【高考數(shù)學(xué)】圓錐曲線經(jīng)典習(xí)題—拋物線大題合

1、【高考數(shù)學(xué)】圓錐曲線經(jīng)典習(xí)題一拋物線大題合集未命名一、解答題1.已知?jiǎng)訄AM恒過點(diǎn)F(1,0),且與直線l： x = 1相切.(1)求動(dòng)圓圓心 M的軌跡C的方程；(2)探究在曲線C上，是否存在異于原點(diǎn)的兩點(diǎn) A(x1, y1) , B(x2, y2),當(dāng)y1y2 = -16時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)軌跡方程為y2 =4x; (2)直線AB過定點(diǎn)(4,0).【解析】因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F(1,0)且與直線l : x = 1相切，所以圓心M到F的距離等于到直線l的距離.根據(jù)拋物線的定義可以確定點(diǎn)M的軌跡是拋物線，易求其方程 .(II)本小題屬于存在性

2、命題，先假設(shè)存在 A,B在y2 =4x上，直線AB的方程：y2 - y12.2y y1=(x凡),即 ab 的方程為(y1+y2)y y 一 yy2 = 4x y1，然后根據(jù)x2 - x1y1y2 =-16,.-.ab的方程為(y1+y2)y+(164x)=0，從而可確定其所過定點(diǎn).解：(1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F (1,0)且與直線l：x = 1相切， TOC o 1-5 h z 所以圓心M到F的距離等于到直線l的距離. 2分所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，且衛(wèi)=1巾=2,4分22所以所求的軌跡萬程為 y =4x6分2(2)假設(shè)存在 A,B在y =4x上，7分丫2 一 丫1 ,、1

3、直線ab的萬程：y y1=八(x x1)，9分*2 一為Q 山、,一4y即 ab 的萬程為：y y1 =(x - -), 10小 y 4即(y y2)y- y；-火丫2 =4xy； 11 分又yy2 = T6 .-.ab 的方程為(y1 +y?)y +(164x) =0 , 12分試卷第1頁，總70頁令y =0得x = 4 ,所以，無論yi, y2為何值，直線ab過定點(diǎn)(4,0).222. (I)求以x +y 2y = 0的圓心為焦點(diǎn)的拋物線方程;(n)若P(xo,y0)為(I)中所求拋物線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn) P到直線x-y 2 = 0的距離的最小值，并寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(I) x2=

4、4y (n) P(2,1),最小值 也2【解析】【分析】(I )將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得出圓心坐標(biāo)，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解。(n)利用點(diǎn)到線的距離公式求最值?！驹斀狻?I ) ； x2 + y2 -2y =022.xy -1 =1故圓心坐標(biāo)為(0,1),同時(shí)拋物線焦點(diǎn)為(0,1),故拋物線方程為 x2 =4y ;2(n ) ：p(x0,y0)且在拋物線x2 =4y上，:y0 =包.從而點(diǎn)P到直線x-y-2 = 042x _x0_2x0/24d=2的距離為1 ,c、2 ,(x0 2) 1 r即P( 2,1)時(shí)，取得最小值24拒，當(dāng) x0 = 2一 .2本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求拋物線的標(biāo)

5、準(zhǔn)方程及拋物線上的點(diǎn)到定直線的距離最值問題, 屬于一般題。3.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C上一點(diǎn)M(4,m)到其焦點(diǎn)的 距離為6.(I )求拋物線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)若拋物線C與直線y =kx-2相交于不同的兩點(diǎn) A、B,且線段AB中點(diǎn)的橫坐 標(biāo)為2,求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1) y2 =8x (2) 2試卷第2頁，總70頁【解析】解：(I )由題意設(shè)拋物線方程為1廣，其準(zhǔn)線方程為x =-上，(2分)2P(4, m)到焦點(diǎn)的距離等于 A到其準(zhǔn)線的距離,- 4十 = 6 - p = 42，拋物線C的方程為/ =&* (2分)(n)由 - 消去 y,得 k2x2 -(4k +

