微積分第三版課件第二章第六節(jié)47頁(yè)P(yáng)PT

1、本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)主要討論在微分學(xué)中起著重要作用的幾個(gè)中值定一、費(fèi)馬引理二、羅爾定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理理:一、費(fèi)馬引理 首先, 讓我們來(lái)觀察這樣一個(gè)幾何事實(shí). 如圖所示: 我們看到在曲線弧的最高點(diǎn) 或最低點(diǎn)處的橫坐標(biāo)為 則有連續(xù)曲線弧 是函數(shù) 的圖形, 如果曲線有水平切線. 若記點(diǎn) 進(jìn)一步觀察, 當(dāng) 時(shí), 又看到在曲線弧 上, 至少有一點(diǎn) 弧 在該點(diǎn)處的切線 平行于弦 由此啟發(fā)我們考慮這樣一個(gè)又切線 的斜率是 以 記 的橫坐標(biāo), 則有理論上的問(wèn)題: 設(shè)是否存在使等式成立？下面我們從理論上對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論. 為討論方便, 先引入費(fèi)馬引理, 該引理本身在微分學(xué)中也很重要.則:或證:

2、 不妨設(shè) 時(shí), 有引理（費(fèi)馬引理）設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義并在 處可導(dǎo), 若對(duì)任意的 有故當(dāng)有當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),由函數(shù) 在點(diǎn) 處的可導(dǎo)性及極限的保號(hào)性, 得由此得到 注 通常稱(chēng)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn). 該引理說(shuō)明: 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)為駐點(diǎn).二、羅爾定理羅爾定理 設(shè)函數(shù) 且證 因 故 必在 上取到最大值 與最小值 若 有若 那么 與 中至少有一個(gè)不等于 不妨設(shè) 則存在 使得注1 羅爾定理的幾何意義 因 故 由此存在注2 羅爾定理的簡(jiǎn)單表達(dá)式使得 因 存在, 由費(fèi)馬引理得例1 對(duì)函數(shù) 在區(qū)間 上驗(yàn)證羅 爾定理的正確性.證 在區(qū)間 上, 函數(shù) 為初等函數(shù)因而連續(xù), 可導(dǎo). 又條件滿(mǎn)足. 因故定

3、理的結(jié)論成立.故定理從而對(duì)函數(shù) 及區(qū)間 羅爾定理是正確的.例2 設(shè)實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足方程證明方程在區(qū)間 中可解.證 令則 且所以由羅爾定理, 在區(qū)間 中存在 使得又:故方程在所給區(qū)間中可解.三、拉格朗日中值定理證 為引用羅爾定理, 構(gòu)造函數(shù)拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù) 那么至少存在一點(diǎn) 使得則或即且函數(shù) 滿(mǎn)足羅爾定理的條件, 由此存在 使得注1 拉格朗日中值定理的幾何描述公式稱(chēng)為微分中值公式.注2 當(dāng) 時(shí), 上式仍然成立, 即 3.若 在區(qū)間 中點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo), 當(dāng) 因而此式更好的給出了因變量的增量的近似刻畫(huà).時(shí), 有例3 設(shè)函數(shù)形, 在同一平面上作出過(guò)點(diǎn) 的割線, 并作割線的斜率為:為求切點(diǎn)的 坐標(biāo), 求解方

4、程:所以, 割線方程:即:相應(yīng)的切線. 畫(huà)出曲線在 中的圖得由此得相應(yīng)切點(diǎn)坐標(biāo)故而切線方程為:切線割線切點(diǎn)注意 微分中值定理給出的是“ ”的存在性, 而并沒(méi)有指出它究竟取哪一個(gè)值. 對(duì)不同的函數(shù), 對(duì)不同的區(qū)間,“ ”的取值可能是完全不同的. 這一點(diǎn), 在討論問(wèn)題時(shí)特別要注意. 我們知道, 若函數(shù)為常數(shù), 則其導(dǎo)數(shù)為零; 作為該定理在 內(nèi)是一個(gè)常數(shù).定理 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么 的應(yīng)用, 我們導(dǎo)出如下事實(shí): 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為零, 則該函數(shù)必為常數(shù).證 在區(qū)間 內(nèi)任取兩點(diǎn) （不妨設(shè) ）, 則由公式:由條件知意性, 得 為常數(shù).由 的任因因此例4 證明: 當(dāng) 時(shí), 有證 取 ,

5、則在區(qū)間 中, 滿(mǎn)足定理的條件, 因而有因而上式為代入上式, 便得即有 例5 證明: 當(dāng) 時(shí), 證 因 , 故在區(qū)間 ( )上對(duì)函數(shù) 使用拉格朗日中值定理 使得例6 設(shè)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)在 內(nèi)恒為常數(shù), 則 證 設(shè)在區(qū)間 內(nèi) , 令 則由此得到： ，令其為 . 即有 為線性函數(shù).四、柯西中值定理證 由于 定理 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 并且在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)那么至少存在一點(diǎn) 使得 左邊的分式有意義. 為使用拉格朗日中值定理, 構(gòu)造輔助函數(shù):因而上式由此得到公式.則, 易證函數(shù) 滿(mǎn)足羅爾定理的條件, 從而至少存在一點(diǎn) 使得 即注1 柯西中值定理可簡(jiǎn)單地表示為注2 容易看出, 拉格朗

6、日中值定理是柯西中值定理當(dāng) 的特殊情況.例7 對(duì)函數(shù) 上驗(yàn)證柯西中值定理的正確性.證 函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù), 可導(dǎo), 且即滿(mǎn)足定理的條件, 現(xiàn)求 使得在區(qū)間因又由于 令得所以,從而成立, 故對(duì) 上的函數(shù) 柯西中值定理是正確的.例8 在 上分別就拉格朗日中值定理, 柯西中值定理, 計(jì)算相應(yīng)的解 先考慮 就拉格朗日中值定理計(jì)算相應(yīng)的 由得再考慮 求相應(yīng)的同樣得到最后對(duì)函數(shù) 就柯西中值定理來(lái)求相應(yīng)的即:得由關(guān)系式 本例說(shuō)明若函數(shù)滿(mǎn)足中值定理的條件, 則適合中值定理結(jié)論中的 是存在的, 但對(duì)不同的函數(shù)或同一函數(shù)在不同的區(qū)間, 所得到的 可能是不同的. 所以對(duì)柯西中值定理中的中值等式 使得不能錯(cuò)誤地誤解為兩個(gè)拉格朗日中值等式的商.例9 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù).且其中, 點(diǎn) 使得證 由條件所設(shè)知函數(shù) 在區(qū)間 滿(mǎn)證明: 在 至少存在一足羅爾定理的條件, 故在區(qū)間 分別存在使得 又 二階可導(dǎo), 故 連續(xù)，在區(qū)間