《微積分初步》輔導(dǎo)6----不定積分

1、PAGE 4PAGE 5微積分初步輔導(dǎo)6不定積分一、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)解析（一）關(guān)于原函數(shù)與不定積分概念1. 原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同的概念, 它們又是緊密相連的. 對(duì)于定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)F(x), 使得該區(qū)間上的每一個(gè)點(diǎn)x處都有成立, 則稱(chēng)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)；而（為任意常數(shù)）稱(chēng)為f(x)的不定積分. 2. f(x)如果有原函數(shù), 則有無(wú)窮多個(gè)；而且任意兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù). 求f(x)的不定積分是求其全體原函數(shù), 而只要求出一個(gè)原函數(shù)F(x), 再加上任意常數(shù)c,就得到了f(x)的全體原函數(shù). 因此原函數(shù)與不定積分是個(gè)體與全體的關(guān)系. 3. f(x)的不定

2、積分中隱含著積分常數(shù),在計(jì)算的結(jié)果中一定要有積分常數(shù)c. 如果被積函數(shù)f(x)是由幾個(gè)函數(shù)的代數(shù)和構(gòu)成時(shí), 計(jì)算中要利用積分的性質(zhì), 將其分為幾個(gè)積分的代數(shù)和, 但是不必每個(gè)積分都加積分常數(shù), 當(dāng)積分號(hào)消失時(shí)是一定要加上積分常數(shù)c. （二）關(guān)于不定積分的性質(zhì)1. 求導(dǎo)數(shù)（或微分）與求不定積分互為逆運(yùn)算, 這是教材中的性質(zhì)1. 由這個(gè)性質(zhì)可以知道, 對(duì)一個(gè)函數(shù)若先求導(dǎo)數(shù)（或微分）再求積分等于該函數(shù)加上任意常數(shù)c；若先求積分再求導(dǎo)數(shù)（或微分）則兩種運(yùn)算相互抵消, 結(jié)果等于被積函數(shù)（或被積表達(dá)式）. 例如. 2. 教材3. 1. 2中的性質(zhì)2和性質(zhì)3是不定積分的運(yùn)算性質(zhì), 將它們結(jié)合起來(lái)有. （三）

3、不定積分的幾何意義函數(shù)的原函數(shù)的幾何圖形稱(chēng)為的積分曲線, 的不定積分是的一蔟積分曲線, 這蔟積分曲線在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的斜率是相同的. （四）關(guān)于不定積分的計(jì)算1. 積分基本公式是積分計(jì)算的最終依據(jù), 在積分計(jì)算時(shí), 必須將積分號(hào)中的被積表達(dá)式與某個(gè)基本公式中被積表達(dá)式的形式完全相一致, 方可利用公式求出積分. 2. 第一換元積分法（湊微分法）主要是處理復(fù)合函數(shù)求積分的方法, 它的基本思想是“變換積分變量, 使新的積分對(duì)于新的積分變量好求原函數(shù)”, 采用的手段是 “湊微分”, 將湊成, 如果說(shuō)被積函數(shù)可以湊成這樣兩個(gè)因子的乘積（其中一個(gè)是的函數(shù), 另一個(gè)是的導(dǎo)數(shù)）, 方可使用第一換元積分法.

4、注意這里的一定要含在原被積函數(shù)中. 例如, 積分對(duì)于, 原被積函數(shù)為, 令, 將, 其中的因子2是的導(dǎo)數(shù), 是為了換元而湊出來(lái)的, 而因子是為了與原積分的保持相等而乘上去的, 于是有=其中要注意：（1） 在微分中我們已經(jīng)習(xí)慣了, 而在積分計(jì)算中常常是反過(guò)來(lái)使用, 即. 例如將；（2）在積分計(jì)算中, 不但要熟悉基本積分公式, 還要熟悉基本微分公式, 熟悉常見(jiàn)的湊微分形式：（3）用第一換元法的目的是求出積分, 因此, 換元以后的積分必須容易求出積分. 一般地, 換元后的函數(shù)是積分基本公式中函數(shù)的形式或積分基本公式中函數(shù)的線性組合形式. 二、典 型 例 題例1 驗(yàn)證和是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù), 并說(shuō)明兩

5、個(gè)函數(shù)的關(guān)系. 分析 依原函數(shù)的定義, 若和的導(dǎo)數(shù)都是某個(gè)函數(shù)的原函數(shù), 即有, 則和是的原函數(shù). 所以, 只需驗(yàn)證和的導(dǎo)數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)即可. 解 因?yàn)?所以和是同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù). 且有說(shuō)明兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù). 例2 已知某曲線y=f(x)在點(diǎn)x處的切線斜率為, 且曲線過(guò)點(diǎn), 試求曲線方程. 分析 根據(jù)不定積分的幾何意義, 所求曲線方程為過(guò)點(diǎn), 斜率是的積分曲線. 解 且曲線過(guò)點(diǎn), 即, 得出于是所求曲線方程為例3 判斷下列等式是否正確. （1）（2）分析 （1）, （2）根據(jù)不定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷；解 （1）依照不定積分的性質(zhì)所以, 等式成立. （2）依照不定積分的性質(zhì)所

6、以, 等式不成立. 正確的應(yīng)為例4 計(jì)算下列積分：（1）（2）分析 對(duì)于（1）, （2）利用基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行積分, 注意在計(jì)算時(shí), 對(duì)被積函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?解（1）將被積函數(shù)變形為= =. （2）將被積函數(shù)變形為再利用積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)得 =說(shuō)明：本例在求積分的方法直接積分法. 這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì), 或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形就 可以運(yùn)用積分公式求積分的題目. 在解題中應(yīng)該注意：1熟悉基本積分公式；2在解題中經(jīng)常要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡淖冃危ɡ纾?）中將二項(xiàng)和的平方展開(kāi)；（2）中將乘到括號(hào)里邊去；（3）中將絕對(duì)值打開(kāi)）, 變形的目的是使

7、被積函數(shù)為積分基本公式中的函數(shù)或它們的線性組合. 這些方法和技巧的掌握是基于平時(shí)的練習(xí)；3如果連續(xù)試探幾次, 進(jìn)行不同的變形后仍無(wú)法達(dá)到目的, 則應(yīng)考慮其它積分方法求解. 例5 計(jì)算下列積分：（1）； （2）分析 注意到這幾個(gè)被積函數(shù)都是復(fù)合函數(shù), 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題一般是利用湊微分法（第一換元積分法）, 在計(jì)算中要明確被積函數(shù)中的中間變量, 設(shè)法將對(duì)求積分轉(zhuǎn)化為對(duì)求積分.（1）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, , 這時(shí)對(duì)于變量可以利用公式求積分. （2）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, 這樣對(duì)于變量可以利用積分公式求積分. 解 （1）= = （2） （） = 說(shuō)明：第一換元積分法是積分運(yùn)算的重點(diǎn), 也是難點(diǎn). 一般地, 第一換元積分法所處理的函數(shù)是復(fù)合函數(shù), 故此法的實(shí)質(zhì)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算. 在運(yùn)算中始終要記住換元的目的是使換元后的積分容易求原函數(shù). 應(yīng)用第一換元積分法時(shí), 首先要牢記積分基本公式, 明了基本公式中的變量換成的函數(shù)時(shí)公式仍然成立. 同時(shí)還要熟悉微分學(xué)中的微分基本公式,