6、8)x + 4=0(2 分)y =融-21 u ,;直線/二上T 2與拋物線相交于不同兩點(diǎn)A、B,則有k =0Q=64(k+1) 0,解得 A |與羊 0, (2 分)x1 x2 2k 42 一 k2解得卜=2,或卜=1(舍去)所求k的值為24.如圖所示，已知點(diǎn)M (a,4)是拋物線y2 =4x上一定點(diǎn)，直線AM、BM的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線 AB的斜率為定值.1【答案】(1)5; (2)2【解析】【分析】(1)把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離；(2)設(shè)出直線MA的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得出 A的縱坐標(biāo)，同理得出 B的縱坐 標(biāo)，由已知條

7、件結(jié)合點(diǎn)差法推導(dǎo)出AB的斜率表達(dá)式，把 A, B的坐標(biāo)代入，由此能證明直線AB的斜率為定值.試卷第3頁，總70頁(1) M (a, 4)是拋物線 y2=4x上一定點(diǎn)，42=4a, a=4,拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x= - 1,故點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離為 5；(2)由題知直線 MA、MB的斜率存在且不為 0,設(shè)直線MA的方程為：y-4=k(x-4)； TOC o 1-5 h z y -4 = k(x -4)2聯(lián)立/ 2= ky2-4y-16k+16 = 0,設(shè) A(xA,yA), B(xB,yB),y =4x,4rr4 ,二 Na +4 =,即 yA = - 4 , kk;直線AM、BM的斜率互

8、為相反數(shù)，直線MB的方程為：y4 = k(x4),同理可得：yB = -4, 由A, B兩點(diǎn)都在拋物線y = 4x上， Ya 4xa Yb = 4xb -kyA - yB _ yA - yB _4 kAB 一一 22 一xa -xb以YbYaYb4直線AB的斜率為定值1 .2本題考查了拋物線的定義考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查直線的斜率為定值的證明，屬于中檔題.22x V5.已知E , F2分別是橢圓E： + =1(cib0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)a b2 P(-1三橢圓E上，且拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是橢圓 E的一個(gè)焦點(diǎn)。(1)求a, b的值: (2)過點(diǎn)F2作不

9、與x軸重合的直線| ,設(shè)l與圓x2+y2=a2+b2相交于A, B兩點(diǎn)，且與橢圓E相交于C,T D兩點(diǎn)，當(dāng)F1A F1B =1時(shí)，求 F1CD的面積?！敬鸢浮?1) a=T2, b=1 ; (2)4x67(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出(2)設(shè)直線|方程為x=ty+1,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出t2,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡(jiǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積.【詳解】試卷第4頁，總70頁2(1) y =4x焦點(diǎn)為 F (1, 0),則 Fl(1, ), F2 (1, 0),2a= PFi + PF2 =2衣，解得 a = J2，c=l, b = 1,(n)由已知，可設(shè)直

10、線|方程為x=ty+1, A(x1, y1) , B(x2, y2)2tXx = ty 1聯(lián)立22x2y2 =3y1y2 - -2-22t +1得(t十1)y十2ty2=0,易知 0,則2y1y2 = -72t +1F1A F1B = (x1 + 1)(x2 +1) + y1y2 = (ty/2)(ty 2+2)+丫也/ 2、/2-2t=(t +1) y1y 2+2t (y+y2)+4= t +1因?yàn)門 -IF1A BB=1,所以聯(lián)立x=ty 1x22 4萬y=1222,得(t +2) y +2ty-1 =0 , = 8(t2+1) 0NJ+a, y3), B(x4, y,),則= 214 t

