(qiáng)度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，圖11.20(a)所示簡以梁，承受均布載荷q作用，如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動

30、少許，例如移動0.2l，如圖11.20(b)，則后者的最大彎矩僅為前者的1/5。又如，圖11.21(a)所示簡支梁AB，在跨度中點(diǎn)承受集中荷載P作用，如果在梁的中部設(shè)置(shzh)一長為1/2的輔助梁CD 如圖11.21(b)，這時(shí)，梁AB內(nèi)的最大彎矩將減小一半(ybn)。上述實(shí)例說明，合理安排支座和加載方式(fngsh)，將顯著減小梁內(nèi)的最大彎矩。11.5.2選用合理的截面形狀從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。截面形狀和放置位置不同Wz/A比值不同，因此，可用比值Wz/A來衡量截面的合理性和經(jīng)濟(jì)性，比值愈大，所采用的截面就愈經(jīng)濟(jì)合理?，F(xiàn)

31、將跨中受集中力作用的簡支梁為例，其截面形狀分別為圓形、矩形和工字形三種情況作一粗略比較。設(shè)三種梁的面積、跨度和材料都相同，容許正應(yīng)力為170MPa。其抗彎截面系數(shù)Wz和最大承載力比較見表11.1。表11.1 幾種常見截面形狀的Wz和最大承載力比較截面形狀尺寸Wz最大承載力圓形.矩形.工字鋼.從表中可以看出，矩形截面比圓形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。從正應(yīng)力分布規(guī)律分析，正應(yīng)力沿截面高度線性分布，當(dāng)離中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力，達(dá)到許用應(yīng)力值時(shí)，中性軸附近各點(diǎn)處的正應(yīng)力仍很小。因此，在離中性軸較遠(yuǎn)的位置，配置較多的材料，將提高材料的應(yīng)用率。根據(jù)上述原則，對于抗拉與抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料梁，

32、宜采用對中性軸對稱的截面，如工字形截面等。而對于抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的脆性材料梁，則最好采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，便如T字形和槽形截面等。11.5.3 采用(ciyng)變截面梁一般(ybn)情況下，梁內(nèi)不同橫截面的彎矩不同。因此，在按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在截面外，其余截面的材料強(qiáng)度均未得到充分利用。因此，在工程實(shí)際中，常根據(jù)彎矩沿梁軸線的變化情況，將梁也相應(yīng)設(shè)計(jì)成變截面的。橫截面沿梁軸線變化的梁，稱為變截面(jimin)梁。如圖.22（）(b)所示上下加焊蓋板的板梁和懸挑梁，就是根據(jù)各截面上彎矩的不同而采用的變截面梁。如果將變截面梁設(shè)計(jì)為使每個橫截面上最大正應(yīng)力都等于

33、材料的許用應(yīng)力值，這種梁稱為等強(qiáng)度梁。顯然，這種梁的材料消耗最少、重量最輕，是最合理的。但實(shí)際上，由于自加工制造等因素，一般只能近似地做到等強(qiáng)度的要求。圖.22（）（d）所示的車輛上常用的疊板彈簧、魚腹梁就是很接近等強(qiáng)度要求的形式。本章小結(jié)1、梁平面彎曲時(shí)，橫截面上一般有兩種內(nèi)力剪力和彎矩 。與此相對應(yīng)的應(yīng)力也有兩種剪應(yīng)力和正應(yīng)力。剪應(yīng)力與截面相切，而正應(yīng)力與截面垂直。2、梁平面彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式為：正應(yīng)力在橫截面上沿高度成線性分布，在中性軸處正應(yīng)力為零，截面上下邊緣處正應(yīng)力最大。3、梁平面彎曲時(shí)剪應(yīng)力計(jì)算公式為：這個公式是由矩形截面梁推出的，但也可推廣應(yīng)用于關(guān)于梁縱向?qū)ΨQ面對稱的其它截面形式。如工字形、T形截面梁等。對不同截面梁計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意代入相應(yīng)的和。剪應(yīng)力沿截面高度呈二次拋物線規(guī)律分布，中性軸處的剪應(yīng)力最大。4、梁的強(qiáng)度計(jì)算中，正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件必須同時(shí)滿足。其公式為：對于一般梁正應(yīng)力強(qiáng)度條件起控制作用，剪應(yīng)力是次要(cyo)的。即滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件時(shí)，一般剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也能得