11、2+21y3y4=t2 21L=-F1 F2 y3-y 28(1+t2)t2 +284_4V6773本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問題。意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。116.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F 了,0 L直線:x=-,點(diǎn)p在直線上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，過R、P分別作直線11、12,使UPF, l2 -L l ,試卷第5頁，總70頁(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)已知。M : (x4)2 + y2=1,過拋物線C上一點(diǎn)H(xo, y0)(y0之1)作兩條直線與O M相切于A、B兩點(diǎn)，若直線

12、AB在y軸上的截距為t ,求t的最小值.【答案】(1) y2 =x ； (2)11.【解析】【分析】依題意知，得出|PQ = QF| ,利用拋物線的定義，即可求得拋物線的方程；(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2, y2),求得直線HA與HB的方程，進(jìn)而得到直線 AB的方程, 即可作出求解.【詳解】依題意知，點(diǎn) R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ，F(xiàn)P ,所以RQ是線段FP的垂直平分 線，即|PQ = QF ,由拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線， TOC o 1-5 h z 112又由F 口?0 1直線1 ： x =-4，所以拋物線的萬程為 y =x.y14 -x1(2)設(shè)

13、 A(x1, y1), B(x2, y?),因?yàn)?kMA 一 ,所以 kHA 一 ,x1 - 4y1可得，直線 HA的方程為(4-x1)x - yy+4x 一 15 = 0 ,同理，直線 HB的方程為(4 x2)x y2y+4x2 15 = 0 , 22所以(4xjy。yy。+4為15 = 0 , (4 x2)y0 y2y0+4x2 15 = 0 ,2所以直線 AB的萬程為(4 -x) y0 yy0+4x15 = 0,試卷第6頁，總70頁, 一,15,、令 x =0 ,可得 t =4y -(y0 之 1),Y0t關(guān)于y的函數(shù)在1,十8)單調(diào)遞增，所以 加所=-11 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物

14、線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用拋物線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系求得直線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.217.已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y =2px( p 0)的準(zhǔn)線萬程是x = -2 . (1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線y =k(x-2 %k #0 )與拋物線相交于 M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過原點(diǎn).【答案】(1) y2 =2x ； (2)見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)，即可求得P的值，求得拋物線方程； 2(2)將直線方程代入拋物線方程，利于韋達(dá)te理即可x1 x2 ,由(y1y2

15、) 4 4x1x2 ,即可求得力丫2,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得OM _LON ,進(jìn)而可得到結(jié)果.【詳解】解：(1)由拋物線y2 =2px(p A0 )的準(zhǔn)線方程為x = E,2則一衛(wèi)二一1,則p =1,22拋物線方程為y2=2x；(2)證明：設(shè) M (x1, y1 ), N (x2, y2),由 y-k(x-2)消去 y 整理得 k2x2 -2(2k2 +1)x + 4k2 = 0,y2 =2xxx2 =4 ,222.由 y =2xb y2 =2溝，兩式相乘，得(yy2 ) =4x1x2,注意到y(tǒng), y2異號(hào)，所以y y2 = -4 ,試卷第7頁，總70頁則 OM ON =x1x2 yly

16、2 =0,二 OM 1ON ,. MON =90，所以以MN為直徑的圓過原點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知定點(diǎn)F (1,0 ),定直線l的方程為x = -1 ,點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P與直線l垂直的直線與線段 PF的中垂線相交于點(diǎn) Q,設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程：(2)點(diǎn)A(a,0 ) (a 0),點(diǎn)B(a,05 過點(diǎn)A作直線li與曲線C相交于G、E兩點(diǎn)，求證：.GBA-/EBA.【答案】(1) y2 =4x ； (2)見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及拋物線的定義，求得

17、曲線C的軌跡方程.(2)設(shè)出直線 1 的方程，聯(lián)立直線1i的方程和拋物線方程，消去 x,寫出韋達(dá)定理，通過計(jì)算 kBG +kBE 0 ,證得 kBG =kBE ,從而證得 NGBA = NEBA.【詳解】(1)由題知 |QF = QP =d ,點(diǎn)Q的軌跡是以F (1,0 )為焦點(diǎn)，直線x = -1為準(zhǔn)線的拋物線，曲線C的方程為y2 =4x.(2)設(shè)直線11的方程為x = my + a,G(my1+a,y1 ), E(my2 +a,y2 ),x my a 2由 S 2 得 y -4my-4a = 0 ,y =4xy . y2 =4m , YiY2 =-4a ,試卷第8頁，總70頁又 kBG 二

18、一 J , kBE 二 一 J一, my1 - 2amy2 2a. i.yiy2kBG kBE -my1 2a my2 2a2myy2 +2a(y1 ”)my1 2a my2 2a2mA i4a2a 4m=0my 2a my2 2akBG = kBE /GBA=/EBA【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題 .29.設(shè)拋物線r的方程為y2=2px,其中常數(shù)p 0, F是拋物線r的焦點(diǎn).(1)若直線x=3被拋物線所截得的弦長為6,求p的值；I PAI(2)設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求J1的最大值

19、；| PF |(3)設(shè)p = 2 , li、I?是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，li與拋物線r交于點(diǎn)A、B ,12與拋物線交于點(diǎn)C、D ,若點(diǎn)G滿足4FG = FA + FB + FC +FD，求點(diǎn)G的軌跡方程.3 一【答案】(1) p = ；(2)五；3) y =x-3.2【解析】【分析】(1)當(dāng)x =3時(shí)，代入拋物線方程，求得 y ,可得弦長，解方程可得 p；(2)求得A的坐標(biāo)，設(shè)出過 A的直線為y = k(x+-p) , k=tana ,聯(lián)立拋物線方程，若要使儂1取到最大值，則直線和拋物線相切，運(yùn)用判別式為0,求得傾斜角，可得| PF |所求最大值；(3)求得 F (1,0),設(shè)A(

20、x, %) ,B(x2,y2), Cd ,y3),DM,y4),G(x, y),設(shè)li : y =k(x -1),聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直斜率之積為-1的條件，試卷第9頁，總70頁結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，和消元法，可求得軌跡方程【詳解】_3(1)由 X =3可得 y =V6P 2 可得 246P =6 ,解得 p =-；(2) A是點(diǎn)F(, 0)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，可得 A(- , 0),22設(shè)過A的直線為y=k(x+R), k = tana , 2聯(lián)立拋物線方程可得2 22_k x (k p -2p)x由直線和拋物線相切可得 =(k2p2p)2 k4p2=0 ,解得k=1,可取k

21、 =1 ,可得切線的傾斜角為 45, I PAI 11由拋物線的定義可得 j一| =，而a的最小值為45,|PF | sin(90 - :) cos:|PA|PF|的最大值為,2 ；(3)由y2=4x,可得 F(1,0),設(shè) A(xi,y1),B(x2,y?),C(x3,y3),D(x，y)，G(x, y), TOC o 1-5 h z 222 一2.2.設(shè) l1 ： y =k(x -1),聯(lián)立拋物線 y =4x ,可得 k x -(2k +4)x + k =0,4_.4即有 x1 x2 =22 , y1 y2 =k(x1 x2) 2k = HYPERLINK l bookmark114 o

22、Current Document kk1由兩直線垂直的條件，可將k換為-一，可得k一 一2x3 x4 =2 4k , y3 y4 = -4k ,一、Ti - TT點(diǎn) G 滿足 4FG =FA +FB +FC +FD ,可得 4(x , y) =(x x2 x3 x4 -4 , y . y2 y3 . N24 -即為 4x =x , x2 , x3 , x4 -4 =4k2 CD ,k4 4y=w+y2+y3+y4=Yk 十一， k聯(lián)立式消元可得y2=(k-l)2=k2+4-2=x-2 , kk則G的軌跡方程為y2 =x -2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、方程、性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，判別

23、式和韋達(dá)定理的 具體運(yùn)用，向量的坐標(biāo)表示，運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值能力，屬于中檔題試卷第10頁，總70頁.已知拋物線 G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸正半軸上，點(diǎn) P (m, 4)到其準(zhǔn)線的距 離等于5.(1)求拋物線 G的方程；(2)如圖，過拋物線 G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+ (y- 1) 2=1交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明|AC|?BD|為定值；(3)過A、B分別作拋物 G的切線11, 12且11, 12交于點(diǎn) M,試求4ACM與 BDM面 積之和的最小值.【答案】(1) x2=4y； (2)詳見解析；(3) 2.【解析】【分析】(1)利用拋物線的焦半徑公式求 P; (2)設(shè)直線AB方y(tǒng)=

24、 kx+1 ,與拋物線聯(lián)立消去 x ,結(jié)合焦半徑公式化簡(jiǎn)從而得到定值；(3)欲求面積之和的最小值，利用直線AB的斜率作為自變量，建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.【詳解】(1)由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y+1 = 0,故f=1所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線 人3方丫=卜乂+1交拋物線 C于點(diǎn)A (x1，yj, B (x2,由拋物線定義知|AF|=y+1 , |BF|=y2+1 ,所以 |AC|=y1 , |BD|=y2,x2 =4y由 得 x 4kx 4=0,y = kx 1試卷第11頁，總70頁顯

25、然則 Xi+X2=4k, 2/2= 4, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 22所以 yi?/2=Xl X2 =i,所以 |AC|?BD|為定值 1.1621 2,1(3)由 x2 = 4y, y = x , y =-x,4,21 21得直線 AM 萬程 y_ x； = X1 (x-x“(1), HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 421 21_直線 BM 萬程 y _-x2 =-x2 (x-x2)(2),42一 11 o 1 o由(2) (1)信一(xx2)x = -

26、 X - x2 ,2441所以 x= (x1+x2)= 2k, .y= 12所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(2k, - 1),k 2k +1 +1點(diǎn)M到直線AB距離d =-=2 2 ,1k2弦 AB長為 |AB| = V1+k27(x1 +x2)2 -4x1x2 = j1+k2 J16k2 +16 = 4( 1+k2), ACM與 BDM面積之和，112、22、$=稔(|AB|-2) ?d = -x (2+4k) & 山 + 小=2 ( 1+2k )4彳+小，當(dāng)k= 0時(shí)，即AB方程為y=1時(shí)，ACM與4BDM面積之和最小值為 2.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、探究能力、分

27、析問題和解決問題的能力，求解定值與最值的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當(dāng)題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可用圖形性質(zhì)來解；二是從代數(shù)角度考慮，當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過建立目標(biāo)函數(shù)， 求其目標(biāo)函數(shù)的最值.如圖，馬路l南邊有一小池塘，池塘岸 MN長40米，池塘的最遠(yuǎn)端 O到l的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個(gè)等腰梯形的環(huán)池塘小路AB,BC,CD ,且AB, BC,CD均與小池塘岸線相切，記 NBAD= 0.試卷第12頁，總70頁COB(1)求小路的總長，用日表示；(2)若在小路與小池塘之間(圖中陰影區(qū)域)鋪上草坪，求所需鋪草

28、坪面積最小時(shí)，tan 8的值.tan-800.l皿【答案】(1) AB +BC +CD =+(0 tan6 0),試卷第13頁，總70頁因?yàn)镸( 10,400)是曲線上一點(diǎn)，12所以p =,即拋物線方程為 y = x2 .2設(shè)AB所在的直線方程：y =kx +t(k = tan6),y = kx t 2聯(lián)立2 ，即x -kx t = 0,y = x因?yàn)锳B與拋物線相切，所以 = / +4t =0.記直線AB與拋物線切于點(diǎn)Q,k所以Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一w (0, 20)，即k w (0, 40).2易得點(diǎn)B . ,0 |,點(diǎn)A .,400 I,由對(duì)稱性可知 C , ,0 |,點(diǎn).k. kk,400

29、.所以小路總長為 AB BC CD - -2- 2.400_ _ 2+ 4002 ，由及k = tan 8可知tan 二AB BC CD = 2/400、222 ： 400tan2 sin 二(0 tan 0),點(diǎn)M(2,0 )在G的焦點(diǎn)F的右側(cè)，且M到G試卷第14頁，總70頁的準(zhǔn)線的距離是 M到F距離的3倍，經(jīng)過點(diǎn) M的直線與拋物線 G交于不同的 A、B 兩點(diǎn)，直線OA與直線x=-2交于點(diǎn)P,經(jīng)過點(diǎn)B且與直線OA垂直的直線l交x軸于點(diǎn)Q.(1)求拋物線G的方程和F的坐標(biāo)；(2)判斷直線PQ與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由； TOC o 1-5 h z 2222(3)橢圓 土+_L=1的兩焦點(diǎn)

30、為E、F2,在橢圓 上+L=1外的拋物線G上取一 4 34 31點(diǎn)E ,若EFi、EF2的斜率分別為ki、k2,求-的取值范圍.k1k2915 5)24【答案】(1) y2=4x, F(1,0)(2) PQ/AB,詳見解析(3) ，收 HYPERLINK l bookmark161 o Current Document ,一_ _D_P(P * _(1)由題意得出 上2,以及2+2=3父2，可求出P的值，從而得出拋物線 G22I2J的方程以及焦點(diǎn) F的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1 )、8區(qū)，丫2),直線AB的方程為x=my + 2,將直線AB的方程與拋物線G的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，并求出

31、 p、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在 m = 0時(shí)，由PQ與AB同時(shí)與x軸垂直得出PQ/AB，在m # 0時(shí)，由kpQ = kAB得出PQ/AB ,即可解答該問題；一 ,一 ，111 (3)設(shè)點(diǎn)E(Xo, yO ),得出 =Xo -一 ，由點(diǎn)E在拋物線G上且在橢圓外得出x0 -,由函數(shù)y = x-在.一，十無|上單調(diào)遞增，可得出 的取值范圍3x 3k1k2【詳解】(1)由于點(diǎn)M在拋物線G的焦點(diǎn)F ,02的右側(cè)，所以，衛(wèi)2,2由于M到G的準(zhǔn)線的距離是M到F距離的3倍，即2 +衛(wèi)=3父12 衛(wèi)L解得p = 2 ,22因此，拋物線G的方程為y2 =4x,其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0 )；試卷第15頁，總70頁P(yáng)Q/A

32、B ,理由如下:設(shè) A(xi, yi ), B(x2,y2AB : x = my+2 ,聯(lián)立x = my 2y2 = 4x/曰 2yi 丫2 =4m得 y 4my 8 = 0,/_y1y2 - -8xx22V1V216=4；OA: y =x,令 x = 2得 P 2,3 xiI X一 八x ., . 一一 4 一 TOC o 1-5 h z BQ : y - y2 =(x x2 ),令 y = 0得 Q ,0 , yi1,即3x243+16x0 -12 0 , Qx0 0,12叢 r由于函數(shù)y = x-在 j,+ I上單調(diào)遞增，則kik241 x0 x0 ) 1(2 3：二 5-1=,4 3

33、224【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解， 考查兩直線的位置關(guān)系以及兩直線斜率之積的取值范圍的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)已知條件的類型選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算，另外對(duì)于兩直線的位置關(guān)系，可利用斜率關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題213.如圖，設(shè)拋物線 Ci: y =-4mx(m 0 )的準(zhǔn)線l與x軸父于橢圓試卷第16頁，總70頁x2 v21C2 ： f +2r =1（a b 0）的右焦點(diǎn)F2,E為C2的左焦點(diǎn).橢圓的離心率為e =，拋a b2物線Ci與橢圓C2交于X軸上方一點(diǎn)P,連接PF1并延長其交Ci于點(diǎn)Q, M為C1上一動(dòng)點(diǎn)，且在P,Q之間移動(dòng).（1）當(dāng)a +Y3取最小值時(shí)，求Ci和C2的

34、方程; 2 b（2）若APFiFz的邊長恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)&MPQ面積取最大值時(shí)，求面積最大值以及此時(shí)直線 MP的方程.【答案】(1) 土+匕=1 (2) &MPQ的面積最大值為W6 =125Q.此 432 2416時(shí) MP : y = -5/6X +2/6 . 33【解析】 試題分析：（1）由橢圓的性質(zhì)可得 a=2m, b = J3m,故可得m = 1,故而可求得C1和c 1C2的萬程；（2）因?yàn)閏 =m,e=，則a =2m, b = J3m ,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程為 a 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document

35、222+-y-y =1，聯(lián)立拋物線與橢圓的方程可得 3x2 -16mx-12m2 =0，得x0 = m4m2 3m23，可得m = 3 ,可得直線與拋物線的方程， 聯(lián)立得2m 2、6m代入拋物線萬程得 P ,33PQ =25,求出點(diǎn)到直線的距離,2結(jié)合面積公式可得最值c試題斛析：（1）因?yàn)閏 = m, e = a工，則a = 2m,b = ,所以+立取最小值時(shí) 22 b HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 22此時(shí)拋物線C1 : y2 = -4x ,此時(shí)a =2,b2 =3 ,所以橢圓C2的方程為 =1 ；43試卷第17頁，總70頁c(2)因?yàn)?

36、c = m,e =一 aif, 一，則 a =2nb23r ，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為24m2+2-123m22P(x0, V。),Q(X,y1 )(4m3m2=122得3x -16mx-12m =0,所以*。=2y - -4mx2m或 3x0 =6m2（舍去），代入拋物線方程得 y0=32m,即P -32m 2,6mPFi5m,PF2= 2a - PF1 =7m,F1F2 =2m =6m,又APFFz的邊長恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以 m=3.此時(shí)拋物線方程為 y2 = -12x,FM-3,0 )P(-2,2而)，則直線 PQ 的方程為 y =2V6(x + 3).聯(lián)立丫 = 2俑+3) y =

37、-12xQ 一:,6.所以9=或xi = -2 （舍去），于2PQ卜+2卜（2.娟吟t2I 12,t (t = (-376,2 J6)到直線PQ的距離為d ,則d=近/+近302時(shí),d max*、J 6 75 5.6x=,所以 &MPQ 的3024面積最大值為1 25 5.6K K-V6x+Vo.14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)16.5 - 1P到直線y =-的距離比到定點(diǎn)0,-的距離大1.4. 4（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.（2）若M為直線y=x-2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M作曲線C的兩條切線MA, MB,切點(diǎn)為A, B , N為AB的中點(diǎn).求證：MN _Lx軸;直線AB是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若

38、不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）x2=y； （2）證明見解析；1,2 .12【解析】試卷第18頁，總70頁【分析】 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 11(1)由題意知，動(dòng)點(diǎn) P到直線y = -的距離等于到定點(diǎn)0,- I的距離，符合拋物線4. 4的定義，求軌跡 C的方程為x2=y；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M (t,t -2) , A(Xi,Xi ), B(X2,X2 ),利用導(dǎo)數(shù)求出切線 MA,MB的方 22程分力為：y -x1= 2x1 (x-x1) yx2=2x2(xx2)，從而有x1，X2為萬程x2 _2tx+t-2 =0的兩根，證明點(diǎn) N的橫坐標(biāo)與點(diǎn) M的橫坐標(biāo)相等，從而證得MN _Lx軸；由中的結(jié)論，把直線 AB的方程寫成含有參數(shù)t的形式，即2y -